Afstand van punt en lijn

Teken een kubus ABCO·DEFG met de x as langs OA, de y as langs OC en de z as langs OG. De ribbe van de kubus is 2. Als P het midden is van ribbe FG en Q het midden van ribbe BC.

• Bereken dan de afstand van het punt P tot de lijn AQ.

Uitwerking



Eerst maar 's een vectorvoorstelling van de lijn AQ:

$AQ:\left( {\begin{array}{*{20}c}    x  \\    y  \\    z  \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}    2  \\    0  \\    0  \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}    { - 1}  \\    2  \\    0  \\ \end{array}} \right)$

Neem dan het vlak V loodrecht op AQ en waar P in ligt:

$\begin{array}{l}  V: - x + 2y = d \\  P(0,1,2)\,\,\,in\,\,\,V \\  d = 2 \\  \end{array}$

Je kunt V snijden met AQ om P' te vinden:

$\begin{array}{l}  V: - x + 2y = 2 \\   - \left( {2 - \lambda } \right) + 2\left( {2\lambda } \right) = 2 \\   - 2 + \lambda  + 4\lambda  = 2 \\  5\lambda  = 4 \\  \lambda  = \frac{4}{5} \\  P'\left( {1\frac{1}{5},1\frac{3}{5},0} \right) \\  \end{array}$

En dan zijn we er wel zo'n beetje:

$d(PP') = \sqrt {\left( {1\frac{1}{5} - 0} \right)^2  + \left( {1\frac{3}{5} - 1} \right)^2  + \left( {0 - 2} \right)^2 }  = \frac{1}{5}\sqrt {145}$

Dat kan ook...:-)

---

• Re: Afstand punt tot lijn in een kubus 

---