Lineaire algebra

Het leek zo'n aardig vraagstuk:

• Bereken de plaatsvector van het snijpunt van vlak V, dat door de eindpunten van 2a, 2c en a+b+c gaat, met de lijn x=c+\(\lambda\)(b-c), uitgedrukt in a, b en c. 

Voor de oplossing  kan je een vectorvoorstelling van V opstellen en dan snijden met de lijn \(l\).

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

Dat moet het zijn...:-)
Maar zo kan het ook:

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

...en daar komt dan hetzelfde uit. Na een tijdje...:-)

Conclusie
Voor een vectorvoorstelling van een vlak V met drie gegeven plaatsvectoren kies je een steunvector en twee verschilvectoren als richtingsvectoren. De keuze van de verschillende vectoren maakt uiteindelijk niet uit. Dat is toch mooi...:-)