Het brievenprobleem?

Naar aanleiding van een vraag in WisFaq over het brievenprobleem:

1. Een briefschrijver schrijft tien brieven en adresseert tien envloppen. Op hoeveel manieren kunnen de brieven in de verkeerde enveloppen worden gestopt?
2. Als men zeven brieven op goed geluk in zeven enveloppen stopt, hoeveel brieven zou men dan gemiddeld in de juiste enveloppe verwachten terug te vinden?

Bron: Merkwaardige en interessante puzzels (oorspronkelijke titel: The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzels) – 1995, David Wells, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, ISBN 90 5713 3121 - Problemen 130 en 131.

Het antwoord op deze vragen kan je vinden in WisFaq. Dit soort vragen duikt op in allerlei gedaanten.

Uit de archieven gevist

Het doel van wiskundeonderwijs is wiskunde leren. Dat moet ook zo zijn en dat moet zeker zo blijven. Al die vakoverstijgende vaardigheden zijn belangrijk maar ons vak maar het is een voertuig en een middel, maar het draait om de content. Ik hou vast aan de vaardigheden voor mijn vak:

1. Getallen en rekenen
2. Functies, grafieken en verbanden
3. Formules en vergelijkingen
4. Meetkunde
5. Statistiek en kans
6. Taal van de wiskunde
7. Redeneren en bewijzen
8. Probleemaanpak

Dat is gebaseerd op de kerndoelen basisvorming en eindexameneisen en op een aantal jaren ervaring…:-). Dat is wat wij doen.:-)

• 82 vaardigheden

Een kwadratische vergelijking met breuken oplossen

\(
\eqalign{
  & \frac{1}
{4}\left( {x + 1} \right)(x + 5) =  - \frac{3}
{4}  \cr
  & \left( {x + 1} \right)(x + 5) =  - 3  \cr
  & x^2  + 6x + 5 =  - 3  \cr
  & x^2  + 6x + 8 = 0  \cr
  & (x + 2)(x + 4) = 0  \cr
  & x =  - 2 \vee x =  - 4 \cr}
\)

Het oplossen van een vergelijking

Op WisFaq staat een oplossing van een vergelijking met machten. In het antwoordmodel wordt er gekozen om te delen door 4^x. Dat kan natuurlijk prima, maar eigenlijk vind ik dat niet handig en 't is een gemiste kans om nog 's wat kennis rondom machten te herhalen. Ik zou het liever zo doen:

\(
\eqalign{
  & 2 \cdot 4^x  - 4 \cdot 8^x  = 0  \cr
  & 2 \cdot 4^x  = 4 \cdot 8^x   \cr
  & 4^x  = 2 \cdot 8^x   \cr
  & \left( {2^2 } \right)^x  = 2^1  \cdot \left( {2^3 } \right)^x   \cr
  & 2^{2x}  = 2^1  \cdot 2^{3x}   \cr
  & 2^{2x}  = 2^{3x + 1}   \cr
  & 2x = 3x + 1  \cr
  & x =  - 1 \cr}
\)

Maar waarom?

• Het gaat hier om machten van 2. Als het lukt om beide leden te schrijven als 2^A=2^B en dus A=B ben je er. Dat is het doel en bij vergelijkingen met machten is dat een goede aanpak. Die paragraaf in het boek over het schrijven als één macht was dan niet voor niets geweest.

Dus ik bedoel maar. Wiskundig correct is niet (altijd) hetzelfde als handig...:-)

In de driehoek van Pascal

In de driehoek van Pascal:

 \( \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 1} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 2} \\ \end{array}} \right) = \\ \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 2} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 1} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 1} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right) = \\ \left( {\begin{array}{*{20}c} {n + 1} \\ {k - 1} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} {n + 1} \\ k \\ \end{array}} \right) = \\ \left( {\begin{array}{*{20}c} {n + 2} \\ k \\ \end{array}} \right) \\ \end{array} \)

---

• M. Bewijs

Aansluiting hoger onderwijs

Een aantal jaren geleden was er in het kader van aansluitproblemen toch wel een soort notie wat er zou moeten gebeuren. In het verslag van de bijeenkomst VO-HO aansluiting wiskunde 23 april 2007 kwam ik een 'wensenlijstje' tegen met ‘wat studenten wiskunde zouden moeten beheersen’:

