7 ervoor dan 1 erachter

\( \eqalign{ & 7776 = 16 \cdot 486 \cr & 77776 = 16 \cdot 4861 \cr & 777776 = 16 \cdot 48611 \cr & 7777776 = 16 \cdot 486111 \cr & 77777776 = 16 \cdot 4861111 \cr & 777777776 = 16 \cdot 48611111 \cr & ... \cr} \)

Maar ja... wat dan?:-)

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,48611111 \cr & \underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,16\,} \, \times \cr & \,\,\,291666666 \cr & \underline {\,\,\,48611111\,\,\,\,} \,\,\, + \cr & \,\,\,777777776 \cr} \) 

Of ook: 777777777777777776 is deelbaar door 16.

Vier koppels en tien stoelen op een rijtje

Voor een quiz moeten 4 koppels plaats nemen op 10 stoelen die op een rij op het podium staan. Elk persoon wil naast zijn/haar partner zitten. 

• Op hoeveel manieren kunnen de 4 koppels plaats nemen op de 10 stoelen? 

Maar daarover later meer... misschien....

• U. Vier koppels en tien stoelen

Ontbinden in factoren

\( \eqalign{ & 3x^2 - 2x - 1 = 0 \cr & 3x^2 + x - 3x - 1 = 0 \cr & x(3x + 1) - (3x + 1) = 0 \cr & (x - 1)(3x + 1) = 0 \cr & x = 1 \vee 3x = - 1 \cr & x = 1 \vee x = - \frac{1} {3} \cr} \)

---

• Re: Re: Punten raaklijn vinden

---

Rekenen met grote getallen

\( \eqalign{ & x = \sqrt {\left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right)^3 } \cr & \log (x) = \log \left( {\sqrt {\left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right)^3 } } \right) \cr & \log (x) = \log \left( {\left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right)^{\frac{3} {2}} } \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \log \left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \left( {\log \left( {\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} } \right) - \log \left( {0,035^{10} } \right)} \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \left( {\log \left( {\left( {30\pi } \right)^{90} } \right) + \log \left( {2000^{14} } \right) - \log \left( {0,035^{10} } \right)} \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \left( {90 \cdot \log \left( {\left( {30\pi } \right)} \right) + 14 \cdot \log \left( {2000} \right) - 10 \cdot \log \left( {0,035} \right)} \right) \cr & \log (x) = 135 \cdot \log \left( {\left( {30\pi } \right)} \right) + 21 \cdot \log \left( {2000} \right) - 15 \cdot \log \left( {0,035} \right) \cr & \log (x) \approx 357,6872114 \cr & x \approx 10^{0,6872114} \cdot 10^{357} \cr & x \approx 4,866440301 \cdot 10^{357} \cr} \)

---

• Rekenen met logaritmen

---

Zo is dat maar net...:-)

Bij wiskunde komt altijd alles wel ergens een keer terug...:-)

Hoofdregel van de logaritmen

• 4. logaritmen

Opening of asymptoot?

\( \eqalign{f(x) = \frac{{x^3 - 2x^2 - x + 2}} {{x^2 - 4x + 4}}} \)

Oppervlakte van het rode vierkant

Automatisch!? Nou bijna...:-)

Hoeveel driehoeken?

Is dat wat?:-)

\( \eqalign{ & y = 2 - \frac{1} {{x + 1}} \cr & y(x + 1) = 2(x + 1) - 1 \cr & xy + y = 2x + 1 \cr & - 2x + xy = - y + 1 \cr & x(y - 2) = 1 - y \cr & x = \frac{{1 - y}} {{y - 2}} \cr} \)

• Druk x uit in y

Naschrift

• Druk x uit in y
• Druk x uit in y

Een halve cirkel

• Lesmateriaal voor probleemaanpak

22-7

\( \eqalign{\int\limits_0^1 {{{x^4 (x - 1)^4 } \over {x^2 + 1}}\,dx} = {{22} \over 7} - \pi } \)

Voetbalploegen

Vraag

---

Op hoeveel manieren kan men 22 jongens verdelen in 2 voetbalploegen?

