dinsdag 23 december 2014
Een gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek heeft een omtrek van 25 en de lengten van de zijden zijn priemgetallen.
- Wat zijn dan mogelijke zijden?
zondag 21 december 2014
De delers van 496
De delers van 496:
1x496
2x248
4x124
8x62
16x31
De delers van 496 zijn: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 en 496.
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
Check:-)
1x496
2x248
4x124
8x62
16x31
De delers van 496 zijn: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 en 496.
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
Check:-)
Bijzondere methode?
Via @jamestanton op twitter kwam ik deze 'bijzondere methode' tegen om kwadratische vergelijkingen op te lossen:
\( \eqalign{ & x^2 - 6x = 11 \cr & x(x - 6) = 11 \cr & ... \cr & (k - 3)(k + 3) = 11 \cr & k^2 - 9 = 11 \cr & k^2 = 20 \cr & k = \pm \sqrt {20} = \pm 2\sqrt 5 \cr & x = 3 \pm 2\sqrt 5 \cr} \)
bron
Maar hoe bijzonder is dat?
\(
\eqalign{
& x^2 - 6x = 11 \cr
& (x - 3)^2 - 9 = 11 \cr
& (x - 3)^2 = 20 \cr
& x - 3 = \pm \sqrt {20} \cr
& x = 3 \pm 2\sqrt 5 \cr}
\)
't Lijkt wel kwadraatafsplitsen!:-)
\(
\eqalign{
& x^2 + 6x = 11 \cr
& x(x + 6) = 11 \cr
& (k - 3)(k + 3) = 11 \cr
& k^2 - 9 = 11 \cr
& k^2 = 20 \cr
& k = \pm 2\sqrt 5 \cr
& x = - 3 \pm 2\sqrt 5 \cr}
\)
Hm!? Waarom wordt het nu -3 en niet 3 zoals net? Omdat het een translatie is... Al met al wordt het er niet duidelijker van, dus ik houd het toch maar op kwadraatafsplitsen...:-)
\( \eqalign{ & x^2 - 6x = 11 \cr & x(x - 6) = 11 \cr & ... \cr & (k - 3)(k + 3) = 11 \cr & k^2 - 9 = 11 \cr & k^2 = 20 \cr & k = \pm \sqrt {20} = \pm 2\sqrt 5 \cr & x = 3 \pm 2\sqrt 5 \cr} \)
bron
Maar hoe bijzonder is dat?
\(
\eqalign{
& x^2 - 6x = 11 \cr
& (x - 3)^2 - 9 = 11 \cr
& (x - 3)^2 = 20 \cr
& x - 3 = \pm \sqrt {20} \cr
& x = 3 \pm 2\sqrt 5 \cr}
\)
't Lijkt wel kwadraatafsplitsen!:-)
\(
\eqalign{
& x^2 + 6x = 11 \cr
& x(x + 6) = 11 \cr
& (k - 3)(k + 3) = 11 \cr
& k^2 - 9 = 11 \cr
& k^2 = 20 \cr
& k = \pm 2\sqrt 5 \cr
& x = - 3 \pm 2\sqrt 5 \cr}
\)
Hm!? Waarom wordt het nu -3 en niet 3 zoals net? Omdat het een translatie is... Al met al wordt het er niet duidelijker van, dus ik houd het toch maar op kwadraatafsplitsen...:-)
Week 20
Ik heb op mijn website een scriptje staan dat steeds 3 'willekeurig' gekozen plaatjes geeft.
Het script kiest daarbij steeds 3 plaatjes uit een verzameling van 24. Soms komen dezelfde plaatjes voor in het drietal.
Het script kiest daarbij steeds 3 plaatjes uit een verzameling van 24. Soms komen dezelfde plaatjes voor in het drietal.
- Hoe groot moet je verzameling zijn als je wilt dat de kans op drie verschillende plaatjes groter of gelijk aan 0,95 is?