• redeneren
• notaties kunnen lezen en schrijven
• gevoel voor abstractie
• een bepaalde werk- en studiehouding

Afbreken en dan weer opbouwen. Het blijft modderen met dat kind en het badwater. Nadruk op bepaalde vaardigheden leidt onherroepelijk tot een tekort op een ander gebied. Dat is niet handig, want zo schiet het natuurlijk op. Uiteindelijk blijft wel iedereen lekker bezig. Meer aandacht voor 'spelling' en 'rekenen' is leuk maar niet als dat dan weer ten koste gaat van iets anders.

Vroeger...:-)

Raaklijnen

Gegeven is de functie \(f(x) = (5-2x)e^x\). Er zijn twee lijnen door het punt \((3,0)\) die de grafiek van \(f\) raken.

• Stel van elk van deze lijnen langs algebraïsche weg de formule op.

---

De 'algemene formule' voor de lijnen door het punt \((3,0)\) is gelijk aan \(y=a·(x-3)\). Snijden met \(f\) zou 'mogelijke raakpunten' moeten geven. De punten waarbij \(a\) gelijk is aan de afgeleide in zo'n punt is dan een raaklijn.

Met de afgeleide kan je \(a\) uit drukken in \(x\). Substiueren geeft een vergelijking waarmee je raakpunten kunt bepalen. Hoe moeilijk kan dat zijn?

De afgeleide:

\(
\begin{array}{l}
 f(x) = (5 - 2x)e^x  \\
 f'(x) =  - 2e^x  + (5 - 2x)e^x  \\
 f'(x) = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \\
 \end{array}
\)

Dat geeft:

\(
a = \left( {3 - 2x} \right)e^x
\)

Invullen:

\(
\begin{array}{l}
 (5 - 2x)e^x  = a(x - 3) \\
 (5 - 2x)e^x  = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \cdot (x - 3) \\
 5 - 2x = \left( {3 - 2x} \right)(x - 3) \\
 5 - 2x =  - 2x^2  + 9x - 9 \\
 2x^2  - 11x + 14 = 0 \\
 2x^2  - 4x - 7x + 14 = 0 \\
 2x(x - 2) - 7(x - 2) = 0 \\
 (2x - 7)(x - 2) = 0 \\
 x = 3\frac{1}{2} \vee x = 2 \\
 \end{array}
\)

Bereken de bijbehorende waarden voor \(a\):

\(
\begin{array}{l}
 a_1  = \left( {3 - 2 \cdot 3\frac{1}{2}} \right)e^{3\frac{1}{2}}  =  - 4\sqrt {e^7 }  \\
 y_1  =  - 4\sqrt {e^7 } \left( {x - 3} \right) \\
 a_2  = \left( {3 - 2 \cdot 2} \right)e^2  =  - e^2  \\
 y_2  =  - e^2 \left( {x - 3} \right) \\
 \end{array}
\)

Opgelost!

---

• Formule opstellen

De wijzers van de klok

In het boek voor de 1e klas komen opgaven voor waarbij de leerlingen de hoek moeten berekenen tussen de wijzers van de klok op een bepaalde tijd.

---

• Bereken de hoek tussen de grote en kleine wijzer om 9 minuten over 1.

---

't Is een grappig probleem. De grote wijzer gaat natuurlijk sneller dan de kleine wijzer, maar om 13:09 is de kleine wijzer ook een stukje gedraaid.

In WisFaq heb ik op graden van de klok er al een vraag over beantwoord. Sommige mensen vragen zich misschien wel af wat daar nu precies het nut van is.

---

Wat is het nut?

---

Ik denk dat de praktische toepasbaarheid van deze vaardigheid niet erg groot is. Het draagt waarschijnlijk niet op de korte termijn bij aan versterking van de economie....:-)

Maar in vakdidactische zin lijkt het me wel een nuttige activiteit. Ik gebruik het 'wijzershoekenprobleem' misschien nog wel een keer in HAVO 4 wiskunde B. Het is (denk ik) voor de eerste klas een leuke manier om naar hoeken te kijken en naar periodieke verschijnselen.