---

Uitwerking

---

Kies 11 jongens uit 22 voor team A. Je hebt dan nog 11 jongens over voor team B. Daarna nog delen door 2 omdat team A en B onderling uitwisselbaar zijn.

\(\eqalign{\frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} {22} \\ {11} \\ \end{array}} \right)}}{2} = {\rm{352}}{\rm{.716}}}\)

Met de GR

HAVO wiskunde B - 2011 (pilot) 2e tijdvak

\(
\eqalign{
  & 19.  \cr
  & (x - 7)^2  + (y - 9)^2  = 100  \cr
  &  \downarrow y =  - {3 \over 4}x + 17{3 \over 4}  \cr
  & (x - 7)^2  + \left( { - {3 \over 4}x + 17{3 \over 4} - 9} \right)^2  = 100  \cr
  & (x - 7)^2  + \left( { - {3 \over 4}x + 8{3 \over 4}} \right)^2  = 100  \cr
  & (x - 7)^2  + {{\left( { - 3x + 35} \right)^2 } \over {4^2 }} = 100  \cr
  & 16(x - 7)^2  + \left( { - 3x + 35} \right)^2  = 1600  \cr
  & 16x^2  - 224x + 784 + 9x^2  - 210x + 1225 = 1600  \cr
  & 25x^2  - 434x + 409 = 0  \cr
  &  \downarrow GR  \cr
  & x = 1 \vee x = 16{9 \over {25}}  \cr
  &  \downarrow GR  \cr
  & \left\{ \matrix{
  x = 16{9 \over {25}} \hfill \cr
  y =  - {3 \over 4} \cdot 16{9 \over {25}} + 17{3 \over 4} = 5{{12} \over {25}} \hfill \cr}  \right.  \cr
  & Q\left( {16{9 \over {25}},5{{12} \over {25}}} \right) \cr}
\)

---

• HAVO wiskunde B - pilot - tweede tijdvak

---

Nagekomen bericht:-)

\( \begin{array}{l} y'' - y' - 2y = 0 \\ y( - 1) = 1 \\ y(1) = 0 \\ k^2 - k - 2 = 0 \\ (k - 2)(k + 1) = 0 \\ k = 2 \vee k = - 1 \\ y = C_1 \cdot e^{2x} + C_2 \cdot e^{ - x} \\ \left\{ \begin{array}{l} C_1 \cdot e^{ - 2} + C_2 \cdot e = 1 \\ C_1 \cdot e^2 + C_2 \cdot e^{ - 1} = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} C_1 = \frac{{e^2 }}{{1 - e^6 }} \\ C_2 = \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \\ \end{array} \right. \\ y = \frac{{e^2 }}{{1 - e^6 }} \cdot e^{2x} + \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{ - x} \\ y = - \frac{{e^2 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{2x} + \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{ - x} \\ y = \frac{{e^{5 - x} - e^{2x + 2} }}{{e^6 - 1}} \\ \end{array} \)

Quotientregel

\( \eqalign{ & \left[ {\frac{t} {n}} \right]' = \cr & \left[ {t \cdot n^{ - 1} } \right]' = \cr & t' \cdot n^{ - 1} + t \cdot - 1 \cdot n^{ - 2} \cdot n' = \cr & \frac{{t'}} {n} - \frac{{t \cdot n'}} {{n^2 }} = \cr & \frac{{t' \cdot n}} {{n^2 }} - \frac{{t \cdot n'}} {{n^2 }} = \cr & \frac{{t' \cdot n - t \cdot n'}} {{n^2 }} \cr} \)

De som

8.1  Bereken de som van de volgende rijen getallen.

1. Alle positieve gehele getallen van 1 tot en met 2003.
2. Alle positieve gehele getallen van drie cijfers.
3. Alle oneven getallen tussen 1000 en 2000.
4. Alle positieve gehele getallen van hoogstens drie cijfers die op het cijfer 3 eindigen.
5. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 2 of het cijfer 7.
6. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 6 of het cijfer 7.

