dinsdag 19 maart 2019

Los op

Los exact op:
  • \(
    \left( {x^2  - x - 2} \right)^2  - x^3  = 10
    \)
Uitgewerkt

\(
\eqalign{
  & \left( {x^2  - x - 2} \right)^2  - x^3  = 10  \cr
  & \left( {x^2  - x - 2} \right)\left( {x^2  - x - 2} \right) - x^3  = 10  \cr
  & x^4  - x^3  - 2x^2  - x^3  + x^2  + 2x - 2x^2  + 2x + 4 - x^3  = 10  \cr
  & x^4  - 3x^3  - 3x^2  + 4x - 6 = 0  \cr
  & \left( {x^2  - x + 1} \right)\left( {x^2  - 2x - 6} \right) = 0  \cr
  & x^2  - x + 1 = 0 \vee x^2  - 2x - 6 = 0  \cr
  & x = 1 - \sqrt 7  \vee x = 1 + \sqrt 7  \cr}
\)

zondag 17 maart 2019

Benadering voor de sinus

x sinus benadering verschil
0.000000 0.000000 0.000000 0.000
0.130900 0.130526 0.131994 0.001
0.261799 0.258819 0.260355 0.002
0.392699 0.382683 0.383562 0.001
0.523599 0.500000 0.500000 0.000
0.654498 0.608761 0.608000 0.001
0.785398 0.707107 0.705882 0.001
0.916298 0.793353 0.792013 0.001
1.047198 0.866025 0.864865 0.001
1.178097 0.923880 0.923077 0.001
1.308997 0.965926 0.965517 0.000
1.439897 0.991445 0.991334 0.000
1.570796 1.000000 1.000000 0.000
1.701696 0.991445 0.991334 0.000
1.832596 0.965926 0.965517 0.000
1.963495 0.923880 0.923077 0.001
2.094395 0.866025 0.864865 0.001
2.225295 0.793353 0.792013 0.001
2.356194 0.707107 0.705882 0.001
2.487094 0.608761 0.608000 0.001
2.617994 0.500000 0.500000 0.000
2.748894 0.382683 0.383562 0.001
2.879793 0.258819 0.260355 0.002
3.010693 0.130526 0.131994 0.001
3.141593 0.000000 0.000000 0.000


gemiddeld= 0.001

woensdag 13 maart 2019

Omtrek en oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Bereken exact de oppervlakte van de rechthoekige driehoek waarvan de omtrek 12 is en de ene rechthoekszijde 1 groter is dan de andere rechthoekszijde?

Uitwerking

\( \eqalign{ & x + x + 1 + \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = 12 \cr & \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = - 2x + 11 \cr & x^2 + x^2 + 2x + 1 = \left( { - 2x + 11} \right)^2 \cr & 2x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 44x + 121 \cr & 2x^2 - 46x + 120 = 0 \cr & x^2 - 23x + 60 = 0 \cr & (x - 3)(x - 20) = 0 \cr & x = 3 \vee x = 20\,\,\,(v.n.) \cr & x = 3 \cr} \)

De oppervlakte is 6.

Maar als de omtrek nu 's 10 is? 

Je krijgt dan zoiets:

\(
\eqalign{
  & x + x + 1 + \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  = 10  \cr
  & \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  =  - 2x + 9  \cr
  & x^2  + (x + 1)^2  = ( - 2x + 9)^2   \cr
  & x^2  + x^2  + 2x + 1 = 4x^2  - 36x + 81  \cr
  & 2x^2  - 38x + 80 = 0  \cr
  & x^2  - 19x + 40 = 0  \cr
  & x = 9\frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}\sqrt {201}  \vee x = 9\frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}\sqrt {201} \,\,\,(v.n.)  \cr
  & x = 9\frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}\sqrt {201}  \cr}
\)

De oppervlakte is 75-5√210

zondag 10 maart 2019

Dat kan ook...:-)

Op Differentiƫren van goniometrische functies met de kettingregel krijg je er wel een antwoord uit.

Mijn Derive geeft:

 \( f'(x) = 25\sin^3 (2x)\sin (4x) \)

Dat kan ook, maar hoe kom je er aan?

\(
\eqalign{
  & f(x) = 5 \cdot \sin ^5 (2x)  \cr
  & f'(x) = 5 \cdot 5 \cdot \sin ^4 (2x) \cdot \cos (2x) \cdot 2  \cr
  & f'(x) = 50\sin ^4 (2x)\cos (2x) \cr}
\)

Met \(
\sin (2A) = 2\sin (A)\cos (A)
\) krijg je:

\(
\eqalign{
  & f'(x) = 50\sin ^4 (2x)\cos (2x)  \cr
  & f'(x) = 50\sin ^3 (2x)\sin (2x)\cos (2x)  \cr
  & f'(x) = 50\sin ^3 (2x)\frac{1}
{2}\sin (4x)  \cr
  & f'(x) = 25\sin^3 (2x)\sin (4x) \cr}
\)

De vraag is alleen nog waarom je dat zou willen, maar kennelijk zit in het programma ingebakken om de exponenten zo klein mogelijk te houden. Dat is een mooi streven...:-)

zaterdag 9 maart 2019

vrijdag 8 maart 2019