Daarnaast vind ik het mooi voorbeeld van een 'schier onoplosbaar probleem' dat met eenvoudige wiskundige middelen goed op te lossen is. Dat is toch ook wat waard...

---

Wat is een handige aanpak?

---

voorbeeld

---

• Hoe bereken je de graden van een klok om 10:08?

---

uitwerking
Om 10:08 maakt de grote wijzer een hoek van 48° en de kleine wijzer een hoek van 304° ten opzichte van 12 uur.



Bedenk daarbij:

• de grote wijzer draait 6° per minuut
• de kleine wijzer draait \(\frac{1}{2}\)° per minuut.

Nog een beetje rekenen en je bent er...

• De wijzers van de klok

---

Waar gaat het om?

---

Je zou denken dat, als leerlingen nu de hoek tussen de wijzers kunnen uitrekenen, we iets hebben bereikt. Maar nee hoor, daar gaat het (natuurlijk) niet om. Het is wel leuk, je kunt toetsen of ze dat inderdaad kunnen maar... 

Of zou de bedoeling zijn om iets te anders te leren? Problemen aan te pakken bijvoorbeeld of een voorbeeld hebben gezien van een wiskundige houding? Denkacitiviteiten? In al die gevallen zou je ook anders moeten gaan toetsen. Je zou een ander probleem kunnen stellen die een andere oplossing vraag, maar waarbij je wel de kennis en vaardigheden nodig hebt die je bij de 'wijzers van de klok' hebt opgedaan of geoefend...

Als de leerlingen dat kunnen dan hebben ze iets geleerd...

---

Opgaven

---

• Extra oefeningen
• Klokkijken

---

Begrip en inzicht

"In mathematics you don't understand things. You just get used to them."
John von Neumann"

Het doel van wiskundonderwijs zou je vooral moeten zoeken in het verwerven van een wiskundige houding.

• Sommige mensen vinden dat je bij wiskunde dingen leert waar je eigenlijk niet zo veel aan hebt. Wie lost er na de middelbare school nog een vergelijking op?

Dat is een verkeerd uitgangspunt. Het gaat uiteindelijk niet zo zeer om het kunnen oplossen van allerlei soorten vergelijkingen (hoewel dat ook wel handig kan zijn) maar om het redeneren, het soort problemen dat je tegenkomt en hoe je die op kan lossen, de mogelijkheid om abstracte structuren te bestuderen, het leren redeneren, het kritisch leren kijken naar gegevens, omgaan met waarheid, logica en zekerheden.

Je mag hopen dat de vaardigheden en kennis die je opdoet bij het leren oplossen van bijvoorbeeld vergelijkingen ook zijn weerslag heeft op andere menselijke bezigheden. Maar is dat wel zo?

Bij het lesmateriaal moet je proberen uit te zoomen! Hoe past dit lesmateriaal in de lange leerlijn omtrent het verwerven van die hogere kennis, begrip en inzicht? Draagt het daar aan bij? Geeft het goede leerlingen de mogelijkheden om zich te verdiepen? Is er een 'waarneembare neiging' naar meer begrip en meer abstractie?

Wiskunde leren heeft te maken heeft met begrip en inzicht. Hoe zit dat precies in elkaar? Bestaat er zoiets als begrip of inzicht? Wat is dat dan? Kan je dat leren? Kan je dat meten? Of zijn begrip en inzicht misschien een verzameling van allerlei andere dingen als ervaring, een goed geheugen of andere algemene vaardigheden?

Kortom? Wat zou het zijn? Moet je daar als leraar iets mee? Nee? Of Ja? En zo ja, wat moet je er dan mee?

---

• Vaardigheden, begrip en inzicht
• Voorkennis, algebra, probleemaanpak, begrip en inzicht
• De wijzers van de klok  
• Het derde merkwaardige product
• Raaklijnen  
• Drie manieren om (geen) wiskunde te leren
• Waar is dat voor nodig?  
• Twee verschillende oplossingen van hetzelfde probleem?
• Vakdidactiek  
• Symbol sense of beroepsdeformatie?:-)
• Het onzekerheidsprincipe
• Wiskunde leren is een fractal
• De kapitein
• Opgaven uit de voorbeeldtoets 3F van 2013
• Druk x uit in y  
• Puzzel

Voorkennis, algebra, probleemaanpak, begrip en inzicht

Op Weekpuzzels 2017 deel 2 stond een aardige opgave:



Op Oplossing week 23 staat ook een uitwerkingen van de oplossing. Op de uitwerking van de Wiskunde Academie was nog wel iets op te merken in het kader van wortels in de noemer.