Uit: basiswiskunde - Jan van de Craats en Rob Bosch

a. 2007006
b. 494550
c. 750000
d. 49800
e. 9899100
f. 9902700

De som van een rekenkundige rij gaat prima met:

• som=¹/₂·aantal termen·(eerste term+laatste term) 
• rekenkundige rijen

---

Opmerking

Bij f. kan je dan 's proberen zoiets te doen:

 \(
som = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot \left( {1006 + 9997} \right)
\)

...en dan maar hopen dat het klopt...😏

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

\(
\eqalign{
  & \int {{{\tan (\ln (\sqrt x ))} \over x}} \,dx =   \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)}  \cdot {1 \over x}\,dx =   \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)} \,d\left( {\ln (x)} \right) =   \cr
  &  \downarrow u = \ln (x)  \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}u} \right)} \,du =   \cr
  & \int {{{\sin \left( {{1 \over 2}u} \right)} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}} \,du =   \cr
  & \int {{{ - 2} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}}  \cdot  - {1 \over 2}\sin \left( {{1 \over 2}u} \right)\,du =   \cr
  & \int {{{ - 2} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}}  \cdot \,d\left( {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)} \right) =   \cr
  &  \downarrow v = \cos \left( {{1 \over 2}u} \right)  \cr
  & \int {{{ - 2} \over v}}  \cdot \,dv =   \cr
  &  - 2\ln (v) + C =   \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)} \right) + C =   \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)} \right) + C  \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {\ln (\sqrt x )} \right)} \right) + C \cr}
\)

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Hoe bereken je de eerste term van een meetkundige rij als je weet dat t₆+t₇=240 en t₉+t₁₀=1300?

Uitwerking 

\( \eqalign{ & \left\{ \matrix{ ar^5 + ar^6 = 240 \hfill \cr ar^8 + ar^9 = 1300 \hfill \cr} \right. \cr & {{ar^8 + ar^9 } \over {ar^5 + ar^6 }} = {{1300} \over {240}} \cr & {{ar^8 \left( {1 + r} \right)} \over {ar^5 \left( {1 + r} \right)}} = {{65} \over {12}} \cr & r^3 = {{65} \over {12}} \cr & r = {1 \over 6}\root 3 \of {1170} \cr & a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 = 240 \cr & a\left( {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 } \right) = 240 \cr & a = {{240} \over {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 }} \cr & a = {{240} \over {{{65\root 3 \of {50700} } \over {144}} + {{4225} \over {144}}}} \cr & a = {{34560} \over {65\root 3 \of {50700} + 4225}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cdot {{\root 3 \of {65} } \over {\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\root 3 \of {12} + 845\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\left( {\root 3 \of {65} + \root 3 \of {12} } \right)}} \cr} \)

Een assenvergelijking van het vlak V

• Wat is de vergelijking voor vlak V met de punten E, P en Q?

\( \eqalign{ & V:(8,0,0),(0,4,0)\,\,\,en\,\,\,(0,0, - 8) \cr & V:\frac{x} {8} + \frac{y} {4} + \frac{z} {{ - 8}} = 1 \cr & V:x + 2y - z = 8 \cr} \)

---

• Deelexamen 3 kubus

---

Snijlijn van twee vlakken

In een rechthoekig assenstelsel OXYZ zijn gegeven de punten A(4,0,0), B(4,8,0), C (0,8,0) en T (0,0,8). Op AB ligt punt D(4,6,0).

• Bepaal een vectorvoorstelling van de snijlijn van vlak TDO en vlak ACT.

