vrijdag 29 april 2022

Het brievenprobleem?

Naar aanleiding van een vraag in WisFaq over het brievenprobleem:

Een briefschrijver schrijft tien brieven en adresseert tien envloppen. Op hoeveel manieren kunnen de brieven in de verkeerde enveloppen worden gestopt?
Als men zeven brieven op goed geluk in zeven enveloppen stopt, hoeveel brieven zou men dan gemiddeld in de juiste enveloppe verwachten terug te vinden?

Bron: Merkwaardige en interessante puzzels (oorspronkelijke titel: The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzels) – 1995, David Wells, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, ISBN 90 5713 3121 - Problemen 130 en 131.

Het antwoord op deze vragen kan je vinden in WisFaq. Dit soort vragen duikt op in allerlei gedaanten.

woensdag 13 april 2022

Klaar is Klara...:-)

Coordinaat C vinden zodat driehoek ABC rechthoekig is in C

woensdag 6 april 2022

Nog meer andere koek van hetzelfde

\( \eqalign{ & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} \cr & stel:\sqrt {x^2 + x + 1} = x + t \cr & noot: \cr & \sqrt {x^2 + x + 1} = x + t \cr & x^2 + x + 1 = (x + t)^2 \cr & x^2 + x + 1 = x^2 + 2tx + t^2 \cr & x + 1 = 2tx + t^2 \cr & x - 2tx = t^2 - 1 \cr & x(1 - 2t) = t^2 - 1 \cr & x = \frac{{t^2 - 1}} {{1 - 2t}} \cr & dus:x = \frac{{1 - t^2 }} {{2t - 5}} \cr & dx + dt = \left[ {\sqrt {x^2 + x + 1} } \right]' \cr & dx + dt = \frac{{2x + 1}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & 2\sqrt {x^2 + x + 1} dx + 2\sqrt {x^2 + x + 1} dt = 2x + 1 \cr & 2\sqrt {x^2 + x + 1} dt = 2x + 1 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} dx \cr & dt = \frac{{2x + 1 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} dx}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & noot: \cr & t = \sqrt {x^2 + x + 1} - x \cr & 2t = 2\sqrt {x^2 + x + 1} - 2x \cr & dus: \cr & dt = \frac{{\left( {1 - 2t} \right)dx}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & \frac{{dt}} {{1 - 2t}} = \frac{{dx}} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & \frac{{2dt}} {{1 - 2t}} = \frac{{dx}} {{\sqrt {x^2 + x + 1} }} \cr & invullen: \cr & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} = \cr & 2\int {\frac{1} {x}} \cdot \left( {\frac{1} {{2\sqrt {x^2 + x + 1} }}} \right)dx = \cr & 2\int {\frac{{1 - 2t}} {{t^2 - 1}}} \cdot \frac{{dt}} {{1 - 2t}} = \cr & 2\int {\frac{{dt}} {{t^2 - 1}}} = \cr & \ln \left( {\frac{{t - 1}} {{t + 1}}} \right) = \cr & invullen: \cr & \ln \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + x + 1} - x} \right) - 1}} {{\left( {\sqrt {x^2 + x + 1} - x} \right) + 1}}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{x + 2 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} }} {{3x}}} \right) \cr & conclusie: \cr & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} = \ln \left( {\frac{{x + 2 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} }} {{3x}}} \right) + C_1 \cr & of \cr & \int {\frac{{dx}} {{x\sqrt {x^2 + x + 1} }}} = \ln \left( {\frac{{x + 2 - 2\sqrt {x^2 + x + 1} }} {x}} \right) + C_2 \cr} \)

Integraal

Naar aanleiding van Integreren door substitutie:

\( \eqalign{ & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} \cr & stel\,\,\sqrt {x^2 + 5x + 1} = x + t \cr & noot: \cr & \sqrt {x^2 + 5x + 1} = x + t \cr & x^2 + 5x + 1 = (x + t)^2 \cr & x^2 + 5x + 1 = x^2 + 2tx + t^2 \cr & 5x + 1 = 2tx + t^2 \cr & 5x - 2tx = t^2 - 1 \cr & x(5 - 2t) = t^2 - 1 \cr & x = \frac{{t^2 - 1}} {{5 - 2t}} \cr & dus\,\,x = \frac{{1 - t^2 }} {{2t - 5}} \cr & dx + dt = \left[ {\sqrt {x^2 + 5x + 1} } \right]' \cr & dx + dt = \frac{{2x + 5}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} \,dx + 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} dt = 2x + 5 \cr & 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} dt = 2x + 5 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} \,dx \cr & dt = \frac{{2x + 5 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} \,dx}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & noot: \cr & t = \sqrt {x^2 + 5x + 1} - x \cr & 2t = 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} - 2x \cr & dus: \cr & dt = \frac{{\left( {5 - 2t} \right)\,dx}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & \frac{{dt}} {{5 - 2t}} = \frac{{dx}} {{2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & \frac{{2dt}} {{5 - 2t}} = \frac{{dx}} {{\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} \cr & invullen: \cr & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} = \cr & \int {\frac{1} {x}} \cdot \frac{1} {{\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}dx = \cr & \int {\frac{{5 - 2t}} {{t^2 - 1}}} \cdot \frac{2} {{5 - 2t}}dt = \cr & \int {\frac{2} {{t^2 - 1}}dt} = \cr & 2\int {\frac{{dt}} {{t^2 - 1}}} = \cr & \ln \left( {\frac{{t - 1}} {{t + 1}}} \right) = \cr & invullen: \cr & \ln \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + 5x + 1} - x} \right) - 1}} {{\left( {\sqrt {x^2 + 5x + 1} - x} \right) + 1}}} \right) = \cr & \ln \left( {\frac{{5x + 2 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} {{7x}}} \right) \cr & conclusie: \cr & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} = \ln \left( {\frac{{5x + 2 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} {{7x}}} \right) + C{}_1 \cr & of \cr & \int {\frac{1} {{x\sqrt {x^2 + 5x + 1} }}\,dx} = \ln \left( {\frac{{5x + 2 - 2\sqrt {x^2 + 5x + 1} }} {x}} \right) + C_2 \cr} \)

Dat is andere koek...