Calcudoku's

Trendlijn in Excel

Zoek de olifant

Er is nog een oplossing....

Eén van de leukste dingen in wiskundige zin (vind ik) is het bekijken van oplossingen die geen oplossingen zijn. Je moet je voorstellen dat je bij een probleem een wiskundig model maakt, vervolgens los je dat wiskundige probleem op en dan vertaal je de oplossing weer naar de praktijk:

 

Je kunt je voorstellen dat als je soms oplossingen krijgt die niet voldoen. Een negatieve lengte, een negatief aantal mensen in een kamer, een vrachtauto van 33 meter, enz...

 

Doorgaans zijn we in de wiskunde nooit te beroerd om bij 'rare oplossingen' er snel v.n. bij te schrijven. Dat is een afko voor 'voldoet niet'.

 

Toch moet je daar voorzichtig mee zijn. Het is soms juist heel aardig om te kijken waar zo'n mallotige oplossingen vandaan komt. Een voorbeeld?

 

Eén van de opdrachten uit probleemaanpak was het volgende vraagstuk:

---



Twee metselaars bouwen samen aan één toren. Ze doen er 20 uur over. Als ze elk apart een toren bouwen doet de ene er 9 uur langer over dan de andere.

Hoe lang doet elk over het bouwen van 1 toren?

---

't Was nog een beetje een gedoe maar uiteindelijk zijn we er in geslaagd een vergelijking op te stellen die we (om dat moment) nog niet op kunnen lossen...:-)

\(20\cdot(\large\frac{1}{x}+\frac{1}{x+9})\)=1

Met de grafische rekenmachine kan je ook (sommige) vergelijkingen oplossen. Op een vergelijking oplossen met je GR kan je zien hoe dat werkt.

Maar hoe zit dat nu met die oplossing \(x=-5\)? Is dat onzin? Voldoet niet?

Niet echt. De ene metselaar 'bouwt' \(-\frac{1}{5}\) toren per uur! Dat is geen bouwen, maar afbreken. De andere metselaar bouwt \(\frac{1}{4}\) toren per uur. Dat is meer dan de eerste kan afbreken, dus uiteindelijk komt het wel goed...:-)

Daar kan je dan iets van leren. Af en toe krijg je wel 's het idee dat 'sommige mensen' snel ogenschijnlijk onzinnige oplossingen afwijzen omdat ze zich niet voor kunnen stellen dat het ergens op slaat. Daar moet je dus (uiteindelijk) terughoudend in zijn. Voordat je 't weet krijg je weer meer inzicht in je problemen...:-)

Voorbeelden

• Een vierkant met kwart cirkel

Tja...:-)

 

Gegeven zijn twee gelijkvormige rechthoeken. De eerste rechthoek is 2 bij 5, de andere rechthoek is 10 bij p: wat is p?

 

Deze was ook nog aardig:

• Neem 's aan dat je 200 m prikkeldraad hebt. Wat is de oppervlakte van het grootst mogelijke terrein dat je daarmee kan afzetten!?

Out of the box denken:-)

Procentenplan

Het procentenplan bestaat uit 15 opdrachten uit de rekentoets over procenten. Alle 'mogelijke' soorten berekeningen met procenten komen er in terug.

• Eén onderwerp, één vraag op de toets kan al een wereld van verschil maken.
• Een onderwerp als 'procenten' is toch lastiger dan je denkt.
• Zelfs leerlingen met een voldoende zijn niet te beroerd om iets extra's te doen voor punten.
• Deze leerlingen komen er wel. Ik maak me wel zorgen om die leerlingen die hier niet aan mee doen. Aan de andere kant is dat nu wel heel zichtbaar. Wie wil en wie wil er niet? Zeer waardevolle informatie. Daar heb je geen 'learning analytics' voor nodig.

Via de website kunnen leerlingen de opdrachten maken. De docent kijkt dan de opdrachten na. Op opdrachten inleveren en nagekeken opdrachten kan je ongeveer zien hoe dat werkt. Een aantal conclusies na afloop:

• Punten bijverdienen is voor veel leerlingen motiverend. Geen zesjes-cultuur.
• Prompte feedback werkt.
• Elektronisch leren, mits goed georganiseerd, is wel degelijk mogelijk.
• Als docent kan je heel veel leren van de fouten die leerlingen maken. Slordigheid, afrondfouten, niet goed lezen, eenheden, geen antwoord geven op de vraag... enz.
• Hoe kan je er achter komen of het werkt? Kunnen deze leerlingen nu opgaven over procenten beter dan eerst? Blijft het nu wel hangen?
• Als docent krijg je een goed beeld van de vaardigheden en de werkhouding.
• Je kunt goed de verschillend in aanpak, ijver en planning zien.