Uitwerking 

\( \begin{array}{l} TDO:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ ACT:\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \rho \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \tau \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ \left\{ \begin{array}{l} 2\lambda = 4 - \rho - \tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 2\rho - 2\tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 3\lambda - \mu \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \mu = - 7\lambda + 8 \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \left( { - 7\lambda + 8} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + - 7\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + 8 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 8 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ { - 7} \\ \end{array}} \right) \\ \end{array} \)

---

• Examenvraag 82-83 (4)

Geneste wortel

\( \begin{array}{l} \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt a - \sqrt b \\ 2 - \sqrt 3 = a - 2\sqrt {ab} + b \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 2\sqrt {ab} = \sqrt 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 4ab = 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt {1\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{2}} \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \frac{1}{2}\sqrt 6 - \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ \end{array} \)

Zelf doen

• Verzin er zelf maar een vraag bij...:-)

Vraag 10

Een fabrikant van pralines verpakt reeds jaren zijn leveringen aan grootwarenhuizen in dozen met een vierkante grondoppervlakte (zijde is 8 cm) en een hoogte van 21 cm. Hij zou graag de inhoud van zijn dozen vergroten maar wil niet meer betalen aan karton voor zijn dozen.

• Wat zijn de afmetingen van de zijden van het grondvlak en de hoogte waarbij de inhoud maximaal wordt?

Uitwerkingen

Eerst maar 's een tekening:

1. De totale oppervlakte bestaat uit 4 zijvlakken van 8x21, een grondvlak van 8² en een bovenvlak van 8². Meer in 't algemeen: je hebt 4 zijvlakken van hx, een grondvlak van x2 en een bovenvlak van x2. Optellen en je hebt je formule voor de oppervlakte O. Invullen van x=8 en h=21 zal dan wel lukken.
2. Als je een formuie hebt met O=...·xh+...·x2 en je weet dat O de oppervlakte van het pak is als x=8 en h=21 dan kan je de formule herschrijven waarbij je h uitdrukt in x.
3. De inhoud van de balk is gelijk aan I=x2·h. Vul voor h de formule in die je bij b. gevonden hebt. Je krijgt dan een formule voor de inhoud I uitgedrukt in x.
4. Bepaal de afgeleide van de functie die je bij c. gevonden hebt.
5. Stel de afgeleide nul, los op en je hebt mogelijke kandidaten voor x waarbij je grootste inhoud hebt.
6. Als je de waarde van x gevonden hebt dan kan je de bijbehorende waarde van h uitrekenen. Wat valt je op?

Twee voorbeelden van eenvoudige vlakvullingen

Eén eenvoudige manier om een vlakvulling te maken is uitgaan van (bijvoorbeeld) een gelijkzijdige driehoek en te zorgen dat je tekening aansluit... dus A en A', B en B' en C aan C'.



Dat geeft dan als vlakvulling:



Vierkant
Dat kan uit als je uitgaat van een vierkant:



Dat geeft dan:



Dat is dan toch wel aardig toch?

Veelhoeken en middens van zijden - deel 2

Je kunt bij een gegeven aantal oneven middens een n-hoek tekenen. Dat lukt altijd. Bij een willekeurig startpunt kan je het 'beoogde startpunt' vinden op het midden van start- en eindpunt.



Eigenlijk had D''' op D uit moeten komen. Om het te laten kloppen moet je D kiezen op het midden van DD''':



Dus kies D op E.



Mission accomplised.

Je kunt overigens bij gegeven middens het startpunt ook berekenen: Dit doe je door het om en om optellen en aftrekken van de coördinaten van de middens te nemen.

x:=2-5+3=0
y:=1-3+4=2

Neem D(0,2).

Dat werkt bij oneven aantallen. Voor even aantallen gelden weer andere dingen.

Veelhoeken en middens van zijden

Neem 's aan dat je bij een gegeven n punten een n-hoek moet tekenen waarvan die punten de middens zijn van de zijden. Dus (bijvoorbeeld) zoiets als:



Je kunt er dan achter komen dat dit met 4 willekeurige punten (of elk even aantal) niet altijd gaat lukken. Na 3 punten ligt het 4e punt in feite al vast.



Het 4e midden moet op de zijde in het midden van DD''' liggen. Daarmee krijg je een vierhoek die klopt.



Nu kun je punt D verplaatsen en kan je voor D elke willekeurig lokatie kiezen.



Voor oneven n geldt dat niet. Daar is ook van alles te beleven...

