Pythagoras

\( \eqalign{ & Gegeven:n\,\,en\,\,n + 2 \cr & \frac{1} {n} + \frac{1} {{n + 2}} = \frac{{2n + 2}} {{n^2 + 2n}} \cr & (2n + 2)^2 + \left( {n^2 + 2n} \right)^2 = \left( {n^2 + 2n + 2} \right)^2 \cr & Voorbeeld: \cr & Neem\,\,\,n = 1 \cr & 1 + \frac{1} {3} = \frac{4} {3} \cr & 4^2 + 3^2 = 5^2 \cr} \)

Getallen met 6 delers

 \(
\eqalign{
  & 242 = 2 \cdot 11^2  \to \tau \left( {242} \right) = 2 \cdot \left( {2 + 1} \right) = 6  \cr
  & 243 = 2^5  \to \tau \left( {243} \right) = 5 + 1 = 6  \cr
  & 244 = 2^2  \cdot 61 \to \tau \left( {244} \right) = \left( {2 + 1} \right) \cdot 2 = 6  \cr
  & 245 = 5 \cdot 7^2  \to \tau \left( {245} \right) = 2 \cdot \left( {2 + 1} \right) = 6 \cr}
\)

• Getallen met 6 delers

7 ervoor dan 1 erachter

\( \eqalign{ & 7776 = 16 \cdot 486 \cr & 77776 = 16 \cdot 4861 \cr & 777776 = 16 \cdot 48611 \cr & 7777776 = 16 \cdot 486111 \cr & 77777776 = 16 \cdot 4861111 \cr & 777777776 = 16 \cdot 48611111 \cr & ... \cr} \)

Maar ja... wat dan?:-)

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,48611111 \cr & \underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,16\,} \, \times \cr & \,\,\,291666666 \cr & \underline {\,\,\,48611111\,\,\,\,} \,\,\, + \cr & \,\,\,777777776 \cr} \) 

Of ook: 777777777777777776 is deelbaar door 16.

Vooruitgang

Als je wil weten hoe iets werkt dan moet je het proberen te veranderen. Meestal kom je er dan achter dat je eigenlijk niet goed wist wat je deed maar dat wat je deed zo gek nog niet was... en dan ga je gewoon weer terug naar wat je deed... dat heet vooruitgang:-)

• 4. Getallen en letters

De som van de delers

---

De som van de som van de delers

---

\(\eqalign{
a(n) = \sum\limits_{k = 1}^n {\sigma (k)} = \sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot \left\lfloor {\frac{n}
{k}} \right\rfloor }
}\)
1, 4, 8, 15, 21, 33, 41, 56, 69, 87, 99, 127, 141, ...

• https://oeis.org/A024916

---

De som van de delers

---

\(
\sigma (n) = a(n) - a(n - 1)
\)
1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, ...

• https://oeis.org/A000203

---

Excel

---

Function SomDelers(n)
    Dim k, som
    som = 0
    For k = 1 To n
        som = som + k * Fix(n \ k)
    Next k
    SomDelers = som
End Function

Function Sigma(n)
    If n > 1 Then
        Sigma = SomDelers(n) - SomDelers(n - 1)
    Else
        Sigma = 1
    End If
End Function

n	a(n)	s(n)
1	1	1
2	4	3
3	8	4
4	15	7
5	21	6
6	33	12
7	41	8
8	56	15
9	69	13
10	87	18
11	99	12
12	127	28
13	141	14
14	165	24
15	189	24
16	220	31
17	238	18
18	277	39
19	297	20
20	339	42

---

WisFaq

---

• Som van positieve delers 

---

Excel

• Meer over Excel...

Getallen zijn mijn vrienden

• Examples for Numbers

Dat is ook toevallig... of misschien ook wel niet...

Ik las ergens dat \(\sqrt {2\frac{2}{3}}\) hetzelfde is als \(2\sqrt {\frac{2}{3}}\). De vraag is dan "is dat altijd zo?" en "zo nee, kan je nog meer voorbeelden bedenken?" of nog beter "kun je alle mogelijkheden geven?".

Je moet dan nog wel even bepalen wat nu precies de bijzonderheid is van het voorbeeld. Kortom (zoals altijd) is er (mogelijkerwijs) van alles te ontdekken.

Maar helaas... 't is vakantie... dus dan houdt alles op:-)

Naschrift
Nou vooruit... hier is er nog één....\(\sqrt {3\frac{3}{8}}  = 3\sqrt {\frac{3}{8}}\)

Nog meer naschrift

\(\eqalign{
  & \sqrt {2\frac{2}{3}}  \to \frac{2}{3}\sqrt 6   \cr
  & 2\sqrt {\frac{2}{3}}  \to \frac{2}{3}\sqrt 6   \cr
  & \sqrt {3\frac{3}{8}}  \to \frac{3}{4}\sqrt 6   \cr
  & 3\sqrt {\frac{3}{8}}  \to \frac{3}{4}\sqrt 6  \cr}\)

Maar nu stop ik er mee hoor...:-)
Maak het verhaal zelf af en kleur de plaatjes...

