Daar zit wat in. Uiteindelijk ben ik er wel uitgekomen, geloof ik, maar wat nu precies de bedoeling was zullen we nooit weten...
Formule
\(
\eqalign{
& V_{gemiddeld} = \frac{{S_{20} }}
{{20}} = \frac{{3\root {10} \of 2 \cdot v_0 }}
{{20(\root {10} \of 2 - 1)}} \cr}
\)
Voorbeeld
Neem \(v_0=1000\). In Excel krijg je dan zoiets als:
| jaar | verbruik |
| 1 | 1.072 |
| 2 | 1.149 |
| 3 | 1.231 |
| 4 | 1.320 |
| 5 | 1.414 |
| 6 | 1.516 |
| 7 | 1.625 |
| 8 | 1.741 |
| 9 | 1.866 |
| 10 | 2.000 |
| 11 | 2.144 |
| 12 | 2.297 |
| 13 | 2.462 |
| 14 | 2.639 |
| 15 | 2.828 |
| 16 | 3.031 |
| 17 | 3.249 |
| 18 | 3.482 |
| 19 | 3.732 |
| 20 | 4.000 |
| gemiddeld | 2.240 |
De formule hierboven geeft \(V_{gemiddeld}=2.239,9\) dus dat klopt...:-)
Hier kan je dan misschien toch nog wel iets doen met een integraal. Je moet wel even goed naar de grenzen kijken, maar dan heb je ook wat.
\(
\eqalign{V_{gemiddeld} = \frac{{\int\limits_{t = \frac{1}
{2}}^{20\frac{1}
{2}} {1000 \cdot e^{\frac{{\ln (2)}}
{{10}}t} dt} }}
{{20}} \approx 2240,4}
\)
Of, maar dan meer in het algemeen, voor een willekeurige waarde van \(v_0\):
\(
\eqalign{V_{gemiddeld} = v_0 \cdot \frac{{3 \cdot \root {20} \of 2 }}
{{2 \cdot \ln (2)}}}
\)
Ik bedoel maar. Ik vermaak me wel...:-)