Verschillende soorten symmetrie

Draaisymmetrie	Puntsymmetrie	Schuifsymmetrie
Draaisymmetrie, maar dan moet je niet op kleur letten.	Puntsymmetrie als je niet op de kleur let.	Je kunt de figuren naar rechts (of naar links) verschuiven.
Lijnsymmetrie	Puntsymmetrie	Draaisymmetrie
De rode lijn geeft aan dat de figuren lijnsymmetrisch zijn.	De katten zijn puntsymmetrisch t.o.v. de groene punt.	De groen punt is het centrum van draaiing over 120°. Er zijn natuurlijk nog veel meer punten te vinden.

De snijlijn van twee vlakken

Gegeven:

\(
\begin{array}{l}
 V:x - y + z = 4 \\
 W:3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array}
\)

Gevraagd:

• Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van V en W.

Uitwerking:

Maak een stelsel van twee vergelijkingen:

\(
\left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right.
\)

Als je zorgt dat er een variabel weg valt kan je vervolgens met dit stelsel de vergelijking vinden van een derde vlak waarin de snijlijn ligt:

\(
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right. \\
 (1) + (2) \\
 x - y + 3x - 2y = 9 \\
 4x - 3y = 9 \\
 \end{array}
\)

Ik kan nu x, y en z uitdrukken in \( \lambda \) en mijn vectorvoorstelling opstellen:

\(
\begin{array}{l}
 Kies\,\,y = \lambda  \\
 4x - 3\lambda  = 9 \\
 4x = 3\lambda  + 9 \\
 x = \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} \\
 \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} - \lambda  + z = 4 \\
 z = \frac{1}{4}\lambda  + 1\frac{3}{4} \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{3}{4}}  \\
   1  \\
   {\frac{1}{4}}  \\
\end{array}} \right) \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
   1  \\
\end{array}} \right) \\
 \end{array}
\)

Zie zo...:-)

Hoeken berekenen in een regelmatige vierzijdige piramide

Teken een regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met hoogte 4 en ribbe grondvlak 4, xas//AD en y as//AB. Neem als oorsprong het snijpunt AC en BD. P is het midden van AT.

1. Bereken de hoek van DP en de vlakken ACT en BDT.
2. Bereken de hoek van de vlakken ABT en ADT.

---

• Hoeken berekenen in een regelmatige 4-zijdige piramide

Afstand van punt en lijn

Teken een kubus ABCO·DEFG met de x as langs OA, de y as langs OC en de z as langs OG. De ribbe van de kubus is 2. Als P het midden is van ribbe FG en Q het midden van ribbe BC.

• Bereken dan de afstand van het punt P tot de lijn AQ.

Uitwerking



Eerst maar 's een vectorvoorstelling van de lijn AQ:

\(
AQ:\left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   0  \\
   0  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - 1}  \\
   2  \\
   0  \\
\end{array}} \right)
\)

Neem dan het vlak V loodrecht op AQ en waar P in ligt:

\(
\begin{array}{l}
 V: - x + 2y = d \\
 P(0,1,2)\,\,\,in\,\,\,V \\
 d = 2 \\
 \end{array}
\)

Je kunt V snijden met AQ om P' te vinden:

\(
\begin{array}{l}
 V: - x + 2y = 2 \\
  - \left( {2 - \lambda } \right) + 2\left( {2\lambda } \right) = 2 \\
  - 2 + \lambda  + 4\lambda  = 2 \\
 5\lambda  = 4 \\
 \lambda  = \frac{4}{5} \\
 P'\left( {1\frac{1}{5},1\frac{3}{5},0} \right) \\
 \end{array}
\)

En dan zijn we er wel zo'n beetje:

\(
d(PP') = \sqrt {\left( {1\frac{1}{5} - 0} \right)^2  + \left( {1\frac{3}{5} - 1} \right)^2  + \left( {0 - 2} \right)^2 }  = \frac{1}{5}\sqrt {145}
\)

Dat kan ook...:-)

---

• Re: Afstand punt tot lijn in een kubus 

---

Transformaties

Gegeven:

\( \eqalign{ & f(x) = x^2 \cr & g(x) = x^2 - 4x + 3 \cr} \)

De gemeenschappelijke raaklijn raakt \(f\) in \(x=p\) en \(g\) in \(x=q\).

