Het aantal delers

'Hoeveel positieve gehele getallen zijn een deler van 5400 of van 18000 (of van allebei)?' 

• Aantal delers

Uitwerking

Er zijn getallen die een deler zijn van 5400 en er zijn getallen die een deler zijn van 18000. Sommige getallen zijn alleen een deler van 5400 en er zijn getallen die alleen een deler zijn van 18000, maar er zijn ook getalen die een deler zijn van 5400 en 18000. De vraag is nu hoe dat zit...👅

Vooruitgang

Als je wil weten hoe iets werkt dan moet je het proberen te veranderen. Meestal kom je er dan achter dat je eigenlijk niet goed wist wat je deed maar dat wat je deed zo gek nog niet was... en dan ga je gewoon weer terug naar wat je deed... dat heet vooruitgang:-)

• 4. Getallen en letters

Dat is een kwestie van het orde houden...

Dat ‘Dat is de kwestie van het orde houden…’ begrijp ik niet. Mijn ervaring is dat klassenmanagement (zeg maar orde!) veel belangrijker is dan vakinhoud. Na het klassemanagement komt de (vak-)didactiek, allerlei ongewenste moderniteiten en nog zo wat. Aan het eind van de tunnel komt de vakinhoud! Maar hoe moeilijk kan dat zijn? Die staat in het boek en anders kijk je maar op internet. Er zijn vast wel plekken waar je vragen kan stellen. Nee… zo moeilijk is het allemaal niet. Alhoewel…😑

• b(r)on

Naschrift

Er zou sprake kunnen zijn van ironie. Sterker nog: ik weet het wel zeker. Het idee dat iedereen elk vak kan geven (zo gaat dat tegenwoordig) is daarmee (inderdaad) werkelijkheid geworden. Dat zoiets niet werkt lijkt me duidelijk. Dus ik bedoel maar… Dat wordt niks…:-) 

Aansluiting hoger onderwijs

Een aantal jaren geleden was er in het kader van aansluitproblemen toch wel een soort notie wat er zou moeten gebeuren. In het verslag van de bijeenkomst VO-HO aansluiting wiskunde 23 april 2007 kwam ik een 'wensenlijstje' tegen met ‘wat studenten wiskunde zouden moeten beheersen’:

• redeneren
• notaties kunnen lezen en schrijven
• gevoel voor abstractie
• een bepaalde werk- en studiehouding

Afbreken en dan weer opbouwen. Het blijft modderen met dat kind en het badwater. Nadruk op bepaalde vaardigheden leidt onherroepelijk tot een tekort op een ander gebied. Dat is niet handig, want zo schiet het natuurlijk op. Uiteindelijk blijft wel iedereen lekker bezig. Meer aandacht voor 'spelling' en 'rekenen' is leuk maar niet als dat dan weer ten koste gaat van iets anders.

Het schooljaar 2015-2016

In het schooljaar 2015-2016 allemaal nieuwe boeken. Dat zijn er dan 12. Ik heb ter voorbereiding de website aangepast aan de nieuwe inhouden. Hopelijk kan je daar dan weer een tijdje mee doen. Maar dat zal wel niet... dat ligt te veel voor de hand.

Onderwijs bestaat niet

"Empirisch onderzoek heeft geen enkele substantiële relatie aangetoond tussen wat er in de klas gebeurt, en wat studenten op korte of lange termijn leren. Het treurige feit is dat degenen die directe waarnemingen doen, vaak overtuigd zijn van het tegendeel."
bron

Taal van de wiskunde

Eén van de lastige kerndoelen is bijvoorbeeld Taal van de wiskunde.

"De leerling leert passende wiskundetaal te gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan anderen en leert de wiskundetaal van anderen te begrijpen."
kerndoel 19

Wat bedoelen we daar nu precies mee?

Op Taal van de wiskunde probeer ik wat te stuctureren en te vertalen naar vaardigheden. Dat is wel lastig. Maar ik kwam in WisFaq wel een mooi voorbeeld tegen.

Opgave
Cirkel c met verg x²+y²-2x-2y-8=0 en de rechte y=3x-2 en je moet de raaklijnen evenwijdig met deze rechte aan de cirkel vinden.
Raaklijnen aan een cirkel

Om deze opgave te kunnen maken moet je weten wat evenwijdig is en wat dat betekent voor het functievoorschrift van zo'n raaklijn. Daarnaast moet je weten wat raken betekent en wat dat betekent voor het werken met formules.

De oplossing komt dan neer op het vaststellen van de algemene oplossing is y=3x+b en dat dan in te vullen in de vergelijking van de cirkel om vervolgens die vergelijking op te lossen en te eisen dat er precies één oplossing moet zijn. Bij dat laatste zou je dan onmiddellijk moeten denken aan de abc-formule en de discriminant.

Op Re: Raaklijnen aan een cirkel kan dan lezen dat je er dan nog niet bent. Er speelt nog iets mee wat tegenwoordig symbol sense wordt genoemd. Die a, b en c in de abc-formule zijn getallen. Die getallen kunnen uitgedrukt zijn in één of meerdere variabele.

