woensdag 24 augustus 2016

Week 34

Twee ladders staan in een nauwe steeg die 12 meter breed is. Elke ladder staat van de voet van de ene muur schuin door de steeg tegen de andere muur. Ze vormen zo samen een X-vorm (zie figuur). De ene ladder is 13 meter lang, en de andere 20 meter.
  • Op welke hoogte raken de ladders elkaar?


Er zijn nog veel meer vergelijkbare en vragen die net weer heel anders gaan over ladders in een steeg.

donderdag 18 augustus 2016

Het tankstation

Er zijn verschillende varianten van optimaliseringsproblemen die met differentiëren kunnen worden opgelost. De kunst is dan om een formule te bedenken waarmee je (afhankelijk van een variabele) de totale kosten kan berekenen. Zoek het minimum.

Dit is daar een mooi voorbeeld van:

q82717img1.gif
  • Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Oplossing

Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.

De formule:

\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)

Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?

De afgeleide:

\(\eqalign{
  & {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}   \cr
  & {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot  - 1  \cr
  & {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)

Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:

\(\eqalign{
  & 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0  \cr
  & 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} =   \cr
  & 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3  \cr
  & \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5}  \cr
  & 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25}   \cr
  & {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right)  \cr
  & 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4}  \cr
  & 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9  \cr
  & 64{x^2} - 128x + 55 = 0  \cr
  & (8x - 5)(8x - 11) = 0  \cr
  & x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.)  \cr
  & x = \frac{5}{8} \cr}\)

dinsdag 16 augustus 2016

Product-som-methode

Daar was ie weer...:-)

\(\eqalign{
  & 4{x^2} - 4x - 3 = 0  \cr
  & a \cdot b =  - 12  \cr
  & a + b =  - 4  \cr
  & a =  - 6\,\,en\,\,b = 2  \cr
  & 4{x^2} - 6x + 2x - 3 = 0  \cr
  & 2x(2x - 3) + 2x - 3 = 0  \cr
  & (2x + 1)(2x - 3) = 0  \cr
  & 2x + 1 = 0 \vee 2x - 3 = 0  \cr
  & 2x =  - 1 \vee 2x = 3  \cr
  & x =  - \frac{1}{2} \vee x = 1\frac{1}{2} \cr}\)

...ik ken nog meer kunstjes, maar dit is wel mijn favoriet...:-)