Snijlijn van twee vlakken

In een rechthoekig assenstelsel OXYZ zijn gegeven de punten A(4,0,0), B(4,8,0), C (0,8,0) en T (0,0,8). Op AB ligt punt D(4,6,0).

• Bepaal een vectorvoorstelling van de snijlijn van vlak TDO en vlak ACT.

Uitwerking 

\( \begin{array}{l} TDO:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ ACT:\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \rho \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \tau \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ \left\{ \begin{array}{l} 2\lambda = 4 - \rho - \tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 2\rho - 2\tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 3\lambda - \mu \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \mu = - 7\lambda + 8 \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \left( { - 7\lambda + 8} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + - 7\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + 8 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 8 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ { - 7} \\ \end{array}} \right) \\ \end{array} \)

---

• Examenvraag 82-83 (4)

Geneste wortel

\( \begin{array}{l} \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt a - \sqrt b \\ 2 - \sqrt 3 = a - 2\sqrt {ab} + b \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 2\sqrt {ab} = \sqrt 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 4ab = 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt {1\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{2}} \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \frac{1}{2}\sqrt 6 - \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ \end{array} \)

De snijlijn van twee vlakken

Gegeven:

\(
\begin{array}{l}
 V:x - y + z = 4 \\
 W:3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array}
\)

Gevraagd:

• Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van V en W.

Uitwerking:

Maak een stelsel van twee vergelijkingen:

\(
\left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right.
\)

Als je zorgt dat er een variabel weg valt kan je vervolgens met dit stelsel de vergelijking vinden van een derde vlak waarin de snijlijn ligt:

\(
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right. \\
 (1) + (2) \\
 x - y + 3x - 2y = 9 \\
 4x - 3y = 9 \\
 \end{array}
\)

Ik kan nu x, y en z uitdrukken in \( \lambda \) en mijn vectorvoorstelling opstellen:

\(
\begin{array}{l}
 Kies\,\,y = \lambda  \\
 4x - 3\lambda  = 9 \\
 4x = 3\lambda  + 9 \\
 x = \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} \\
 \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} - \lambda  + z = 4 \\
 z = \frac{1}{4}\lambda  + 1\frac{3}{4} \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{3}{4}}  \\
   1  \\
   {\frac{1}{4}}  \\
\end{array}} \right) \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
   1  \\
\end{array}} \right) \\
 \end{array}
\)

Zie zo...:-)

Hoeken berekenen in een regelmatige vierzijdige piramide

Teken een regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met hoogte 4 en ribbe grondvlak 4, xas//AD en y as//AB. Neem als oorsprong het snijpunt AC en BD. P is het midden van AT.

1. Bereken de hoek van DP en de vlakken ACT en BDT.
2. Bereken de hoek van de vlakken ABT en ADT.

---

• Hoeken berekenen in een regelmatige 4-zijdige piramide

Nog meer kubus...

In een rechthoekig coordinatenstelsel is gegeven kubus OABC DEFG met ribbe 4. Uit een punt P(8,2,0) trekt men een lijn door S, het snijpunt van de lichaamsdiagonalen van de kubus. Deze lijn snijdt het voorvlak van de kubus in punt K en het achtervlak van de kubus in punt L.

• Bereken |KL| 

Uitwerking

\( \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 6 \\ 0 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right) \\ ABEF:x = 4 \\ 4 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \\ z = 1\frac{1}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow K\left( {4,2,1\frac{1}{3}} \right) \\ OCGH:x = 0 \\ 0 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - 1\frac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 \\ z = 2\frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow L\left( {0,2,2\frac{2}{3}} \right) \\ d(K,L) = \sqrt {4^2 + \left( {2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3}} \right)^2 } = 1\frac{1}{3}\sqrt {10} \\ \end{array} \)

• Lengte lijn door een kubus berekenen

Lineaire algebra

Het leek zo'n aardig vraagstuk:

• Bereken de plaatsvector van het snijpunt van vlak V, dat door de eindpunten van 2a, 2c en a+b+c gaat, met de lijn x=c+\(\lambda\)(b-c), uitgedrukt in a, b en c. 

Voor de oplossing  kan je een vectorvoorstelling van V opstellen en dan snijden met de lijn \(l\).

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

Dat moet het zijn...:-)
Maar zo kan het ook:

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

...en daar komt dan hetzelfde uit. Na een tijdje...:-)

Conclusie
Voor een vectorvoorstelling van een vlak V met drie gegeven plaatsvectoren kies je een steunvector en twee verschilvectoren als richtingsvectoren. De keuze van de verschillende vectoren maakt uiteindelijk niet uit. Dat is toch mooi...:-)

Vooruitgang

Als je wil weten hoe iets werkt dan moet je het proberen te veranderen. Meestal kom je er dan achter dat je eigenlijk niet goed wist wat je deed maar dat wat je deed zo gek nog niet was... en dan ga je gewoon weer terug naar wat je deed... dat heet vooruitgang:-)

• 4. Getallen en letters

Nikolay Bogdanov-Belsky

In 1895, Nikolay Bogdanov-Belsky painted the famous: "Mental Arithmetic. In the Public School of S. Rachinsky." The problem on the blackboard is (10²+11²+12²+13²+14²)/365, can you find a way to solve it with mental arithmetic?

\( \eqalign{ & \frac{{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 }} {{365}} = \cr & \frac{{10^2 + \left( {10 + 1} \right)^2 + (10 + 2)^2 + (10 + 3)^2 + (10 + 4)^2 }} {{365}} = \cr & \frac{{5 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 4 \cdot 10 + 6 \cdot 10 + 8 \cdot 10 + 1 + 4 + 9 + 16}} {{365}} = \cr & \frac{{500 + 200 + 30}} {{365}} = \cr & \frac{{730}} {{365}} = 2 \cr} \)

Ontbinden in factoren

\( \eqalign{ & 3x^2 + 4x + 1 \cr & 3x^2 + x + 3x + 1 \cr & 3x(x + 1) + 3x + 1 \cr & (3x + 1)(x + 1) \cr} \)

Knutselen

How many nickels does he have?

Yoshi has exactly one dollar in dimes (10 cents) and nickels (5 cents). If Yoshi has twice as many dimes as nickels, how many nickels does he have?

A. 4
B. 8
C. 12
D. 15

[Q.214]