Ik vond het leuk. Dit was een soort pilotproject. Later in het schooljaar doen we bij wiskunde A een keer een praktisch opdracht 'wiskunde en konijnen'. Dezelfde principes... maar dan met alle leerlingen van de 4e klas die wiskunde A doen.

Voor deze opdracht heb ik 194 opdrachten nagekeken en van feedback voorzien. Alsof het allemaal niets kost.:-)

Probleemaanpak

Dit jaar doe ik de vernieuwde 'probleemaanpak' in HAVO 4 wiskunde B als praktische opdracht.

Welkom bij de PO probleemaanpak. Deze PO bestaat uit een aantal opdrachten.

• Het probleemaanpak ABC
• 15 wiskundige problemen om op te lossen
• eindopdracht in tweetallen

De PO wordt afgerond in projectweek 3.



Startbijeenkomst
Aan 't begin van 't jaar doen we In de les een opstartbijeenkomst met uitleg over de probleemaanpak ABC, we doen een voorbeeld en er is een inleveropdracht. Ik leg het idee uit en we maken afspraken.

Problemen oplossen
In de les doen we (ongeveer) eens in de veertien dagen een probleem uit de probleemaanpak. In totaal zijn dit 15 wiskundige problemen om op te lossen. In tweetallen, op papier, inleveren, nakijken en beoordelen.

Eindopdracht
Tijdens de les doen we dan de probleemaanpaktoets doen in tweetallen.

Daar moesten we volgende week maar 's mee beginnen...:-)

Twee verschillende oplossingen van hetzelfde probleem?

Een voorbeeld van een 'kippen en konijnen'-probleem:

• "Er zitten zebra's en flamingo's in een hok. Samen hebben ze 22 koppen en 76 poten. Hoeveel zebra's en flamingo's zijn er?"

Dat kan je oplossen op de volgende manier: 22 beesten hebben in ieder geval 44 poten. Van de 76 poten houd je er dan nog 32 over. Daarmee kan je 16 zebra's uitrusten. Er zijn dus 16 zebra's en 6 flamingo's.

Maar je zou natuurlijk ook een stelsel van vergelijkingen kunnen opstellen en dat 's fijn oplossen. Noem het aantal zebra's 'z' en het aantal flamingo's 'f'. Er geldt:

f+z=22
2f+4z=76

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met '2':

2f+2z=44
2f+4z=76

Trek de eerste vergelijking van de tweede vergelijking af:

2z=32
z=16

Er zijn 16 zebra's en 6 flamingo's.

Twee verschillende oplossingen van hetzelfde probleem? Of is het eigenlijk gewoon hetzelfde? Wie het weet mag het zeggen...:-)

De website vernieuwd en uitgebreid

Ik heb in de kerstvakantie de website wiskundeleraar.nl aangepast, veranderd en uitgebreid. Ik heb een nieuwe functionaliteit WISKAST toegevoegd en hier en daar 't een en 't ander aangepast. Het beginscherm is anders en ik ga proberen de website wat meer in te zetten...



Zie ook Help voor meer informatie. We zien wel...:-)

Gecijferdheid

Ik was het niet van plan maar ik geloof dat ik per ongeluk een project gemaakt heb voor de kunstklas in de projectweek. Op mijn rooster zag ik dat ik maandag twee uur les heb en woensdag nog een uur. Nu kunnen we natuurlijk weer fijn sommen maken, maar misschien is het aardig om een keer iets anders te doen. Het is tenslotte projectweek.


Op zoek naar getallen, patronen en andere wiskunde in en rond de school. Foto's maken, in teams van 3 of 4 leerlingen, uploaden en een digitale expositie...

Ik ben benieuwd.

Foto's staan in de werkruimte op wiskundeleraar.nl. Een aantal staan ook op de projectpagina/weblog.