woensdag 24 augustus 2016

Twee ladders in een nauwe steeg


Twee ladders staan in een nauwe steeg die 12 meter breed is. Elke ladder staat van de voet van de ene muur schuin door de steeg tegen de andere muur. Ze vormen zo samen een X-vorm (zie figuur). De ene ladder is 13 meter lang, en de andere 20 meter.
  • Op welke hoogte raken de ladders elkaar?

donderdag 18 augustus 2016

Het tankstation

Er zijn verschillende varianten van optimaliseringsproblemen die met differentiëren kunnen worden opgelost. De kunst is dan om een formule te bedenken waarmee je (afhankelijk van een variabele) de totale kosten kan berekenen. Zoek het minimum.

Dit is daar een mooi voorbeeld van:

q82717img1.gif
  • Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Oplossing

Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.

De formule:

\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)

Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?

De afgeleide:

\(\eqalign{
  & {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}   \cr
  & {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot  - 1  \cr
  & {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)

Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:

\(\eqalign{
  & 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0  \cr
  & 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} =   \cr
  & 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3  \cr
  & \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5}  \cr
  & 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25}   \cr
  & {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right)  \cr
  & 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4}  \cr
  & 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9  \cr
  & 64{x^2} - 128x + 55 = 0  \cr
  & (8x - 5)(8x - 11) = 0  \cr
  & x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.)  \cr
  & x = \frac{5}{8} \cr}\)

dinsdag 16 augustus 2016

Product-som-methode

Daar was ie weer...:-)

\(\eqalign{
  & 4{x^2} - 4x - 3 = 0  \cr
  & a \cdot b =  - 12  \cr
  & a + b =  - 4  \cr
  & a =  - 6\,\,en\,\,b = 2  \cr
  & 4{x^2} - 6x + 2x - 3 = 0  \cr
  & 2x(2x - 3) + 2x - 3 = 0  \cr
  & (2x + 1)(2x - 3) = 0  \cr
  & 2x + 1 = 0 \vee 2x - 3 = 0  \cr
  & 2x =  - 1 \vee 2x = 3  \cr
  & x =  - \frac{1}{2} \vee x = 1\frac{1}{2} \cr}\)

...ik ken nog meer kunstjes, maar dit is wel mijn favoriet...:-)

zaterdag 16 juli 2016

Dat is ook toevallig... of misschien ook wel niet...

Ik las ergens dat \(\sqrt {2\frac{2}{3}}\) hetzelfde is als \(2\sqrt {\frac{2}{3}}\). De vraag is dan "is dat altijd zo?" en "zo nee, kan je nog meer voorbeelden bedenken?" of nog beter "kun je alle mogelijkheden geven?".

Je moet dan nog wel even bepalen wat nu precies de bijzonderheid is van het voorbeeld. Kortom (zoals altijd) is er (mogelijkerwijs) van alles te ontdekken.

Maar helaas... 't is vakantie... dus dan houdt alles op:-)

Naschrift
Nou vooruit... hier is er nog één....\(\sqrt {3\frac{3}{8}}  = 3\sqrt {\frac{3}{8}}\)

Nog meer naschrift

\(\eqalign{
  & \sqrt {2\frac{2}{3}}  \to \frac{2}{3}\sqrt 6   \cr
  & 2\sqrt {\frac{2}{3}}  \to \frac{2}{3}\sqrt 6   \cr
  & \sqrt {3\frac{3}{8}}  \to \frac{3}{4}\sqrt 6   \cr
  & 3\sqrt {\frac{3}{8}}  \to \frac{3}{4}\sqrt 6  \cr}\)

Maar nu stop ik er mee hoor...:-)
Maak het verhaal zelf af en kleur de plaatjes...

woensdag 13 juli 2016

Week 28

q13057img1.gif

Gegeven is het trapezium ABCD met:
  • AB=16, BC=9, DC=7 en AD=10.
  • AB // DC
Bereken exact de oppervlakte van ABCD.

zondag 10 juli 2016

DWO opstarten

Het plan is om volgend schooljaar DWO weer op te starten. Ik ben er alvast maar mee begonnen:
  • Docentenaccounts aangemaakt
  • Klassen aangemaakt
  • Een aantal modules geselecteerd
Ik heb nu in mijn DWO de volgende mappen aangemaakt:
  • 4 HAVO wiskunde A
    • Functies raden
  • 4 HAVO wiskunde B
    • Algebraische vaardigheden
    • Kwadratische vergelijkingen Strategie
    • Functies raden
    • Machten herleiden
    • Vergelijkingen
  • 5 HAVO wiskunde A
  • 5 HAVO wiskunde B
  • Rekenen
  • Rekenen 3F
    • Rekentoets 2012
    • Rekentoets 2013
    • Rekentoets 2014
    • Rekentoets 2015
  • Rekentoetsen
    • Oefenopgaven 2F
    • Oefenopgaven 3F
    • 3F - Toets A
    • 3F - Toets B
    • 3F - Toets C
Die rekentoetsen van 2012-2015 heb ik geïmporteerd. Ze komen van wiskunde zonder boek en dat werkt.

Er is nog een hele verzameling activiteiten die onderzocht moeten worden. Bekende applets als huisjes bouwen of de aanpak van kwadratische vergelijkingen moet je zeker gebruiken.

De nieuwe opzet is een mooie gelegenheid om alle oude zooi op te ruimen. Nu maar 's vanaf het begin heldere afspraken maken, een efficiënt en zakelijk beheer en vooral ook veel zelf ontwikkelen.

q12634img3.gif

zaterdag 9 juli 2016

Eindejaarsevaluatie algemeen:-)

Hierbij verklaar ik het schooljaar 2015-2016 voor beëindigd. Het was, zoals altijd, een bewogen jaar.:-)

Ik heb les gegeven, iets gedaan met doodlopende leerlijnen, een lach, een traan, getwijfeld of ik het op zou geven, maar toch maar doorgegaan. Het plan is om me verder te ontwikkelen, het moet nu maar een keer van komen. Zoek de olifant!



...en dan... ga ik dat maar doen volgend jaar. Les geven, studeren, aansturen, overleggen, DWO opnieuw starten... PO voor wiskunde A verbeteren... maar nu eerst vakantie vieren.