In het geval van het voorbeeld worden a, b en c uitgedrukt in b. Dat is dan een andere b dan die andere b...:-)

In de reactie kan je dan zien dat als je eenmaal zo ver bent je nog steeds in staat moet zijn een tweedegraadsvergelijking op te lossen. Misschien heb je daar dan soms zelfs de abc-formule voor nodig.

Op Re: Re: Raaklijnen aan een cirkel kan je lezen hoe 't verder ging.

Uiteindelijk krijg je twee mooie oplossingen. Kennelijk leidt de eis dat er 1 oplossingen moet zijn tot twee mogelijkheden. Dat zijn ook oplossingen, maar andere oplossingen dan die andere oplossing.:-)
Mooi toch?

....en dan te bedenken dat wiskunde altijd heel erg logisch is hoe ingewikkeld moet het normale leven dan wel niet zijn?

Wiskundige denkactiviteiten

Leerlijnen

Het doel van wiskundonderwijs zou je vooral moeten zoeken in het verwerven van een wiskundige houding.

• Sommige mensen vinden dat je bij wiskunde dingen leert waar je eigenlijk niet zo veel aan hebt. Wie lost er na de middelbare school nog een vergelijking op?

Dat is een verkeerd uitgangspunt. Het gaat uiteindelijk niet zo zeer om het kunnen oplossen van allerlei soorten vergelijkingen (hoewel dat ook wel handig kan zijn) maar om het redeneren, de problemen die je tegen komt en op kan lossen, de mogelijkheid om abstracte structuren te bestuderen, het leren redeneren, het kritisch leren kijken naar gegevens, omgaan met waarheid, logica en zekerheden.

Je mag hopen dat de vaardigheden en kennis die je opdoet bij het leren oplossen van bijvoorbeeld vergelijkingen ook zijn weerslag heeft op andere menselijke bezigheden. Ik denk dat dit zeker het geval is.

Bij de beoordeling van lesmateriaal moet je proberen uit te zoomen! Hoe past dit materiaal in de lange leerlijn omtrent het verwerven van die hogere kennis, begrip en inzicht? Draagt het daar aan bij? Geeft het goede leerlingen de mogelijkheden om zich te verdiepen? Is er een 'waarneembare neiging' naar meer begrip en meer abstractie?

---

• Hoe bepaal je de kwaliteit van lesmateriaal?

Kennen en kunnen

Ik experimenteer al een tijdje met 'kennen en kunnen'-lijstjes. Ik heb dat checklists genoemd. Ik beschouwde ze voornamelijk als een lijst om te controleren of je een hoofdstuk goed 'verwerkt' hebt.

• Klas 3
• HAVO 4 wiskunde A
• HAVO 4 wiskunde B

Tijdens de APV van 24 juni 2015 heb ik nog wel even gewezen op mogelijk gevaren van dat soort lijstjes. Het is erg lastig om de doelen van je onderwijs in dit soort lijstjes te vangen. Het moet niet te abstract zijn terwijl veel van wat wij doen toch wel abstract is. De meerwaarde van dit soort lijstjes moet je dan ook niet overschatten.

Ik hoop dan altijd maar dat er dan niet iemand mij uit gaat leggen dat dit soort lijstjes voor leerlingen toch wel heel erg nuttig kunnen zijn en zo. Dat is echt niet nodig, want het was mijn idee...:-)

Pseudo context?

The picture shows q wire suspending a bridge from two points. Assume that the origin is taken tot the left fixed point. The bridge is four meters in length.

1. Explain why the curve y=x(x-4) may be a suitable model for the suspension wire.
2. Use this model to find the coordinates of het middle point of the bridge (where the wire is at its lowest point).

---

@Twitter: Argh, yet another crappy pseudo-context: a 4(!) metre bridge with a catenary 'modelled' by a quadratic...

---

Dit is het origineel:



Die 4 meter is wel een beetje vreemd als je naar het plaatje kijkt.

---

We kijken maar 's naar de grafiek bij de formule:



Dit is een model voor de vorm van de kettinglijn:



Maar niet zo'n gek model:



Uiteindelijk kan het best?

• Zie een voorbeeld uit Getal en Ruimte.

Ik snap er niks van?

"Difficulty is desirable because it forces our brains to work harder at encoding and integrating the inputs that it has coming in. It makes us think, to put it plainly, and the harder we think, the better we remember."
bron

Probleem van de week

Checklists HAVO klas 3

klas 3 havo

• H1: lineaire problemen
• H2: gelijkvormigheid
• H3: kwadratische problemen
• H4: aanzichten en hellingen
• H5: statistiek en procenten
• H6: vergelijkingen en parabolen
• H7: goniometrie
• H8: allerlei verbanden
• H9: statistiek, kans en tellen (A)
• H9: vergelijkingen en ongelijkheden (B)

Maar dat is nog niet helemaal af... maar dat komt goed...:-)

Begrip en inzicht

Een opgave uit het SE voor HAVO 4 wiskunde B:

\(
\Large x(x^2 - 3)(x^3 + 2) = 0
\)

In 'het kader' van hogeremachtsvergelijkingen. Het is een soort geval van 'Als A·B=0 dan A=0 of B=0'. Je mag verwachten dat dit 'inzicht' inmiddels is doorgedrongen in HAVO 4.

