Valkuiltje

Ook leuk: Een slak bevindt zich op de bodem van een 20 meter diepe put. Elke dag klimt de slak 5 meter omhoog, maar 's nachts glijdt hij weer 4 meter terug naar beneden. Hoeveel dagen duurt het voordat de slak de bovenrand van de put heeft bereikt? Trap er niet in... je bent gewaarschuwd...:-)

Uit de oude doos

"Omtrent de cursus 'differentiatie in de klas' moet ik me helaas afmelden. Ik was lekker op weg, ik heb leuke dingen bedacht, een boekje aangeschaft (ga ik nog zeker lezen in de vakantie), nagedacht, geëxperimenteerd, gepraat met collega's, met leerlingen, van alles opgenomen in mijn documentatie voor mijn ontwikkelgesprek, maar in het kader van mijn werkomstandigheden, toenemende werkdruk, verschuivende prioriteiten, afgewezen collega's, meervoudige nee's op mijn wensen, zinloosheid, heb ik besloten niet verder te gaan met de cursus.

• Ik heb er wel iets van geleerd, dat wel:-)"

...nooit meer iets van vernomen...:-)

Uit de archieven gevist

Het doel van wiskundeonderwijs is wiskunde leren. Dat moet ook zo zijn en dat moet zeker zo blijven. Al die vakoverstijgende vaardigheden zijn belangrijk maar ons vak maar het is een voertuig en een middel, maar het draait om de content. Ik hou vast aan de vaardigheden voor mijn vak:

1. Getallen en rekenen
2. Functies, grafieken en verbanden
3. Formules en vergelijkingen
4. Meetkunde
5. Statistiek en kans
6. Taal van de wiskunde
7. Redeneren en bewijzen
8. Probleemaanpak

Dat is gebaseerd op de kerndoelen basisvorming en eindexameneisen en op een aantal jaren ervaring…:-). Dat is wat wij doen.:-)

• 82 vaardigheden

Op de lange baan

Ideetje

• leerlingen doen een leerroute
• een docent kijkt na en geeft feedback
• docenten maken zelf  een leerroute
• docenten krijgen eigen deel van de website met een speler om een leerroute te doen en na te kunnen kijken

Je kunt niet ontkennen dat ik geen ideeën heb. Ik heb ook een hoop fantasie en (hopelijk) een uitkering,:-)

Off spin
Het zou nog interessant kunnen zijn om de algemene principes te formuleren. Wat heb je precies nodig en hoe ga je dat regelen? Wat is nu precies de truuk? Als je dat weer ben je al ver heen...:-)

Ideetje
Een idee kan geen kwaad, maar er is nog een lange weg tussen idee en uitvoering. Ik ben meer dan de ideeën. De uitvoering laat ik graag over aan anderen...:-)

Realistischer uitgangspunt
Meestal worden boekjes serieuzer genomen dan websites of weblogs. Het is waarschijnlijk realistischer om van het lesmateriaal van wiskundeleraar.nl een paar boekjes te maken en te verkopen. Met ondersteuning, aanvullingen en zo via Internet. 't Is een ideetje...:-)

Rijk en gezond
Maar misschien moet ik gewoon proberen mijn eisen wat te beperken. Voorlopig ga ik voor 'slapend rijk worden' en 'gezond'...:-)

• Mocht dat lukken dan hoor je mij niet meer klagen...:-)

De kunst van het loslaten
Ik heb soms moeite met dingen los te laten. Of het nu wiskundeleraar.nl is of iets anders. Naar af en toe moet je wel. Dus weg er mee... Laat gaan...

Voorkennis, algebra, probleemaanpak, begrip en inzicht

Op Weekpuzzels 2017 deel 2 stond een aardige opgave:



Op Oplossing week 23 staat ook een uitwerkingen van de oplossing. Op de uitwerking van de Wiskunde Academie was nog wel iets op te merken in het kader van wortels in de noemer.

De vraag is nu 'hoe pak je deze opgave aan?' en met welk 'begrip en inzicht' hebben we hier van doen?

Aanpak

In de oplossing staat niets over hoe je deze opgave aanpakt. Kennelijk heb ik iets gedaan met verhoudingen. Maar hoe kom je er op?

Voor het berekenen van de oppervlakte heb ik de lengte van een zijde en de bijbehorende hoogte nodig. Als AB=8 en ik zou de lengte van CD kennen dan was ik er al. Maar CD ken ik niet dus laat ik de lengte van CD dan x noemen.

Als CD=x dan is AD=x wegens de 45-45-90-tekendriehoek ADC. Je kunt nu DB uitdrukken in x zodat je in de 30-60-90-driehoek DBC de twee rechthoekszijden kan uitdrukken in x. In zo'n driehoek ken ik immers de verhoudingen van de zijden.

Die eigenschappen van de tekendriehoeken is de kennis die je nodig hebt. De aanpak is om vanuit de kennis een plan te maken. Wat weet ik eigenlijk van rechthoekige driehoeken met de hoeken zoals die gegeven zijn...

