Los op

Los exact op:

• \(
  \left( {x^2  - x - 2} \right)^2  - x^3  = 10
  \)

Uitgewerkt

\(
\eqalign{
  & \left( {x^2  - x - 2} \right)^2  - x^3  = 10  \cr
  & \left( {x^2  - x - 2} \right)\left( {x^2  - x - 2} \right) - x^3  = 10  \cr
  & x^4  - x^3  - 2x^2  - x^3  + x^2  + 2x - 2x^2  + 2x + 4 - x^3  = 10  \cr
  & x^4  - 3x^3  - 3x^2  + 4x - 6 = 0  \cr
  & \left( {x^2  - x + 1} \right)\left( {x^2  - 2x - 6} \right) = 0  \cr
  & x^2  - x + 1 = 0 \vee x^2  - 2x - 6 = 0  \cr
  & x = 1 - \sqrt 7  \vee x = 1 + \sqrt 7  \cr}
\)

Benadering voor de sinus

x	sinus	benadering	verschil
0.000000	0.000000	0.000000	0.000
0.130900	0.130526	0.131994	0.001
0.261799	0.258819	0.260355	0.002
0.392699	0.382683	0.383562	0.001
0.523599	0.500000	0.500000	0.000
0.654498	0.608761	0.608000	0.001
0.785398	0.707107	0.705882	0.001
0.916298	0.793353	0.792013	0.001
1.047198	0.866025	0.864865	0.001
1.178097	0.923880	0.923077	0.001
1.308997	0.965926	0.965517	0.000
1.439897	0.991445	0.991334	0.000
1.570796	1.000000	1.000000	0.000
1.701696	0.991445	0.991334	0.000
1.832596	0.965926	0.965517	0.000
1.963495	0.923880	0.923077	0.001
2.094395	0.866025	0.864865	0.001
2.225295	0.793353	0.792013	0.001
2.356194	0.707107	0.705882	0.001
2.487094	0.608761	0.608000	0.001
2.617994	0.500000	0.500000	0.000
2.748894	0.382683	0.383562	0.001
2.879793	0.258819	0.260355	0.002
3.010693	0.130526	0.131994	0.001
3.141593	0.000000	0.000000	0.000
		gemiddeld=	0.001

• Mahabhaskariya of Bhaskara I

Omtrek en oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Bereken exact de oppervlakte van de rechthoekige driehoek waarvan de omtrek 12 is en de ene rechthoekszijde 1 groter is dan de andere rechthoekszijde?

Uitwerking

\( \eqalign{ & x + x + 1 + \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = 12 \cr & \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = - 2x + 11 \cr & x^2 + x^2 + 2x + 1 = \left( { - 2x + 11} \right)^2 \cr & 2x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 44x + 121 \cr & 2x^2 - 46x + 120 = 0 \cr & x^2 - 23x + 60 = 0 \cr & (x - 3)(x - 20) = 0 \cr & x = 3 \vee x = 20\,\,\,(v.n.) \cr & x = 3 \cr} \)

De oppervlakte is 6.

Maar als de omtrek nu 's 10 is? 

Je krijgt dan zoiets:

\(
\eqalign{
  & x + x + 1 + \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  = 10  \cr
  & \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  =  - 2x + 9  \cr
  & x^2  + (x + 1)^2  = ( - 2x + 9)^2   \cr
  & x^2  + x^2  + 2x + 1 = 4x^2  - 36x + 81  \cr
  & 2x^2  - 38x + 80 = 0  \cr
  & x^2  - 19x + 40 = 0  \cr
  & x = 9\frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}\sqrt {201}  \vee x = 9\frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}\sqrt {201} \,\,\,(v.n.)  \cr
  & x = 9\frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}\sqrt {201}  \cr}
\)

De oppervlakte is 75-5√210

Dat kan ook...:-)

Op Differentiëren van goniometrische functies met de kettingregel krijg je er wel een antwoord uit.

Mijn Derive geeft:

 \( f'(x) = 25\sin^3 (2x)\sin (4x) \)

Dat kan ook, maar hoe kom je er aan?

\(
\eqalign{
  & f(x) = 5 \cdot \sin ^5 (2x)  \cr
  & f'(x) = 5 \cdot 5 \cdot \sin ^4 (2x) \cdot \cos (2x) \cdot 2  \cr
  & f'(x) = 50\sin ^4 (2x)\cos (2x) \cr}
\)

Met \(
\sin (2A) = 2\sin (A)\cos (A)
\) krijg je:

\(
\eqalign{
  & f'(x) = 50\sin ^4 (2x)\cos (2x)  \cr
  & f'(x) = 50\sin ^3 (2x)\sin (2x)\cos (2x)  \cr
  & f'(x) = 50\sin ^3 (2x)\frac{1}
{2}\sin (4x)  \cr
  & f'(x) = 25\sin^3 (2x)\sin (4x) \cr}
\)

De vraag is alleen nog waarom je dat zou willen, maar kennelijk zit in het programma ingebakken om de exponenten zo klein mogelijk te houden. Dat is een mooi streven...:-)

Even controleren...

 

• Klopt als een bus!:-)

Chi-kwadraat (2)

Chi-kwadraat