• Bereken de waarde van \(p\) en \(q\).

Alternatieve uitwerking

Je kunt \(g\) opvatten als een translatie van \(f\). Je krijgt dan:

\(
\eqalign{
  & P(p,p^2 )  \cr
  & Q(p + 2,p^2  - 1)  \cr
  & a = \frac{{p^2  - 1 - p^2 }}
{{p + 2 - p}} = \frac{{ - 1}}
{2} =  - \frac{1}
{2}  \cr
  & f'(p) = 2p =  - \frac{1}
{2} \Rightarrow p =  - \frac{1}
{4}  \cr
  & q = p + 2 =  - \frac{1}
{4} + 2 = 1\frac{3}
{4} \cr}
\)

Maar ja... ga dat maar 's uitleggen dan...:-)

Een rechthoekige boldriehoek

• Opdracht bolmeetkunde

Oplossen derdegraads vergelijking (TI82)

De oplossingen van -x³ + ax² + bx + c = 0. De waarden van a, b en c staan in A, B en C. (Zie ook karakteristieke vergelijking!) Het programma:

In het geval de oplossingen complex zijn moeten we iets anders verzinnen.

• Het oplossen van de complexe vergelijkingen

WisFaq

• Kansspel met onzuivere munt

Limieten van vierkantswortels

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x - 3} }} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x - 3} }} \cdot \frac{{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 6 - 3x}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2x + 6}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\left( {x - 3} \right)}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\sqrt {x - 3} }} {{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} = \frac{{ - 2\sqrt {3 - 3} }} {{\sqrt {3 + 6} + \sqrt {3 \cdot 3} }} = 0 \cr} \)

---

• Limieten van vierkantswortels

Een cirkelsector

• VWO, 2de ronde, 2009-2010

Opgave

• Bereken de oppervlakte.

Maak een duidelijke tekening

In een 4-zijdige piramide T OABC is de hoogte 4 en het grondvlak een vierkant met zijde 3.

De x-as langs OA, de y-as langs OC en de z-as langs OT.
Door de punten D(2,-3,2) en E (-1,3,0) trekt men een lijn die de piramide snijdt in de punten P en Q.

• Maak een duidelijke tekening en bereken |PQ|.

UITWERKING



Dat is alvast een goed begin... het halve werk... later misschien meer...:-)

Maar als je twijfelt kan je altijd een bovenaanzicht tekenen en dan kijken of je een beetje in de goede richting zit.



\( \begin{array}{l} {\rm{Gegeven:}} \\ {\rm{D(2}}{\rm{, - 3}}{\rm{,2)\,\,en\,\,E ( - 1}}{\rm{,3}}{\rm{,0)}} \\ \overrightarrow {DE} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ { - 3} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ { - 6} \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ Vlak\,\,\,OAT:y = 0 \\ - 3 + - 6\lambda = 0 \\ 6\lambda = - 3 \\ \lambda = - \frac{1}{2} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3 \cdot - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ y = 0 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{1}{2} = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right) \\ Vlak\,\,\,OCT:x = 0 \\ 2 + 3\lambda = 0 \\ 3\lambda = - 2 \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 3 - 6 \cdot - \frac{2}{3} = 1 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right)\,\,\,en\,\,\,Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ d(P,Q) = \sqrt {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( { - 1} \right)^2 + \left( {1 - \frac{2}{3}} \right)^2 } \\ d(P,Q) = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{9}} = 1\frac{1}{6} \\ \end{array} \)

• Lengte lijn door een piramide berekenen

Op gelijk afstand

"Gegeven zijn de punten A(1,0,-1), B(2,3,1) en C(0,2,-3). Bepaal een punt P dat op gelijke afstand ligt van A, B en C en op afstand \(\sqrt{5}\) van het vlak ABC."

• Toelatingsexamen burgerlijke ingenieur

 

• Complete oplossing (PDF) 

Nog meer kubus...