Konijnen
zaterdag 20 december 2014
Gevonden voorwerpen
\(
\large
\eqalign{
& 4\sqrt {4 - p} - \frac{1}
{3}\left( {\sqrt {4 - p} } \right)^3 - p\sqrt {4 - p} = \frac{8}
{3} \cr
& Neem\,\,q = \sqrt {4 - p} \cr
& Er\,\,geldt:p = 4 - q^2 \cr
& 4q - \frac{1}
{3}q^3 - \left( {4 - q^2 } \right) \cdot q = \frac{8}
{3} \cr
& 4q - \frac{1}
{3}q^3 - 4q + q^3 = \frac{8}
{3} \cr
& \frac{2}
{3}q^3 = \frac{8}
{3} \cr
& 2q^3 = 8 \cr
& q^3 = 4 \cr
& q = \root 3 \of 4 \cr
& p = 4 - \left( {\root 3 \of 4 } \right)^2 = 4 - 2\root 3 \of 2 \cr}
\)
vrijdag 19 december 2014
Pseudo context?
The picture shows q wire suspending a bridge from two points. Assume that the origin is taken tot the left fixed point. The bridge is four meters in length.
- Explain why the curve y=x(x-4) may be a suitable model for the suspension wire.
- Use this model to find the coordinates of het middle point of the bridge (where the wire is at its lowest point).
@Twitter: Argh, yet another crappy pseudo-context: a 4(!) metre bridge with a catenary 'modelled' by a quadratic...
Dit is het origineel:
Die 4 meter is wel een beetje vreemd als je naar het plaatje kijkt.
We kijken maar 's naar de grafiek bij de formule:
Dit is een model voor de vorm van de kettinglijn:
Maar niet zo'n gek model:
Uiteindelijk kan het best?
De brug
Bij een draagkabel van de hangbrug hoort de formule: \(\large h=0,01x^2+7\)
Hierin is \(\large x\) in meters en \(\large h\) de hoogte van de kabel boven het wateroppervlak in meters.
getal en ruimte | figuur 1.10
Hierin is \(\large x\) in meters en \(\large h\) de hoogte van de kabel boven het wateroppervlak in meters.
getal en ruimte | figuur 1.10
- Ter gelegenheid van de feestdagen is tussen de punten \(\large P\) en \(\large Q\) op de draagkabels een 45 meter lange horizontale draad met kerstverlichting gespannen. Bereken in hele meter op welke hoogte de lampjes boven de weg hangen.
vrijdag 12 december 2014
woensdag 10 december 2014
zondag 7 december 2014
De worteltruuk
Op deze pagina kwam ik wel een aardig sommetje tegen. Je moet de dingen niet makkelijker maken dan ze zijn maar ook niet moeilijker. Kortom: lang leve de worteltruuk...
\(
\eqalign{
& \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} = \cr
& \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} = \cr
& \frac{{2 + \sqrt 2 }}
{{\sqrt 2 }} = \cr
& \frac{2}
{{\sqrt 2 }} + 1 \cr
& \sqrt 2 + 1 \cr}
\)
Ik vind het mooi:-)
\(
\eqalign{
& \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} = \cr
& \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} = \cr
& \frac{{2 + \sqrt 2 }}
{{\sqrt 2 }} = \cr
& \frac{2}
{{\sqrt 2 }} + 1 \cr
& \sqrt 2 + 1 \cr}
\)
Ik vind het mooi:-)
Week 18 en 19
Week 18
Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC, met ingeschreven cirkel met straal r=6 en een rechthoekszijde van 16.
- Bereken de lengte van de schuine zijde.
Week 19
Gegeven is de balk ABCD.EFGH met AB=4, BC=4 en CG=6. Op AE ligt het punt P zodat AP=2. Op het midden van AB ligt Q.
- Construeer de doorsnede van het vlak PQG met de balk.
zaterdag 6 december 2014
Ingeschreven cirkel rechthoekige driehoek
"Een bijzondere eigenschap van een geheeltallige rechthoekige driehoek is dat de straal van de ingeschreven cirkel ook geheeltallig is."
vrijdag 5 december 2014
Van hexadecimaal naar binair
Ik kwam 'toevallig' bij Omrekenen van achttallig naar binair en omgekeerd terecht. Dat is wel grappig. Wat geldt voor achttallig naar binair geldt ook voor hexadecimaal naar binair.
