zondag 12 juni 2022

The Soma Kube

"The pieces of the Soma cube consist of all possible combinations of three or four unit cubes, joined at their faces, such that at least one inside corner is formed. There is one combination of three cubes that satisfies this condition, and six combinations of four cubes that satisfy this condition, of which two are mirror images of each other (see Chirality). Thus, 3 + (6 × 4) is 27, which is exactly the number of cells in a 3×3×3 cube."

woensdag 8 juni 2022

Maar dit kan natuurlijk ook...

\( \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} y = a(x - p)^2 + q \\ {\rm{Top}}(p,q) \\ \end{array} \right. \\ y = a(x - 3)^2 + 5 \\ \downarrow (1,3) \\ 3 = a(1 - 3)^2 + 5 \\ 4a = - 2 \\ a = - \frac{1}{2} \\ \end{array} \)

In het kader van 'there's a system in de making' zou je kunnen voorstellen dat in dit voorbeeld twee notaties voorkomen die misschien nog 's handig kunnen zijn.:-)

zondag 29 mei 2022

De exacte waarde van sin(36°)

\( \eqalign{ & \sin (36^\circ ) = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }} {4} \cr & \sin (36^\circ ) \cr & \downarrow x = 36^\circ \cr & 5x = 180^\circ \cr & 2x + 3x = 180^\circ \cr & \downarrow \sin \left( \alpha \right) = \sin (180^\circ - \alpha ) \cr & \sin (2x) = \sin (3x) \cr & 2\sin (x)\cos (x) = 3\sin (x) - 4\sin ^3 (x) \cr & \downarrow \cos (x) = \sqrt {1 - \sin ^2 (x)} \cr & 2\sin (x)\sqrt {1 - \sin ^2 (x)} = 3\sin (x) - 4\sin ^3 (x) \cr & \downarrow u = \sin (x) \cr & 2u\sqrt {1 - u^2 } = 3u - 4u^3 \cr & \left( {2u\sqrt {1 - u^2 } } \right)^2 = \left( {3u - 4u^3 } \right)^2 \cr & 4u^2 \left( {1 - u^2 } \right) = 9u^2 - 24u^4 + 16u^6 \cr & 4u^2 - 4u{}^4 = 9u^2 - 24u^4 + 16u^6 \cr & 16u^6 - 20u^4 + 5u^2 = 0 \cr & u^2 (16u^4 - 20u^2 + 5) = 0 \cr & u^2 = 0\,\,(v.n.) \vee 16u^4 - 20u^2 + 5 = 0 \cr & 16u^4 - 20u^2 + 5 = 0 \cr & \frac{1} {4}\left( {64u^4 - 80u^2 } \right) + 5 = 0 \cr & \frac{1} {4}\left( {\left( {8u^2 - 5} \right)^2 - 25} \right) + 5 = 0 \cr & \left( {\left( {8u^2 - 5} \right)^2 - 25} \right) + 20 = 0 \cr & \left( {8u^2 - 5} \right)^2 = 5 \cr & 8u^2 - 5 = \pm \sqrt 5 \cr & 8u^2 = 5 \pm \sqrt 5 \cr & u^2 = \frac{{5 \pm \sqrt 5 }} {8} \cr & u^2 = \frac{{5 - \sqrt 5 }} {8} \vee u^2 = \frac{{5 + \sqrt 5 }} {8}\,\,\,(v.n.) \cr & u = - \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }} {8}} \,\,(v.n.) \vee u = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }} {8}} \cr & u = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }} {8}} \cr & u = \sqrt {\frac{{10 - 2\sqrt 5 }} {{16}}} \cr & u = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }} {4} \cr} \)

woensdag 25 mei 2022

Aantal vrouwen in technische beroepen

"Het aantal vrouwen met een technisch beroep is in 2021 275.000. Een stijging van 55% ten opzichte van 2013. Het aantal mannen is in deze zelfde periode met 15% gestegen tot 1.487.000."

dinsdag 17 mei 2022

Valkuiltje

Ook leuk: Een slak bevindt zich op de bodem van een 20 meter diepe put. Elke dag klimt de slak 5 meter omhoog, maar 's nachts glijdt hij weer 4 meter terug naar beneden. Hoeveel dagen duurt het voordat de slak de bovenrand van de put heeft bereikt? Trap er niet in... je bent gewaarschuwd...:-)

Valkuiltje

Ik had ooit een verzameling 'valkuiltjes'.... maar waar dat gebleven is... - dit is ook een mooie... trap er niet in... zou ik denken...:-)

vrijdag 29 april 2022

Het brievenprobleem?

Naar aanleiding van een vraag in WisFaq over het brievenprobleem:

  1. Een briefschrijver schrijft tien brieven en adresseert tien envloppen. Op hoeveel manieren kunnen de brieven in de verkeerde enveloppen worden gestopt?
  2. Als men zeven brieven op goed geluk in zeven enveloppen stopt, hoeveel brieven zou men dan gemiddeld in de juiste enveloppe verwachten terug te vinden?