In een rechthoekig coordinatenstelsel is gegeven kubus OABC DEFG met ribbe 4. Uit een punt P(8,2,0) trekt men een lijn door S, het snijpunt van de lichaamsdiagonalen van de kubus. Deze lijn snijdt het voorvlak van de kubus in punt K en het achtervlak van de kubus in punt L.

• Bereken |KL| 

Uitwerking

\( \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 6 \\ 0 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right) \\ ABEF:x = 4 \\ 4 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \\ z = 1\frac{1}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow K\left( {4,2,1\frac{1}{3}} \right) \\ OCGH:x = 0 \\ 0 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - 1\frac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 \\ z = 2\frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow L\left( {0,2,2\frac{2}{3}} \right) \\ d(K,L) = \sqrt {4^2 + \left( {2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3}} \right)^2 } = 1\frac{1}{3}\sqrt {10} \\ \end{array} \)

• Lengte lijn door een kubus berekenen

Hoek van de richtingsvectoren in een kubus

Een vraag uit WisFaq:

Teken een kubus EFGH ABCO met ribbe 3 cm. De x-as is de drager van OA, de y-as van OC en de z-as de drager van OH. P is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen BG en FC. Q is het midden van ribbe AB.

1. Bereken de hoeken die lichaamsdiagonaal OF maakt met OP, OQ en OB.
2. Bepaal een vectorvoorstelling van AG en BE. Bereken de hoek van OF en AG.
3. Toon aan dat OF en BE elkaar loodrecht kruisen.

bron

---

De hoek bereken van OF en OP ging daarna goed. Maar bij de berekening van de hoek van OQ en OB kwam niet het goed antwoord. Er zaten in de uitwerkingen wel wat rekenfoutjes maar ook daarna wilde het niet lukken.

Ik moest er wel een tijd je naar kijken maar de hoek van OQ en OB wordt niet gevraagd. Je moet dat anders lezen:

Het gaat bij vraag a. om:

1. OF en OP
2. OF en OQ
3. OF en OB

...en niet om OQ en OB... Je moet er maar op komen.

Zo zie je maar weer dat ook bij wiskunde de taalvaardigheden erg belangrijk zijn. Wiskundig kan je dan nog zo slim zijn... als je slecht leest kom je nergens... ja in Rome misschien....:-)

....en vooruit: ik doe de uitwerking van a. er nog wel even bij...:-)

\( \begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OP}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OP} \right|}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {18} }} \approx {\rm{0}}{\rm{,943}} \\ \varphi \approx 0,108\pi \\ \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OQ}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OQ} \right|}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt {15} }} \approx {\rm{0}}{\rm{,775}} \\ \varphi \approx 0,218\pi \\ \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OB}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OB} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} \approx {\rm{0}}{\rm{,816}} \\ \varphi \approx 0,196\pi \\ \end{array} \)

Zo heb ik zelf moeite met het verschil tussen 'groter' en 'kleiner'. Dat is niet handig voor een wiskundeleraar. Idem voor 'links' en 'rechts'. Dat is dan weer lastig bij rijles en navigatie... Over Rome gesproken...:-)

Lineaire algebra

Het leek zo'n aardig vraagstuk:

• Bereken de plaatsvector van het snijpunt van vlak V, dat door de eindpunten van 2a, 2c en a+b+c gaat, met de lijn x=c+\(\lambda\)(b-c), uitgedrukt in a, b en c. 

Voor de oplossing  kan je een vectorvoorstelling van V opstellen en dan snijden met de lijn \(l\).

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

Dat moet het zijn...:-)
Maar zo kan het ook:

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

...en daar komt dan hetzelfde uit. Na een tijdje...:-)

Conclusie
Voor een vectorvoorstelling van een vlak V met drie gegeven plaatsvectoren kies je een steunvector en twee verschilvectoren als richtingsvectoren. De keuze van de verschillende vectoren maakt uiteindelijk niet uit. Dat is toch mooi...:-)

Uit de oude doos

"Omtrent de cursus 'differentiatie in de klas' moet ik me helaas afmelden. Ik was lekker op weg, ik heb leuke dingen bedacht, een boekje aangeschaft (ga ik nog zeker lezen in de vakantie), nagedacht, geëxperimenteerd, gepraat met collega's, met leerlingen, van alles opgenomen in mijn documentatie voor mijn ontwikkelgesprek, maar in het kader van mijn werkomstandigheden, toenemende werkdruk, verschuivende prioriteiten, afgewezen collega's, meervoudige nee's op mijn wensen, zinloosheid, heb ik besloten niet verder te gaan met de cursus.

