donderdag 2 april 2020

Afstand van punt en lijn

Teken een kubus ABCO·DEFG met de x as langs OA, de y as langs OC en de z as langs OG. De ribbe van de kubus is 2. Als P het midden is van ribbe FG en Q het midden van ribbe BC.
  • Bereken dan de afstand van het punt P tot de lijn AQ.
Uitwerking



Eerst maar 's een vectorvoorstelling van de lijn AQ:

\(
AQ:\left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   0  \\
   0  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - 1}  \\
   2  \\
   0  \\
\end{array}} \right)
\)

Neem dan het vlak V loodrecht op AQ en waar P in ligt:

\(
\begin{array}{l}
 V: - x + 2y = d \\
 P(0,1,2)\,\,\,in\,\,\,V \\
 d = 2 \\
 \end{array}
\)

Je kunt V snijden met AQ om P' te vinden:

\(
\begin{array}{l}
 V: - x + 2y = 2 \\
  - \left( {2 - \lambda } \right) + 2\left( {2\lambda } \right) = 2 \\
  - 2 + \lambda  + 4\lambda  = 2 \\
 5\lambda  = 4 \\
 \lambda  = \frac{4}{5} \\
 P'\left( {1\frac{1}{5},1\frac{3}{5},0} \right) \\
 \end{array}
\)

En dan zijn we er wel zo'n beetje:

\(
d(PP') = \sqrt {\left( {1\frac{1}{5} - 0} \right)^2  + \left( {1\frac{3}{5} - 1} \right)^2  + \left( {0 - 2} \right)^2 }  = \frac{1}{5}\sqrt {145}
\)

Dat kan ook...:-)


maandag 30 maart 2020

Transformaties

Gegeven:

\( \eqalign{ & f(x) = x^2 \cr & g(x) = x^2 - 4x + 3 \cr} \)

De gemeenschappelijke raaklijn raakt \(f\) in \(x=p\) en \(g\) in \(x=q\).
  • Bereken de waarde van \(p\) en \(q\).
Alternatieve uitwerking

Je kunt \(f\) opvatten als een translatie van \(g\). Je krijgt dan:

\(
\eqalign{
  & P(p,p^2 )  \cr
  & Q(p + 2,p^2  - 1)  \cr
  & a = \frac{{p^2  - 1 - p^2 }}
{{p + 2 - p}} = \frac{{ - 1}}
{2} =  - \frac{1}
{2}  \cr
  & f'(p) = 2p =  - \frac{1}
{2} \Rightarrow p =  - \frac{1}
{4}  \cr
  & q = p + 2 =  - \frac{1}
{4} + 2 = 1\frac{3}
{4} \cr}
\)

Maar ja... ga dat maar 's uitleggen dan...:-)

zaterdag 28 maart 2020

Oplossen derdegraads vergelijking (TI82)

De oplossingen van -x3 + ax2 + bx + c = 0. De waarden van a, b en c staan in A, B en C. (Zie ook karakteristieke vergelijking!) Het programma:
In het geval de oplossingen complex zijn moeten we iets anders verzinnen.

zondag 15 maart 2020

Limieten van vierkantswortels

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x - 3} }} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x - 3} }} \cdot \frac{{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 6 - 3x}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2x + 6}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\left( {x - 3} \right)}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\sqrt {x - 3} }} {{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} = \frac{{ - 2\sqrt {3 - 3} }} {{\sqrt {3 + 6} + \sqrt {3 \cdot 3} }} = 0 \cr} \)


zaterdag 29 februari 2020

Maak een duidelijke tekening

In een 4-zijdige piramide T OABC is de hoogte 4 en het grondvlak een vierkant met zijde 3.

De x-as langs OA, de y-as langs OC en de z-as langs OT.
Door de punten D(2,-3,2) en E (-1,3,0) trekt men een lijn die de piramide snijdt in de punten P en Q.
  • Maak een duidelijke tekening en bereken |PQ|.
UITWERKING



Dat is alvast een goed begin... het halve werk... later misschien meer...:-)

Maar als je twijfelt kan je altijd een bovenaanzicht tekenen en dan kijken of je een beetje in de goede richting zit.



\( \begin{array}{l} {\rm{Gegeven:}} \\ {\rm{D(2}}{\rm{, - 3}}{\rm{,2)\,\,en\,\,E ( - 1}}{\rm{,3}}{\rm{,0)}} \\ \overrightarrow {DE} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ { - 3} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ { - 6} \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ Vlak\,\,\,OAT:y = 0 \\ - 3 + - 6\lambda = 0 \\ 6\lambda = - 3 \\ \lambda = - \frac{1}{2} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3 \cdot - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ y = 0 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{1}{2} = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right) \\ Vlak\,\,\,OCT:x = 0 \\ 2 + 3\lambda = 0 \\ 3\lambda = - 2 \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 3 - 6 \cdot - \frac{2}{3} = 1 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right)\,\,\,en\,\,\,Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ d(P,Q) = \sqrt {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( { - 1} \right)^2 + \left( {1 - \frac{2}{3}} \right)^2 } \\ d(P,Q) = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{9}} = 1\frac{1}{6} \\ \end{array} \)

Op gelijk afstand

"Gegeven zijn de punten A(1,0,-1), B(2,3,1) en C(0,2,-3). Bepaal een punt P dat op gelijke afstand ligt van A, B en C en op afstand \(\sqrt{5}\) van het vlak ABC."