De snijlijn van twee vlakken

Gegeven:

\(
\begin{array}{l}
 V:x - y + z = 4 \\
 W:3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array}
\)

Gevraagd:

• Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van V en W.

Uitwerking:

Maak een stelsel van twee vergelijkingen:

\(
\left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right.
\)

Als je zorgt dat er een variabel weg valt kan je vervolgens met dit stelsel de vergelijking vinden van een derde vlak waarin de snijlijn ligt:

\(
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right. \\
 (1) + (2) \\
 x - y + 3x - 2y = 9 \\
 4x - 3y = 9 \\
 \end{array}
\)

Ik kan nu x, y en z uitdrukken in \( \lambda \) en mijn vectorvoorstelling opstellen:

\(
\begin{array}{l}
 Kies\,\,y = \lambda  \\
 4x - 3\lambda  = 9 \\
 4x = 3\lambda  + 9 \\
 x = \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} \\
 \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} - \lambda  + z = 4 \\
 z = \frac{1}{4}\lambda  + 1\frac{3}{4} \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{3}{4}}  \\
   1  \\
   {\frac{1}{4}}  \\
\end{array}} \right) \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
   1  \\
\end{array}} \right) \\
 \end{array}
\)

Zie zo...:-)