Je kunt nu een verhoudingstabel opstellen voor driehoek DBC. Met DB=8-x en CD=x in de verhouding 1:√3 kan je waarde van x berekenen. De oppervlakte van driehoek ABC volgt spoedig daarna...:-)

Begrip en inzicht

De oppervlakte van een willekeurige driehoek, werken met tekendriehoeken, een vergelijking opstellen, vergelijkingen oplossen, rekenen met wortels, ... Als dat allemaal lukt ben je (als docent) waarschijnlijk al blij. In dat geval zijn als die wiskundelessen niet voor niets geweest.

In de praktijk doen zich mogelijkerwijs de volgende problemen voor:

• De leerlingen lijken niet de beschikking te hebben over de noodzakelijk kennis uit de onderbouw
• Leerlingen hebben niet geleerd om problemen aan te pakken
• Leerlingen lopen vast op de algebra

Het ligt voor de hand je als docent dan vooral te richten op de kennis en vaardigheden maar is dat wel de oplossing!? Wat is eigenlijk precies het probleem?

Voorkennis

Je zou de voorkennis kunnen indelen in kennen, kunnen en begrijpen. Je moet begrijpen wat de oppervlakte van een driehoek is, hoe je, bij gegeven afmetingen, de oppervlakte uit zou kunnen rekenen en misschien moet je ook de formule wel kennen. Iets met tekendriehoeken... een portie algebra... maar... waarschijnlijk is het veel belangrijker hoe je dit soort problemen aan kan pakken.

Probleemaanpak

Bij probleemaanpak zet je de instrumenten in die je in de onderbouw hebt geleerd. Dat was het plan. De kunst is om te herkennen hoe je je probleem kunt vertalen naar wiskunde, vervolgens aan de slag met de wiskunde om het probleem op te lossen om vervolgens je oplossing te vertalen naar je probleem. Daar is NIETS mis mee. Op dit weblog kan je daar meer over vinden.

Algebra

Als je eenmaal op de juiste uitdrukking bent gekomen dan kan je de zaak verder uitwerken. Die (algebraische) vaardigheden die je daar voor nodig hebt zouden (halverwege de 4e klas) aanwezig moeten zijn.

Conclusie

Voor dit soort opgave is er heel wat nodig aan kennis en vaardigheden. Het zijn (volgens mij) complexe bezigheden. Hier komt alles samen: kennen, kunnen en begrijpen. Inderdaad, maar hoe kan je dat leren? Dat is niet zo eenvoudig als sommigen van ons willen doen geloven. Het gaat niet alleen om algebraische vaardigheden, maar ook over probleemaanpak, atitude en begrip en inzicht. Wat is hier geboden? Hoe pak ik dit aan? Wat zit er achter? Hoe kan je dat leren?

---

• Inleiding begrip en inzicht

Wortels en notaties

Was dat nu goed of fout?

• Cosinus halve hoek met een gegeven hoek

Je vindt als antwoord \(
\sqrt {\frac{{1 + \frac{2}
{3}\sqrt 2 }}
{2}}
\), maar 't antwoordmodel zegt dat het\(
\frac{1}
{6}\sqrt {18 + 12\sqrt 2 }
\) moet zijn. Maar is dat dan niet hetzelfde? Hoe kan je dat weten en hoe kan je dit soort misverstanden voorkomen? En waarom geeft het antwoordmodel dit antwoord? Klopt dat wel? Zijn daar afspraken over misschien?

Hoe zit dat nu met die geneste wortels? Moet je dat goed vinden?:-) Of is er geen ontkomen aan?:-)

---

• Zie ook breuken wegwerken onder het wortelteken
• ...of wortels
• De ene wortel is de andere niet

Naschrift

\(
\eqalign{
  & \sqrt {\frac{{1 + \frac{2}
{3}\sqrt 2 }}
{2}}  =   \cr
  & \sqrt {\frac{1}
{2} + \frac{1}
{3}\sqrt 2 } \, =   \cr
  & \sqrt {\frac{{18}}
{{36}} + \frac{{12}}
{{36}}\sqrt 2 } \, =   \cr
  & \frac{1}
{6}\sqrt {18 + 12\sqrt 2 }  \cr}
\)

Die wortels zijn hetzelfde. Dat gaat nog wel...

Naschrift 2

Het ontnesten van de wortel:

\(
\begin{array}{l}
 \sqrt {18 + 12\sqrt 2 }  = \sqrt a  + \sqrt b  \\
 18 + 2\sqrt {72}  = a + 2\sqrt {ab}  + b \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 a + b = 18 \\
 ab = 72 \\
 \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt 6  + \sqrt {12}  \\
 \end{array}
\)

Zodat:

\(
\eqalign{
  & \frac{1}
{6}\sqrt {18 + 12\sqrt 2 }  =   \cr
  & \frac{{\sqrt 6  + \sqrt {12} }}
{6} =   \cr
  & \frac{1}
{6}\sqrt 6  + \frac{1}
{3}\sqrt {3}  \cr}
\)

Dat kan, maar dat kan niet altijd...

