zondag 17 mei 2020

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Hoe bereken je de eerste term van een meetkundige rij als je weet dat t6+t7=240 en t9+t10=1300?

Uitwerking 

\( \eqalign{ & \left\{ \matrix{ ar^5 + ar^6 = 240 \hfill \cr ar^8 + ar^9 = 1300 \hfill \cr} \right. \cr & {{ar^8 + ar^9 } \over {ar^5 + ar^6 }} = {{1300} \over {240}} \cr & {{ar^8 \left( {1 + r} \right)} \over {ar^5 \left( {1 + r} \right)}} = {{65} \over {12}} \cr & r^3 = {{65} \over {12}} \cr & r = {1 \over 6}\root 3 \of {1170} \cr & a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 = 240 \cr & a\left( {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 } \right) = 240 \cr & a = {{240} \over {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 }} \cr & a = {{240} \over {{{65\root 3 \of {50700} } \over {144}} + {{4225} \over {144}}}} \cr & a = {{34560} \over {65\root 3 \of {50700} + 4225}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cdot {{\root 3 \of {65} } \over {\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\root 3 \of {12} + 845\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\left( {\root 3 \of {65} + \root 3 \of {12} } \right)}} \cr} \)

donderdag 14 mei 2020

Een assenvergelijking van het vlak V


  • Wat is de vergelijking voor vlak V met de punten E, P en Q?


\( \eqalign{ & V:(8,0,0),(0,4,0)\,\,\,en\,\,\,(0,0, - 8) \cr & V:\frac{x} {8} + \frac{y} {4} + \frac{z} {{ - 8}} = 1 \cr & V:x + 2y - z = 8 \cr} \)



zaterdag 25 april 2020

Snijlijn van twee vlakken

In een rechthoekig assenstelsel OXYZ zijn gegeven de punten A(4,0,0), B(4,8,0), C (0,8,0) en T (0,0,8). Op AB ligt punt D(4,6,0).
  • Bepaal een vectorvoorstelling van de snijlijn van vlak TDO en vlak ACT.
Uitwerking 

\( \begin{array}{l} TDO:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ ACT:\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \rho \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \tau \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ \left\{ \begin{array}{l} 2\lambda = 4 - \rho - \tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 2\rho - 2\tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 3\lambda - \mu \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \mu = - 7\lambda + 8 \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \left( { - 7\lambda + 8} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + - 7\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + 8 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 8 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ { - 7} \\ \end{array}} \right) \\ \end{array} \)

Geneste wortel

\( \begin{array}{l} \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt a - \sqrt b \\ 2 - \sqrt 3 = a - 2\sqrt {ab} + b \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 2\sqrt {ab} = \sqrt 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 4ab = 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt {1\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{2}} \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \frac{1}{2}\sqrt 6 - \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ \end{array} \)

donderdag 23 april 2020

maandag 20 april 2020

Vraag 10

Een fabrikant van pralines verpakt reeds jaren zijn leveringen aan grootwarenhuizen in dozen met een vierkante grondoppervlakte (zijde is 8 cm) en een hoogte van 21 cm. Hij zou graag de inhoud van zijn dozen vergroten maar wil niet meer betalen aan karton voor zijn dozen.
  • Wat zijn de afmetingen van de zijden van het grondvlak en de hoogte waarbij de inhoud maximaal wordt?
Uitwerkingen

Eerst maar 's een tekening:

q89637img1.gif
  1. De totale oppervlakte bestaat uit 4 zijvlakken van 8x21, een grondvlak van 82 en een bovenvlak van 82. Meer in 't algemeen: je hebt 4 zijvlakken van hx, een grondvlak van x2 en een bovenvlak van x2. Optellen en je hebt je formule voor de oppervlakte O. Invullen van x=8 en h=21 zal dan wel lukken.
  2. Als je een formuie hebt met O=...·xh+...·x2 en je weet dat O de oppervlakte van het pak is als x=8 en h=21 dan kan je de formule herschrijven waarbij je h uitdrukt in x.
  3. De inhoud van de balk is gelijk aan I=x2·h. Vul voor h de formule in die je bij b. gevonden hebt. Je krijgt dan een formule voor de inhoud I uitgedrukt in x.
  4. Bepaal de afgeleide van de functie die je bij c. gevonden hebt.
  5. Stel de afgeleide nul, los op en je hebt mogelijke kandidaten voor x waarbij je grootste inhoud hebt.
  6. Als je de waarde van x gevonden hebt dan kan je de bijbehorende waarde van h uitrekenen. Wat valt je op?

donderdag 16 april 2020

Twee voorbeelden van eenvoudige vlakvullingen

Eén eenvoudige manier om een vlakvulling te maken is uitgaan van (bijvoorbeeld) een gelijkzijdige driehoek en te zorgen dat je tekening aansluit... dus A en A', B en B' en C aan C'.

q8627img1.gif

Dat geeft dan als vlakvulling:

q8627img2.gif

Vierkant
Dat kan uit als je uitgaat van een vierkant:

q8627img3.gif

Dat geeft dan:

q8627img4.gif

Dat is dan toch wel aardig toch?

woensdag 15 april 2020

Veelhoeken en middens van zijden - deel 2

Je kunt bij een gegeven aantal oneven middens een n-hoek tekenen. Dat lukt altijd. Bij een willekeurig startpunt kan je het 'beoogde startpunt' vinden op het midden van start- en eindpunt.

q14638img1.gif

Eigenlijk had D''' op D uit moeten komen. Om het te laten kloppen moet je D kiezen op het midden van DD''':

q14638img2.gif

Dus kies D op E.

q14638img3.gif

Mission accomplised.

Je kunt overigens bij gegeven middens het startpunt ook berekenen: Dit doe je door het om en om optellen en aftrekken van de coördinaten van de middens te nemen.

x:=2-5+3=0
y:=1-3+4=2

Neem D(0,2).

Dat werkt bij oneven aantallen. Voor even aantallen gelden weer andere dingen.

Veelhoeken en middens van zijden

Neem 's aan dat je bij een gegeven n punten een n-hoek moet tekenen waarvan die punten de middens zijn van de zijden. Dus (bijvoorbeeld) zoiets als:

q14637img1.gif

Je kunt er dan achter komen dat dit met 4 willekeurige punten (of elk even aantal) niet altijd gaat lukken. Na 3 punten ligt het 4e punt in feite al vast.

q14637img2.gif

Het 4e midden moet op de zijde in het midden van DD''' liggen. Daarmee krijg je een vierhoek die klopt.

q14637img3.gif

Nu kun je punt D verplaatsen en kan je voor D elke willekeurig lokatie kiezen.

q14637img4.gif

Voor oneven n geldt dat niet. Daar is ook van alles te beleven...

Verschillende soorten symmetrie

Draaisymmetrie
Puntsymmetrie
Schuifsymmetrie
q1901img4.gif
q1901img5.gif
q8625img1.gif
Draaisymmetrie, maar dan moet je niet op kleur letten.
Puntsymmetrie als je niet op de kleur let.
 Je kunt de figuren naar rechts (of naar links) verschuiven.
Lijnsymmetrie
Puntsymmetrie
Draaisymmetrie
q1901img1.gif
q1901img2.gif
q1901img3.gif
De rode lijn geeft aan dat de figuren lijnsymmetrisch zijn.
De katten zijn puntsymmetrisch t.o.v. de groene punt.
De groen punt is het centrum van draaiing over 120°. Er zijn natuurlijk nog veel meer punten te vinden.