Bron: Merkwaardige en interessante puzzels (oorspronkelijke titel: The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzels) – 1995, David Wells, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, ISBN 90 5713 3121 - Problemen 130 en 131.

Het antwoord op deze vragen kan je vinden in WisFaq. Dit soort vragen duikt op in allerlei gedaanten.

woensdag 6 april 2022

Nog meer andere koek van hetzelfde

\( \eqalign{ & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} \cr & stel:\sqrt {x^2 + x + 1} = x + t \cr & noot: \cr & \sqrt {x^2 + x + 1} = x + t \cr & x^2 + x + 1 = (x + t)^2 \cr & x^2 + x + 1 = x^2 + 2tx + t^2 \cr & x + 1 = 2tx + t^2 \cr & x - 2tx = t^2 - 1 \cr & x(1 - 2t) = t^2 - 1 \cr & x = \frac{{t^2 - 1}} {{1 - 2t}} \cr & dus:x = \frac{{1 - t^2 }} {{2t - 5}} \cr & dx + dt = \left[ {\sqrt {x^2 + x + 1} } \right]' \cr & dx + dt = \frac{{2x + 1}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & 2\sqrt {x^2 + x + 1} dx + 2\sqrt {x^2 + x + 1} dt = 2x + 1 \cr & 2\sqrt {x^2 + x + 1} dt = 2x + 1 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} dx \cr & dt = \frac{{2x + 1 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} dx}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & noot: \cr & t = \sqrt {x^2 + x + 1} - x \cr & 2t = 2\sqrt {x^2 + x + 1} - 2x \cr & dus: \cr & dt = \frac{{\left( {1 - 2t} \right)dx}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & \frac{{dt}} {{1 - 2t}} = \frac{{dx}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & \frac{{2dt}} {{1 - 2t}} = \frac{{dx}} {{\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & invullen: \cr & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} = \cr & 2\int {\frac{1} {x}} \cdot \left( {\frac{1} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }}} \right)dx = \cr & 2\int {\frac{{1 - 2t}} {{t^2 - 1}}} \cdot \frac{{dt}} {{1 - 2t}} = \cr & 2\int {\frac{{dt}} {{t^2 - 1}}} = \cr & \ln \left( {\frac{{t - 1}} {{t + 1}}} \right) = \cr & invullen: \cr & \ln \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + x + 1} - x} \right) - 1}} {{\left( {\sqrt {x^2 + x + 1} - x} \right) + 1}}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{x + 2 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} }} {{3x}}} \right) \cr & conclusie: \cr & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} = \ln \left( {\frac{{x + 2 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} }} {{3x}}} \right) + C_1 \cr & of \cr & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} = \ln \left( {\frac{{x + 2 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} }} {x}} \right) + C_2 \cr} \)

Integraal

Naar aanleiding van Integreren door substitutie:

\( \eqalign{ & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} \cr & stel\,\,\sqrt {x^2 + 5x + 1} = x + t \cr & noot: \cr & \sqrt {x^2 + 5x + 1} = x + t \cr & x^2 + 5x + 1 = (x + t)^2 \cr & x^2 + 5x + 1 = x^2 + 2tx + t^2 \cr & 5x + 1 = 2tx + t^2 \cr & 5x - 2tx = t^2 - 1 \cr & x(5 - 2t) = t^2 - 1 \cr & x = \frac{{t^2 - 1}} {{5 - 2t}} \cr & dus\,\,x = \frac{{1 - t^2 }} {{2t - 5}} \cr & dx + dt = \left[ {\sqrt {x^2 + 5x + 1} } \right]' \cr & dx + dt = \frac{{2x + 5}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} \,dx + 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} dt = 2x + 5 \cr & 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} dt = 2x + 5 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} \,dx \cr & dt = \frac{{2x + 5 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} \,dx}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & noot: \cr & t = \sqrt {x^2 + 5x + 1} - x \cr & 2t = 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} - 2x \cr & dus: \cr & dt = \frac{{\left( {5 - 2t} \right)\,dx}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & \frac{{dt}} {{5 - 2t}} = \frac{{dx}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & \frac{{2dt}} {{5 - 2t}} = \frac{{dx}} {{\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & invullen: \cr & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} = \cr & \int {\frac{1} {x}} \cdot \frac{1} {{\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}dx = \cr & \int {\frac{{5 - 2t}} {{t^2 - 1}}} \cdot \frac{2} {{5 - 2t}}dt = \cr & \int {\frac{2} {{t^2 - 1}}dt} = \cr & 2\int {\frac{{dt}} {{t^2 - 1}}} = \cr & \ln \left( {\frac{{t - 1}} {{t + 1}}} \right) = \cr & invullen: \cr & \ln \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + 5x + 1} - x} \right) - 1}} {{\left( {\sqrt {x^2 + 5x + 1} - x} \right) + 1}}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{5x + 2 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} {{7x}}} \right) \cr & conclusie: \cr & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} = \ln \left( {\frac{{5x + 2 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} {{7x}}} \right) + C{}_1 \cr & of \cr & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} = \ln \left( {\frac{{5x + 2 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} {x}} \right) + C_2 \cr} \)

Dat is andere koek...