In de herkansing stond deze opgave:

\(
\Large \left( {x^2 - 4} \right)\left( {x^2 - 2} \right) = 3
\)

Je hoeft geen helderziende te zijn om te voorspellen wat sommige leerlingen (bijvoorbeeld met een reproducerende leerhouding) dan gaan doen. Af en toe ben ik echt gemeen ergens, maar 't is voor een goede zaak...:-)

Waarmee ik maar wil zeggen dat je, naast kennis en vaardigheden, altijd moet proberen te begrijpen waar je mee bezig bent. Dat zou ik ook wel willen:-)

Wiskunde: vaardigheden, begrip en inzicht

"The most important rule to master mathematics is: if you get lost (and most people including “experts” get lost a lot), back up to what you know and start over. Don’t try to keep going; in most cases, you will only get more lost."
bron

Zie ook:

• Wiswijzer
• WisFaq

Product-som-methode

Als je wilt dat de leerlingen in klas 2 een beetje begrijpen waar de product-som-methode vandaan komt dan zouden ze misschien eerst dit moeten doen:



De product-som-methode is dan niets anders dan de weg terug... de andere kant op... van rechts naar links... geen haakjes wegwerken maar haakjes maken... wat was deze drieterm vroeger als product van twee tweetermen... enzo...

Verschillende soorten procentsommen

Er zijn verschillende soorten opgaven met procenten. Schematisch krijg je dan zoiets als:

100%	12%	112%
€50	€6	€56

Je kunt dan allerlei verschillende sommen bedenken.

Voorbeeld 1
Dit jaar moet ik voor mijn abonnement op de krant 5% meer betalen dan vorig jaar, dat is wel €12 meer.

• Hoeveel moet ik dit jaar betalen voor de krant?

Oplossing

100%	5%	105%
...	€12	?

Kruislings vermenigvuldigen leert dan dat ik dit jaar voor het abonnement op de krant €252,- moet betalen.

Voorbeeld 2
Ik koop een CD-speler voor €142. Dat is dan inclusief 21% BTW.

• Hoeveel BTW betaal ik dan?

Oplossing

 

100%	21%	121%
...	?	€142

Je betaald dan €24,64 BTW.

Voorbeeld 3
In 2009 betaalde ik voor een retour naar Rotterdam €6,30. In 2010 betaal ik €7,20.

• Met hoeveel procent is de prijs van het retour toegenomen?

Oplossing

100%	?	...
€6,30	€0,90	€7,20

De prijs van een retour is toegenomen met 14,3%.

Conclusie?
Is dat handig? Is het nuttig? Werkbaar? Voorstelbaar? Verantwoord? Onthoudbaar? Structureerbaar? U zegt het maar...:-)

Raaklijnen

In HAVO 4 wiskunde B leer je in hoofdstuk 2 de vergelijking van een raaklijn aan een grafiek bepalen. Dat gaat zo:

• In eerste instantie kan je met je GR in een willekeurig punt van de grafiek het differentiequotiënt bepalen. Je kent dan de richtingscoëfficiënt 'a' van de raaklijn 'y=ax+b'. Vervolgens vul je coördinaten van het raakpunt in om de waarde van 'b' te bepalen en je bent er. Zie het voorbeeld.

In de derde klas had je de topformule geleerd. Je weet dat 'y=a(x-p)+q' een parabool is met (p,q) als top. Bij de voorkennis van hoofdstuk 4 komt dat nog een keer terug.

• Je kunt een raaklijn aan een grafiek ook opvatten als een transformatie van de standaardfunctie 'y=ax'. Hoe kun je er voor zorgen dat (p,q) op de lijn ligt? Door 'y=a(x-p)+q' te nemen. Het bepalen van de vergelijking van een raaklijn kan dus handiger.

Het is dus 'slim' om het bij hoofdstuk 2 er al een keer over te hebben.:-)

Rico eet pinda's

We hadden natuurlijk al de papegaaienbek:

 
Die papegaai heet natuurlijk Rico, dat kan niet missen. Maar wat eet Rico? Nou pinda's natuurlijk...:-)

 ...en zo creëer je je eigen universum. Soms is dat (bijna) niet meer uit te leggen....

Floris doe je ook mee?
Ja
Wat ja?
Ja bakker.

Kern van dat onderwijs is natuurlijk het plezier dat we hebben bij het leren. Vergelijkingen oplossen, haakjes wegwerken, ontbinden in factoren maar dan op een leuke manier. Plezier in leren, anders wordt het niks.

Hallo. Hallo. Ik ben pinguin. Ik ben pinguin. Nee je moet zeggen 'ik ben papegaai'. Nee je moet zeggen 'ik ben papegaai'. Stomme pinguin. Stomme papegaai. Erik van Os

Maar ja. Leg dat maar 's uit...