• Ik heb er wel iets van geleerd, dat wel:-)"

...nooit meer iets van vernomen...:-)

Uit de archieven gevist

Het doel van wiskundeonderwijs is wiskunde leren. Dat moet ook zo zijn en dat moet zeker zo blijven. Al die vakoverstijgende vaardigheden zijn belangrijk maar ons vak maar het is een voertuig en een middel, maar het draait om de content. Ik hou vast aan de vaardigheden voor mijn vak:

1. Getallen en rekenen
2. Functies, grafieken en verbanden
3. Formules en vergelijkingen
4. Meetkunde
5. Statistiek en kans
6. Taal van de wiskunde
7. Redeneren en bewijzen
8. Probleemaanpak

Dat is gebaseerd op de kerndoelen basisvorming en eindexameneisen en op een aantal jaren ervaring…:-). Dat is wat wij doen.:-)

• 82 vaardigheden

Op de lange baan

Ideetje

• leerlingen doen een leerroute
• een docent kijkt na en geeft feedback
• docenten maken zelf  een leerroute
• docenten krijgen eigen deel van de website met een speler om een leerroute te doen en na te kunnen kijken

Je kunt niet ontkennen dat ik geen ideeën heb. Ik heb ook een hoop fantasie en (hopelijk) een uitkering,:-)

Off spin
Het zou nog interessant kunnen zijn om de algemene principes te formuleren. Wat heb je precies nodig en hoe ga je dat regelen? Wat is nu precies de truuk? Als je dat weer ben je al ver heen...:-)

Ideetje
Een idee kan geen kwaad, maar er is nog een lange weg tussen idee en uitvoering. Ik ben meer dan de ideeën. De uitvoering laat ik graag over aan anderen...:-)

Realistischer uitgangspunt
Meestal worden boekjes serieuzer genomen dan websites of weblogs. Het is waarschijnlijk realistischer om van het lesmateriaal van wiskundeleraar.nl een paar boekjes te maken en te verkopen. Met ondersteuning, aanvullingen en zo via Internet. 't Is een ideetje...:-)

Rijk en gezond
Maar misschien moet ik gewoon proberen mijn eisen wat te beperken. Voorlopig ga ik voor 'slapend rijk worden' en 'gezond'...:-)

• Mocht dat lukken dan hoor je mij niet meer klagen...:-)

De kunst van het loslaten
Ik heb soms moeite met dingen los te laten. Of het nu wiskundeleraar.nl is of iets anders. Naar af en toe moet je wel. Dus weg er mee... Laat gaan...

Vakwerkplan wiskunde vwo en havo bovenbouw

• vakwerkplan wiskunde vwo en havo bovenbouw

Zorgverzekering

• Eerst zelf proberen...:-)

The milkmaid problem

"It's milking time at the farm, and the milkmaid has been sent to the field to get the day's milk. She's in a hurry to get back for a date with a handsome young goatherd, so she wants to finish her job as quickly as possible. However, before she can gather the milk, she has to rinse out her bucket in the nearby river.

Just when she reaches point M, our heroine spots the cow, way down at point C. Because she is in a hurry, she wants to take the shortest possible path from where she is to the river and then to the cow. So what is the best point P on the riverbank for her to rinse the bucket?"

An Introduction to Lagrange Multipliers

Word en MathType

Als je in WORD klikt op een formulevalk van MathType dan krijg je dit:

Maar dat wil je natuurlijk helemaal niet... maar als je MathType opent... en dan in WORD klikt op het formulevlak dan krijg je dit:

...en dat wil je wel... automatisch gekoppeld, bijwerken en zo... gelukkig maar...:-)