Voorbeeld
Je kunt F, D, 2 en 1 schrijven als binaire getallen van 4 cijfers. Plak ze achter elkaar en klaar is Kees...:-)
F=1111, D=1101, 2=0010 en 1=0001, dus:
\(FD21_{16}=1111110100100001_2\)
Voorbeeld
- Wat is \(FD21_{16}\) in het decimale stelsel?
Je kunt F, D, 2 en 1 schrijven als binaire getallen van 4 cijfers. Plak ze achter elkaar en klaar is Kees...:-)
F=1111, D=1101, 2=0010 en 1=0001, dus:
\(FD21_{16}=1111110100100001_2\)
- Nou geinig toch?:-)
donderdag 4 december 2014
Cijferpuzzel
Een cijferpuzzel:
Dat is dan meteen ook de enige oplossing:
459
ABC
ACB+
CBA
A kan 1, 2, 3 of 4 zijn. Omdat C+B eindigt op A en B+C eindigt op B moet B wel 1 meer zijn dan A. B en C zijn samen meer dan 10. Bovendien is C=2A+1.
- Als A=1 dan B=2 en C=3. Nee.
- Als A=2 dan B=3 en C=5. Nee.
- Als A=3 dan B=4 en C=7. Nee.
- Als A=4 dan B=5 en C=9. Ja.
459
495+
954
Sphenische getallen
Sphenic numbers: products of 3 distinct primes.
2·3·5=30
30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438,...
...en die hebben allemaal precies 8 delers...:-)
Voorbeeld
Voorbeeld
2·3·5=30
30
---
1·30
2·15
3·10
5·6
De delers van 30 zijn 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 en 30
De delers van 30 zijn 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 en 30
woensdag 3 december 2014
De inhoud van een afgeknotte piramide
Je ziet hier een voorbeeld van een afgeknotte piramide:
Het is een piramide met een vierkant grondvlak. Verder is bekend: BC=24, FG=8 en de hoogte is 16.
Kijk allereerst eens naar de 'hele' piramide (voordat ie werd afgeknot):
Je kunt zien dat de grote piramide drie keer zo groot is als de kleine piramide. In dat geval moet gelden:
\(3h=h+16\), dus \(h=8\)
...en dan ben je er al bijna... De inhoud van de 'grote piramide' is 27× zo groot als de inhoud van de 'kleine piramide'.
\(\eqalign{Inhoud_{afgeknot}=\frac{26}{27}\cdot\frac{1}{3}\cdot 24^{2}\cdot24=4437\frac{1}{3}}\)
Het is een piramide met een vierkant grondvlak. Verder is bekend: BC=24, FG=8 en de hoogte is 16.
- Wat is de inhoud van deze afgeknotte piramide?
Kijk allereerst eens naar de 'hele' piramide (voordat ie werd afgeknot):
Je kunt zien dat de grote piramide drie keer zo groot is als de kleine piramide. In dat geval moet gelden:
\(3h=h+16\), dus \(h=8\)
...en dan ben je er al bijna... De inhoud van de 'grote piramide' is 27× zo groot als de inhoud van de 'kleine piramide'.
\(\eqalign{Inhoud_{afgeknot}=\frac{26}{27}\cdot\frac{1}{3}\cdot 24^{2}\cdot24=4437\frac{1}{3}}\)
Vergelijking opgelost...
\(
\eqalign{
& 3^{1 - x} + 3^x \cdot 3^2 = 6\sqrt 3 \cr
& \frac{3}
{{3^x }} + 9 \cdot 3^x = 6\sqrt 3 \cr
& 3 + 9 \cdot 3^{2x} = 6\sqrt 3 \cdot 3^x \cr
& 9 \cdot 3^{2x} - 6\sqrt 3 \cdot 3^x + 3 = 0 \cr
& y = 3^x \cr
& 9y^2 - 6\sqrt 3 \cdot y + 3 = 0 \cr
& 3y^2 - 2\sqrt 3 \cdot y + 1 = 0 \cr
& \left( {\sqrt 3 \cdot y - 1} \right)^2 = 0 \cr
& \sqrt 3 \cdot y = 1 \cr
& y = \frac{1}
{{\sqrt 3 }} = \frac{1}
{3}\sqrt 3 \cr
& 3^x = 3^{ - \frac{1}
{2}} \cr
& x = - \frac{1}
{2} \cr}
\)
Abonneren op:
Posts (Atom)