De vraag is nu 'hoe pak je deze opgave aan?' en met welk 'begrip en inzicht' hebben we hier van doen?

Aanpak

In de oplossing staat niets over hoe je deze opgave aanpakt. Kennelijk heb ik iets gedaan met verhoudingen. Maar hoe kom je er op?

Voor het berekenen van de oppervlakte heb ik de lengte van een zijde en de bijbehorende hoogte nodig. Als AB=8 en ik zou de lengte van CD kennen dan was ik er al. Maar CD ken ik niet dus laat ik de lengte van CD dan x noemen.

Als CD=x dan is AD=x wegens de 45-45-90-tekendriehoek ADC. Je kunt nu DB uitdrukken in x zodat je in de 30-60-90-driehoek DBC de twee rechthoekszijden kan uitdrukken in x. In zo'n driehoek ken ik immers de verhoudingen van de zijden.

Die eigenschappen van de tekendriehoeken is de kennis die je nodig hebt. De aanpak is om vanuit de kennis een plan te maken. Wat weet ik eigenlijk van rechthoekige driehoeken met de hoeken zoals die gegeven zijn...

Je kunt nu een verhoudingstabel opstellen voor driehoek DBC. Met DB=8-x en CD=x in de verhouding 1:√3 kan je waarde van x berekenen. De oppervlakte van driehoek ABC volgt spoedig daarna...:-)

Begrip en inzicht

De oppervlakte van een willekeurige driehoek, werken met tekendriehoeken, een vergelijking opstellen, vergelijkingen oplossen, rekenen met wortels, ... Als dat allemaal lukt ben je (als docent) waarschijnlijk al blij. In dat geval zijn als die wiskundelessen niet voor niets geweest.

In de praktijk doen zich mogelijkerwijs de volgende problemen voor:

• De leerlingen lijken niet de beschikking te hebben over de noodzakelijk kennis uit de onderbouw
• Leerlingen hebben niet geleerd om problemen aan te pakken
• Leerlingen lopen vast op de algebra

Het ligt voor de hand je als docent dan vooral te richten op de kennis en vaardigheden maar is dat wel de oplossing!? Wat is eigenlijk precies het probleem?

Voorkennis

Je zou de voorkennis kunnen indelen in kennen, kunnen en begrijpen. Je moet begrijpen wat de oppervlakte van een driehoek is, hoe je, bij gegeven afmetingen, de oppervlakte uit zou kunnen rekenen en misschien moet je ook de formule wel kennen. Iets met tekendriehoeken... een portie algebra... maar... waarschijnlijk is het veel belangrijker hoe je dit soort problemen aan kan pakken.

Probleemaanpak

Bij probleemaanpak zet je de instrumenten in die je in de onderbouw hebt geleerd. Dat was het plan. De kunst is om te herkennen hoe je je probleem kunt vertalen naar wiskunde, vervolgens aan de slag met de wiskunde om het probleem op te lossen om vervolgens je oplossing te vertalen naar je probleem. Daar is NIETS mis mee. Op dit weblog kan je daar meer over vinden.

Algebra

Als je eenmaal op de juiste uitdrukking bent gekomen dan kan je de zaak verder uitwerken. Die (algebraische) vaardigheden die je daar voor nodig hebt zouden (halverwege de 4e klas) aanwezig moeten zijn.

Conclusie

Voor dit soort opgave is er heel wat nodig aan kennis en vaardigheden. Het zijn (volgens mij) complexe bezigheden. Hier komt alles samen: kennen, kunnen en begrijpen. Inderdaad, maar hoe kan je dat leren? Dat is niet zo eenvoudig als sommigen van ons willen doen geloven. Het gaat niet alleen om algebraische vaardigheden, maar ook over probleemaanpak, atitude en begrip en inzicht. Wat is hier geboden? Hoe pak ik dit aan? Wat zit er achter? Hoe kan je dat leren?

---

• Inleiding begrip en inzicht