---

• Nested radical

Leer mij het zelf doen...:-)

Puzzel

\( \eqalign{ & (0! + 0! + 0!)! = 6 \cr & (1 + 1 + 1)! = 6 \cr & 2 + 2 + 2 = 6 \cr & \sqrt 3 \cdot \left( {\sqrt 3 + \sqrt 3 } \right) = 6 \cr & \sqrt 4 + \sqrt 4 + \sqrt 4 = 6 \cr & 5^0 + \sqrt 5 \cdot \sqrt 5 = 6 \cr & 6 - 6 + 6 = 6 \cr & 7 - (7:7) = 6 \cr & \root 3 \of 8 + \root 3 \of 8 + \root 3 \of 8 = 6 \cr & (9 + 9):\sqrt 9 = 6 \cr} \)

Leerlijnen

Het doel van wiskundonderwijs zou je vooral moeten zoeken in het verwerven van een wiskundige houding.

• Sommige mensen vinden dat je bij wiskunde dingen leert waar je eigenlijk niet zo veel aan hebt. Wie lost er na de middelbare school nog een vergelijking op?

Dat is een verkeerd uitgangspunt. Het gaat uiteindelijk niet zo zeer om het kunnen oplossen van allerlei soorten vergelijkingen (hoewel dat ook wel handig kan zijn) maar om het redeneren, de problemen die je tegen komt en op kan lossen, de mogelijkheid om abstracte structuren te bestuderen, het leren redeneren, het kritisch leren kijken naar gegevens, omgaan met waarheid, logica en zekerheden.

Je mag hopen dat de vaardigheden en kennis die je opdoet bij het leren oplossen van bijvoorbeeld vergelijkingen ook zijn weerslag heeft op andere menselijke bezigheden. Ik denk dat dit zeker het geval is.

Bij de beoordeling van lesmateriaal moet je proberen uit te zoomen! Hoe past dit materiaal in de lange leerlijn omtrent het verwerven van die hogere kennis, begrip en inzicht? Draagt het daar aan bij? Geeft het goede leerlingen de mogelijkheden om zich te verdiepen? Is er een 'waarneembare neiging' naar meer begrip en meer abstractie?

---

• Hoe bepaal je de kwaliteit van lesmateriaal?

Kennen en kunnen

Ik experimenteer al een tijdje met 'kennen en kunnen'-lijstjes. Ik heb dat checklists genoemd. Ik beschouwde ze voornamelijk als een lijst om te controleren of je een hoofdstuk goed 'verwerkt' hebt.

• Klas 3
• HAVO 4 wiskunde A
• HAVO 4 wiskunde B

Tijdens de APV van 24 juni 2015 heb ik nog wel even gewezen op mogelijk gevaren van dat soort lijstjes. Het is erg lastig om de doelen van je onderwijs in dit soort lijstjes te vangen. Het moet niet te abstract zijn terwijl veel van wat wij doen toch wel abstract is. De meerwaarde van dit soort lijstjes moet je dan ook niet overschatten.

Ik hoop dan altijd maar dat er dan niet iemand mij uit gaat leggen dat dit soort lijstjes voor leerlingen toch wel heel erg nuttig kunnen zijn en zo. Dat is echt niet nodig, want het was mijn idee...:-)

Ja, maar...

Een getal van vier cijfers

Een opgave uit WisFaq:

"Hoeveel viercijferige nummers kun je maken met de getallen 0 t/m 9, als het eerste en laatste nummer oneven moet zijn, en er geen herhaling mag plaatsvinden."

 Nummers, getallen, cijfers... het is ook verwarrend:-)



De standaard manier om zoiets op te lossen is te kijken naar het aantal mogelijkheden als je systematisch de cijfers afgaat. Je maakt getallen van 4 cijfers. Voor het eerste cijfer kan je kiezen uit 5 oneven cijfers. Voor het tweede cijfer kan je dan nog kiezen uit 9 en bij het derde cijfer uit 8. Maar bij het vierde cijfer kom je in de problemen. Hoeveel oneven cijfers heb ik nog? Dat kunnen er 2, 3 of 4 zijn.

Een oplossing kan zijn om deze vier gevallen te onderscheiden. Het gaat om het tweede en derde cijfer. Als je kijkt naar het oneven zijn zijn er 4 mogelijkheden:

OOOO geeft 5·4·3·2 = 120 mogelijkheden
OEOO geeft 5·5·4·3 = 300 mogelijkheden
OOEO geeft 5·3·5·3 = 300 mogelijkheden
OEEO geeft 5·5·4·4 = 400 mogelijkheden

Dat zijn samen 1120 mogelijkheden.
Opgelost:-)

---

Nog een paar van hetzelfde soort:

1. Hoeveel viercijferige nummers kun je maken met de getallen 0 t/m 9, als het oneven en groter dan 5000 moet zijn, herhaling toegestaan?
2. Hoeveel viercijferige nummers kun je maken met de getallen 0 t/m 9, als het tussen 5001 en 8000 moet zijn, geen herhaling toegestaan.

---

• Re: Aantal mogelijkheden voor nummers met getallen

Math ERROR

Insluitstelling

Trains

A train leaves M for L at 60 mph. Another train leaves L for M at 40 mph. How far apart are the trains 1 hour before they pass each other?