Palindroomgetallen met een even aantal cijfers

Palindroomgetallen zijn getallen die hetzelfde zijn als je ze van voor naar achter of van achter naar voor leest. Bijvoorbeeld 1441 of 12345654321. Nu geldt dat alle palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar zijn door 11. Dus die 1441 is deelbaar door 11.

Op Palindroomgetal heb ik een bewijs staan voor palindroomgetallen van 4 cijfers. De rest van het bewijs moet je dan zelf in elkaar knutselen. Het is een IKEA-bewijs... hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Met 6 cijfers
Nemen we zes cijfers dan krijg je 'abccba'

100.000a+10.000b+1000c+100c+10b+a
100.001a+10.010b+1100c

...en ja hoor... 100.001, 10.010 en 1100 zijn weer allemaal deelbaar door 11.

Met 8 cijfers
Nemen we acht cijfers dan krijg je 'abcddcba'

10.000.000a+1.000.000b+100.000c+10.000d+1000d+100c+10b+a
10.000.001a+1.000.010b+100.100c+11.000d

..en wat denk je?:-)

Hoe zat dat nu ook alweer met die deelbaarheid door 11?

Deelbaarheid door 11
Zet voor alle cijfers om en om een plus en een min. Tel daarna alle cijfers op. Als de uitkomst deelbaar is door 11 dan is het hele getal deelbaar door 11.

• Deelbaarheid door 11

Zolang er tussen de twee enen van die getallen hierboven een even aantal nullen staan (het getal bestond uit een even aantal cijfers) dan gaat het goed...

Kortom:  alle palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar zijn door 11.

Phi uitgedrukt in vieren

\(
\eqalign{\varphi  = \frac{{\sqrt 4  + \sqrt {4! - 4} }}{4}}
\)

Convert miles to kilometers

Each term in the Fibonacci sequence is derived by adding the two preceding terms:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …

Remarkably, you can use successive terms to convert miles to kilometers:

8 miles ≈ 13 kilometers
13 miles ≈ 21 kilometers

This works because the two units stand in the golden ratio (to within 0.5 percent).

bron

Een gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek heeft een omtrek van 25 en de lengten van de zijden zijn priemgetallen.

• Wat zijn dan mogelijke zijden?

bron

---

• Oplossing week 1

De delers van 496

De delers van 496:

1x496
2x248
4x124
8x62
16x31

De delers van 496 zijn: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 en 496.

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

Check:-)

• Wikipedia | Volmaakte getallen

De worteltruuk

Op deze pagina kwam ik wel een aardig sommetje tegen. Je moet de dingen niet makkelijker maken dan ze zijn maar ook niet moeilijker. Kortom: lang leve de worteltruuk...

\(
\eqalign{
  & \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} =   \cr
  & \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} =   \cr
  & \frac{{2 + \sqrt 2 }}
{{\sqrt 2 }} =   \cr
  & \frac{2}
{{\sqrt 2 }} + 1  \cr
  & \sqrt 2  + 1 \cr}
\)

Ik vind het mooi:-)

Van decimaal naar octaal

Van hexadecimaal naar binair

Ik kwam 'toevallig' bij Omrekenen van achttallig naar binair en omgekeerd terecht. Dat is wel grappig. Wat geldt voor achttallig naar binair geldt ook voor hexadecimaal naar binair.

Voorbeeld

• Wat is \(FD21_{16}\) in het decimale stelsel?

Uitwerking

Je kunt F, D, 2 en 1 schrijven als binaire getallen van 4 cijfers. Plak ze achter elkaar en klaar is Kees...:-)
F=1111, D=1101, 2=0010 en 1=0001, dus:
\(FD21_{16}=1111110100100001_2\)

• Nou geinig toch?:-)

Sphenische getallen

Sphenic numbers: products of 3 distinct primes.

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438,...

bron

...en die hebben allemaal precies 8 delers...:-)

Voorbeeld

2·3·5=30

30

---

1·30

2·15

3·10

5·6

De delers van 30 zijn 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 en 30

Het volgende getal is....

Geef het volgende getal in dit rijtje...

• 1000003, 1000033, 1000037, 1000039, 1000081, 1000099, 1000303, ...

Ach ja...:-)

• Oplossing

Getalpatronen

We wisten al:
12²=144 en 21²=441 en net zo voor 13.
Maar dan houd het wel op... of toch niet?

112²=12544 en 211²=44521
1112²=1236544 en 2111²=4456321
11112²=123476544 en 21111²=445674321

Enz...:-)
Of toch niet?

111111111112²=12345679012543209876544
211111111111²=44567901234520987654321

Helaas...:-)

Maar de mooiste blijft toch deze:

1²=1
11²=121
111²=12321
1111²=1234321
11111²=123454321
111111²=12345654321
1111111²=1234567654321
11111111²=123456787654321
111111111²=12345678987654321

..en dan ook niet enzovoort...:-)

3 uur 32 minuten en 21 seconden

De Maya's

De Maya's gebruiken een twintigtallig stelsel, dus net als bij het tientallig of viertallig stelsel:



Bij de Maya's wordt dat zoiets als: