De gegevens van zondag 29 december 2013:
Als het goed is dan is het gemiddelde ongeveer gelijk aan 12,8 liedjes per uur.
zondag 29 december 2013
Rekenen en de top 2000
Een voorbeeld uit de CITOvoorbeeldrekentoets:
De gegevens van zondag 29 december 2013:
Als het goed is dan is het gemiddelde ongeveer gelijk aan 12,8 liedjes per uur.
De gegevens van zondag 29 december 2013:
Als het goed is dan is het gemiddelde ongeveer gelijk aan 12,8 liedjes per uur.
zaterdag 28 december 2013
donderdag 26 december 2013
Raaklijnen (2)
Gegeven: \(f\left( x \right) = \frac{8}{{x - 4}} + 2\)
Stel een vergelijking op van de lijnen die de grafiek van f raken en evenwijdig lopen aan de lijn met vergelijking \(y=-2x+3\).
Uitgewerkt
De lijnen evenwijdig aan \(y=-2x+3\) hebben het functievoorschrift \(y=-2x+b\). Snijden met f geeft:
\(
\frac{8}{{x - 4}} + 2 = - 2x + b
\)
Raken betekent dat er precies één oplossing moet zijn. Bepaal de waarde(n) voor \(b\) waarvoor dat geldt.
\(
\begin{array}{l}
\frac{8}{{x - 4}} + 2 = - 2x + b \\
8 + 2(x - 4) = ( - 2x + b)(x - 4) \\
8 + 2x - 8 = - 2x^2 + 8x + bx - 4b \\
2x^2 - bx - 6x + 4b = 0 \\
D = \left( { - b - 6} \right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4b = 0 \\
b^2 + 12b + 36 - 32b = 0 \\
b^2 - 20b + 36 = 0 \\
(b - 18)(x - 2) = 0 \\
b = 18\,\,of\,\,x = 2 \\
\end{array}
\)
De vergelijkingen zijn:
\(
\begin{array}{l}
y = - 2x + 2 \\
y = - 2x + 18 \\
\end{array}
\)
Opgelost...:-)
Stel een vergelijking op van de lijnen die de grafiek van f raken en evenwijdig lopen aan de lijn met vergelijking \(y=-2x+3\).
Uitgewerkt
De lijnen evenwijdig aan \(y=-2x+3\) hebben het functievoorschrift \(y=-2x+b\). Snijden met f geeft:
\(
\frac{8}{{x - 4}} + 2 = - 2x + b
\)
Raken betekent dat er precies één oplossing moet zijn. Bepaal de waarde(n) voor \(b\) waarvoor dat geldt.
\(
\begin{array}{l}
\frac{8}{{x - 4}} + 2 = - 2x + b \\
8 + 2(x - 4) = ( - 2x + b)(x - 4) \\
8 + 2x - 8 = - 2x^2 + 8x + bx - 4b \\
2x^2 - bx - 6x + 4b = 0 \\
D = \left( { - b - 6} \right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4b = 0 \\
b^2 + 12b + 36 - 32b = 0 \\
b^2 - 20b + 36 = 0 \\
(b - 18)(x - 2) = 0 \\
b = 18\,\,of\,\,x = 2 \\
\end{array}
\)
De vergelijkingen zijn:
\(
\begin{array}{l}
y = - 2x + 2 \\
y = - 2x + 18 \\
\end{array}
\)
Opgelost...:-)
dinsdag 24 december 2013
Raaklijnen
In HAVO 4 wiskunde B leer je in hoofdstuk 2 de vergelijking van een raaklijn aan een grafiek bepalen. Dat gaat zo:
- In eerste instantie kan je met je GR in een willekeurig punt van de grafiek het differentiequotiënt bepalen. Je kent dan de richtingscoëfficiënt 'a' van de raaklijn 'y=ax+b'. Vervolgens vul je coördinaten van het raakpunt in om de waarde van 'b' te bepalen en je bent er. Zie het voorbeeld.
- Je kunt een raaklijn aan een grafiek ook opvatten als een transformatie van de standaardfunctie 'y=ax'. Hoe kun je er voor zorgen dat (p,q) op de lijn ligt? Door 'y=a(x-p)+q' te nemen. Het bepalen van de vergelijking van een raaklijn kan dus handiger.
vrijdag 20 december 2013
zondag 15 december 2013
Roosterdiagrammen
Ik had er nog niet bij stil gestaan maar er zit een mooie 'wending' in de oefeningen roosterdiagrammen. Bij opgave 1 zit er niet veel anders op dan de getallen bij de hoekpunten zetten en het aantal kortste routes op die manier uit te rekenen.
Bij de eerste som van opgave 2 gaat dat ook nog wel, maar het kan handiger... Sterker nog: bij de tweede som is dat uitschrijven bijna niet te doen. Gelukkig hebben we zoiets als combinaties. Dat is handig...:-)
Dat vind ik dan wel aardig. Je moet 9 stappen doen waarbij je 4 keer moet kiezen voor 'rechts' en 5 keer voor 'omhoog'. Maar 4 'dingen' kiezen uit 9 waarbij de volgorde er niet toe doet zijn combinaties. Aha... er wordt hier een link gelegd...
Ik heb zelf nog wel 's zitten denken over die roosterdiagrammen met gaten. Zou je daar ook niet iets voor kunnen bedenken, zodat je ze toch 'handig' kan uitrekenen. Dat zal vast kunnen maar ik ben er nog niet echt verder mee gekomen.... maar misschien nog een idee voor een praktische opdracht. Zoek dat maar 's uit...:-)
Bij de eerste som van opgave 2 gaat dat ook nog wel, maar het kan handiger... Sterker nog: bij de tweede som is dat uitschrijven bijna niet te doen. Gelukkig hebben we zoiets als combinaties. Dat is handig...:-)
Dat vind ik dan wel aardig. Je moet 9 stappen doen waarbij je 4 keer moet kiezen voor 'rechts' en 5 keer voor 'omhoog'. Maar 4 'dingen' kiezen uit 9 waarbij de volgorde er niet toe doet zijn combinaties. Aha... er wordt hier een link gelegd...
Ik heb zelf nog wel 's zitten denken over die roosterdiagrammen met gaten. Zou je daar ook niet iets voor kunnen bedenken, zodat je ze toch 'handig' kan uitrekenen. Dat zal vast kunnen maar ik ben er nog niet echt verder mee gekomen.... maar misschien nog een idee voor een praktische opdracht. Zoek dat maar 's uit...:-)
vrijdag 13 december 2013
zondag 8 december 2013
Bereken: 99x99
Gewoon onder elkaar zetten:
Of handig!?
99x99 = 99·(100-1)=9900-99=9801
99x99 = (100-1)² = 100² - 2·100 + 1 = 10000 - 200 + 1 = 9801
99x99 = 100·100 - 100 - 99 = 10000 - 100 - 99 = 9801
99x99 = (99+1)(99-1) + 1 = 100· 98 + 1 = 9801
Wat je maar wilt... alles kan...:-)
Dit bericht is al eerder gepubliceerd op wiswijzer.
Of handig!?
99x99 = 99·(100-1)=9900-99=9801
99x99 = (100-1)² = 100² - 2·100 + 1 = 10000 - 200 + 1 = 9801
99x99 = 100·100 - 100 - 99 = 10000 - 100 - 99 = 9801
99x99 = (99+1)(99-1) + 1 = 100· 98 + 1 = 9801
Wat je maar wilt... alles kan...:-)
Dit bericht is al eerder gepubliceerd op wiswijzer.
vrijdag 6 december 2013
Een piramide half gevuld
Hier zie je een vierzijdige piramide met een vierkant als
grondvlak. De piramide is tot de helft van de hoogte gevuld met water.
Bereken op 1 decimaal nauwkeurig hoeveel procent van de
piramide gevuld is.
Een bol in de kegel
Gegeven een kegel. De diameter van het grondvlak is 12 en de hoogte is 8. In
de kegel past precies een bol.
Bereken exact de oppervlakte en de inhoud van de kegel en de bol.
Bereken exact de oppervlakte en de inhoud van de kegel en de bol.
zondag 1 december 2013
De bollenbak
Onderstaande opdracht heeft het niet gehaald. 't Is een leuk probleem, maar niet geschikt voor probleemaanpak.
Laat zien dat deze bak 106 bollen kan bevatten.
Een bak in de vorm van een balk met lengte 10 m, breedte 10 m en
hoogte van 1 m moet bollen bevatten met een diameter van 1 m.
|
 |
Laat zien dat deze bak 106 bollen kan bevatten.
vrijdag 29 november 2013
Probleemaanpak 8
Hier zie je een kegel die bestaat uit verschillend gekleurde lagen. De hoogte van de kegel is 9 en de diameter van het grondvlak is 6. We draaien de lagen om. De inhoud van de verschillende lagen verandert niet.
- Bereken exact de hoogte van het rode stuk van de rechter kegel.
dinsdag 26 november 2013
Stelsels en vergelijkingen
Je kunt met je GR ook stelsels en vergelijkingen oplossen. Op de Equation-pagina kan je er meer over vinden. Deze is wel aardig:
Kijk 's aan... wat zou die ×2 te betekenen hebben?:-)
Kijk 's aan... wat zou die ×2 te betekenen hebben?:-)
maandag 25 november 2013
zondag 24 november 2013
Hoeveel leerlingen hebben de proef gemaakt?
Voor opgave 4 van de proef van hoofdstuk 2 kun je 6 punten halen.
Gemiddeld scoren de leerlingen 1 punt. Eén leerling scoort 6 punten, één
leerling scoort 3 punten, 5 leerlingen 2 punten en één leerling 1 punt. De rest
heeft geen punten.
- Hoeveel leerlingen hebben de proef gemaakt?
zaterdag 23 november 2013
Tegels
In de 3F-voorbeeldrekentoets 2013 kwam ik dit sommetje tegen:
Dat zijn 1800 tegels met een oppervlakte van 0,42² m² en dat kost dan 12,90 euro per m². Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)
Dat zijn 1800 tegels met een oppervlakte van 0,42² m² en dat kost dan 12,90 euro per m². Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)
Intervaltraining
Opdracht 5 van probleemaanpak komt uit de 3F-voorbeeldrekentoets van 2013:
Neem is aan dat de 'hardloopsnelheid' van Joost 10 km/u is. Hij 'hardloopt' 5 km en wandelt 1 km. Hoe lang zou die er dan over doen?
\(
\frac{5}{{10}} + \frac{1}{5} = \frac{7}{{10}} = \frac{{42}}{{60}}
\)
Dat zou dan 42 minuten zijn. Dat is niet goed...:-)
Neem \(v\) als hardloopsnelheid. Er geldt:
\(
\frac{5}{v} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{60}}
\)
Oplossen (eventueel met de GR:-) geeft \(v = 12\). De harloopsnelheid van Joost is 12 km/u.
Neem is aan dat de 'hardloopsnelheid' van Joost 10 km/u is. Hij 'hardloopt' 5 km en wandelt 1 km. Hoe lang zou die er dan over doen?
\(
\frac{5}{{10}} + \frac{1}{5} = \frac{7}{{10}} = \frac{{42}}{{60}}
\)
Dat zou dan 42 minuten zijn. Dat is niet goed...:-)
Neem \(v\) als hardloopsnelheid. Er geldt:
\(
\frac{5}{v} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{60}}
\)
Oplossen (eventueel met de GR:-) geeft \(v = 12\). De harloopsnelheid van Joost is 12 km/u.
donderdag 21 november 2013
Vergelijkingen oplossen met je GR
Ik heb de leerlingen van HAVO 4 wiskunde B laten zien dat je met je GR vergelijkingen op kan lossen. Een soort van:-)
Leuk bedacht, maar sommige leerlingen krijgen een hele andere oplossing...:-)
Vreemd genoeg krijg ik met mijn apparaat netjes de bedoelde oplossing \(x=36\). Maar \(x=-5\) is ook een oplossing:
\(
\begin{array}{l}
20\left( {\frac{1}{{ - 5}} + \frac{1}{{ - 5 + 9}}} \right) = 1 \\
20\left( { - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 1 \\
20\left( { - \frac{4}{{20}} + \frac{5}{{20}}} \right) = 1 \\
20\left( {\frac{1}{{20}}} \right) = 1 \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
Kennelijk denken sommige apparaten 'anders' en vinden de 'andere oplossing'. Met Lower en Upper kan je aangeven in welk gebied je je oplossing wilt hebben. In 't geval van de metselaars wil je natuurlijk wel graag een positieve oplossing. Zet Lower op nul bijvoorbeeld. Dan gaat het zeker goed.
Misschien is het nog wel aardig om je af te vragen wat de oplossing \(x=-5\) precies betekent...:-)
Leuk bedacht, maar sommige leerlingen krijgen een hele andere oplossing...:-)
Vreemd genoeg krijg ik met mijn apparaat netjes de bedoelde oplossing \(x=36\). Maar \(x=-5\) is ook een oplossing:
\(
\begin{array}{l}
20\left( {\frac{1}{{ - 5}} + \frac{1}{{ - 5 + 9}}} \right) = 1 \\
20\left( { - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 1 \\
20\left( { - \frac{4}{{20}} + \frac{5}{{20}}} \right) = 1 \\
20\left( {\frac{1}{{20}}} \right) = 1 \\
Klopt! \\
\end{array}
\)
Kennelijk denken sommige apparaten 'anders' en vinden de 'andere oplossing'. Met Lower en Upper kan je aangeven in welk gebied je je oplossing wilt hebben. In 't geval van de metselaars wil je natuurlijk wel graag een positieve oplossing. Zet Lower op nul bijvoorbeeld. Dan gaat het zeker goed.
Misschien is het nog wel aardig om je af te vragen wat de oplossing \(x=-5\) precies betekent...:-)
Kwadratische vergelijkingen
In klas 3 is Hoofdstuk 3 - HAVO/VWO - kwadratische problemen een activiteit die je echt moet doen. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen is een complexe vaardigheid. Met het applet kunnen leerlingn oefenen met het herkennen van de verschillende soorten vergelijkingen en oefenen met de juiste aanpak.
"Je kunt het applet het werk laten doen, maar jij bent de regisseur die vertelt wat er moet gebeuren!"
"Je kunt het applet het werk laten doen, maar jij bent de regisseur die vertelt wat er moet gebeuren!"
- Hierbij bevestigen we de door jou geplaatste reservering voor laptop windows xps (type HP nx6310), voor de periode van 22-11-2013 14:00 uur tot 22-11-2013 14:40 uur...
dinsdag 19 november 2013
Probleemaanpak
Sommige opgaven uit de 3F-voorbeeldtoets horen 'echt' niet in een rekentoets. Bijvoorbeeld de opgave over de intervaltraining:
Je moet eerst bedenken dat 6 kilometer overeenkomt met 5 km hardlopen en 1 km wandelen. Dan stel je vast dat de training 37 minuten duurt. Maar dan?
...maar dat zouden we bij probleemaanpak eigenlijk nu wel moeten kunnen. Met de 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'.:-)
Je moet eerst bedenken dat 6 kilometer overeenkomt met 5 km hardlopen en 1 km wandelen. Dan stel je vast dat de training 37 minuten duurt. Maar dan?
...maar dat zouden we bij probleemaanpak eigenlijk nu wel moeten kunnen. Met de 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'.:-)
Parachute springen
Een proef maken is net zoiets als parachute springen. Voordat je uit het vliegtuig springt moet je eerst een aantal dingen leren:
Daar kan je wel iets van leren. De volgende keer beter plannen en als de wiedeweerga zorgen dat je bijblijft. Wekenlang een beetje relaxen en zitten leuteren? Als het er op aan komt er achter komen dat het niet gaat lukken? Dat is wel een beetje erg onhandig. Zorg dat je bijblijft...
Leermoment...:-)
- Uit een vliegtuig springen
- Even wachten
- Aan het touwtje trekken
- Langzaam naar beneden zweven
- Landen
- Parachute inpakken
Daar kan je wel iets van leren. De volgende keer beter plannen en als de wiedeweerga zorgen dat je bijblijft. Wekenlang een beetje relaxen en zitten leuteren? Als het er op aan komt er achter komen dat het niet gaat lukken? Dat is wel een beetje erg onhandig. Zorg dat je bijblijft...
Leermoment...:-)
Een probleem kleiner maken
In de voorbeeldtoets 3F van 2013 staat een opgave over bloembollen.
In het kader van 'trap er niet in' moet je er wel even over nadenken. Zou het gewoon 15×18=270 zijn? Of is dat te makkelijk? Wat zou er mis kunnen gaan? Moet het misschien breedte- en lengtegewijs steeds 1 minder zijn dan je denkt? Of misschien juist 1 meer?
In dit geval heb je er een voorbeeld bij gekregen. Als je een vierkant zou hebben van 30 bij 30 cm als op het plaatje dan kan je daar 9 bloembollen kwijt. Dat is dus 'gewoon' 3×3=9, dus zal het met 15×18 ook wel goed gaan.
Dat noemen we 'een probleem kleiner maken'.:-)
In het kader van 'trap er niet in' moet je er wel even over nadenken. Zou het gewoon 15×18=270 zijn? Of is dat te makkelijk? Wat zou er mis kunnen gaan? Moet het misschien breedte- en lengtegewijs steeds 1 minder zijn dan je denkt? Of misschien juist 1 meer?
In dit geval heb je er een voorbeeld bij gekregen. Als je een vierkant zou hebben van 30 bij 30 cm als op het plaatje dan kan je daar 9 bloembollen kwijt. Dat is dus 'gewoon' 3×3=9, dus zal het met 15×18 ook wel goed gaan.
Dat noemen we 'een probleem kleiner maken'.:-)
maandag 18 november 2013
De 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'
Bij sommige problemen is het handig als je een formule opstelt. Als je dat lastig vindt dan kan het handig zijn om eerst een 'concreet voorbeeld' als oplossing te nemen en te kijken of je kan controleren of die oplossing klopt. Als je dat kan dan kan je dat waarschijnlijk ook met een 'variabele'.
Driehoekjes
In de tekening hierboven geldt: ABC is een rechthoekige driehoek met C als de rechte hoek. De lijnstukken AD, DF, FE, EC en CB zijn allemaal even lang.
Neem 's aan dat hoek A gelijk aan 20 graden is. Je kunt dan de hoeken uit gaan rekenen. Je krijgt dan zoiets als:
Maar dat klopt niet...:-)
Maar neem nu 's aan dat hoek A gelijk is aan 'x' graden. Kan je 't dan ook? De kunst is dan om hoek B uit te drukken in 'x'. Je weet dat hoek A en hoek B samen 90 graden is... en dan kan je dat vast uitrekenen.
Noem iets 'x', druk de andere onbekenden uit in 'x' en gebruik de eigenschappen om een vergelijking op te stellen die je kan oplossen. Lukt dat niet meteen probeer het dan 's met een concrete oplossing en probeer daarna dezelfde stappen met een variabele.
Lever de opdrachten 3 en 4 vrijdag in. De oplossingen van de opdrachten 1 t/m 4 deel ik daarna uit en er zijn weer 2 nieuwe problemen.
Driehoekjes
In de tekening hierboven geldt: ABC is een rechthoekige driehoek met C als de rechte hoek. De lijnstukken AD, DF, FE, EC en CB zijn allemaal even lang.
Neem 's aan dat hoek A gelijk aan 20 graden is. Je kunt dan de hoeken uit gaan rekenen. Je krijgt dan zoiets als:
Maar dat klopt niet...:-)
Maar neem nu 's aan dat hoek A gelijk is aan 'x' graden. Kan je 't dan ook? De kunst is dan om hoek B uit te drukken in 'x'. Je weet dat hoek A en hoek B samen 90 graden is... en dan kan je dat vast uitrekenen.
Noem iets 'x', druk de andere onbekenden uit in 'x' en gebruik de eigenschappen om een vergelijking op te stellen die je kan oplossen. Lukt dat niet meteen probeer het dan 's met een concrete oplossing en probeer daarna dezelfde stappen met een variabele.
Lever de opdrachten 3 en 4 vrijdag in. De oplossingen van de opdrachten 1 t/m 4 deel ik daarna uit en er zijn weer 2 nieuwe problemen.
zondag 17 november 2013
Uit je doppen kijken
Eén van de wiskundige vaardigheden die leerlingen moeten leren is het herkennen van structuren. Bijvoorbeeld bij deze opgave uit de 3F-voorbeeldrekentoets:
Als je goed kijkt dan zijn dat 4 dagen van 8\(\frac{1}{2}\) uur en 1 dag van 7 uur. Daar moet dan nog wel 4 keer een pauze van \(\frac{3}{4}\) uur en een pauze van een \(\frac{1}{2}\) uur van af. De uitkomst dan nog even vermenigvuldigen met 4,80 euro... Hoe moeilijk kan dat zijn?
\((4\times8\frac{1}{2}+7-4\times\frac{3}{4}-\frac{1}{2})\times4,80=180\) euro
Als je goed uit je doppen kijkt dan valt het het nog best mee...:-)
Als je goed kijkt dan zijn dat 4 dagen van 8\(\frac{1}{2}\) uur en 1 dag van 7 uur. Daar moet dan nog wel 4 keer een pauze van \(\frac{3}{4}\) uur en een pauze van een \(\frac{1}{2}\) uur van af. De uitkomst dan nog even vermenigvuldigen met 4,80 euro... Hoe moeilijk kan dat zijn?
\((4\times8\frac{1}{2}+7-4\times\frac{3}{4}-\frac{1}{2})\times4,80=180\) euro
Als je goed uit je doppen kijkt dan valt het het nog best mee...:-)
woensdag 13 november 2013
Uren omrekenen
CASIO fx-CG 20
Via OPTN [>] ANGLE kan je gemakkelijk uren omrekenen in uren, minuten en seconden:
Dat kan natuurlijk ook zonder deze speciale functie van de rekenmachine:
2,58696 uur komt over een met 2 uur 35 minuten en 13 seconden.
Via OPTN [>] ANGLE kan je gemakkelijk uren omrekenen in uren, minuten en seconden:
Dat kan natuurlijk ook zonder deze speciale functie van de rekenmachine:
2,58696 uur komt over een met 2 uur 35 minuten en 13 seconden.
zaterdag 9 november 2013
Hypercorrectie
We zaten zo 's wat te twitteren over meneer van Dale, spellingsregels, Groningen, pannenkoeken en 'Assenpoester'. Het op het verkeerde moment toepassen van regels wordt wel hypercorrectie genoemd. Komt zoiets ook wel 's voor bij wiskunde?
Ik moest er even over nadenken, maar dat doen leerlingen natuurlijk wel 's. Bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras toepassen in een willekeurige driehoek. Dingen als sin(x)+sin(y)=sin(x+y)... noem maar op...:-)
Wat ik zelf een mooi voorbeeld vind is dat 'je moet niet breien' bij sommige leerlingen leidt tot het idee dat je helemaal nooit berekeningen op één regel moet zetten. Wiskundeleraren noemen iets 'breien' als je dingen schrijft als:
12 - 4 = 8 + 2 = 10 - 9 = 1
Dat is namelijk onzin. Je beweert dat 12 min 4 (uiteindelijk) gelijk is aan 1 en dat is niet zo. Als je meerdere berekeningen wilt uit voeren kan je beter steeds op een nieuwe regel beginnen en vooral geen onwaarheden roepen. Ik probeer leerlingen dat 'breien' zo snel mogelijk af te leren. Meestal lukt dat wel...
Soms roept een leerling 'breien' als het geen 'breien' is...
3² - 4 + 5 = 9 - 4 + 5 = 5 + 5 = 10
Daar is verder niet veel mis mee. Als je dat 'breien' vindt heb je 't toch nog niet helemaal begrepen...:-)
Ik moest er even over nadenken, maar dat doen leerlingen natuurlijk wel 's. Bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras toepassen in een willekeurige driehoek. Dingen als sin(x)+sin(y)=sin(x+y)... noem maar op...:-)
Wat ik zelf een mooi voorbeeld vind is dat 'je moet niet breien' bij sommige leerlingen leidt tot het idee dat je helemaal nooit berekeningen op één regel moet zetten. Wiskundeleraren noemen iets 'breien' als je dingen schrijft als:
12 - 4 = 8 + 2 = 10 - 9 = 1
Dat is namelijk onzin. Je beweert dat 12 min 4 (uiteindelijk) gelijk is aan 1 en dat is niet zo. Als je meerdere berekeningen wilt uit voeren kan je beter steeds op een nieuwe regel beginnen en vooral geen onwaarheden roepen. Ik probeer leerlingen dat 'breien' zo snel mogelijk af te leren. Meestal lukt dat wel...
Soms roept een leerling 'breien' als het geen 'breien' is...
3² - 4 + 5 = 9 - 4 + 5 = 5 + 5 = 10
Daar is verder niet veel mis mee. Als je dat 'breien' vindt heb je 't toch nog niet helemaal begrepen...:-)
woensdag 6 november 2013
Handig rekenen
Iedereen heeft zo zijn eigen beelden bij 'rekenen'. Wat vroeger 'hoofdrekenen' was is voor de een nog steeds 'rekenen met je hoofd', maar voor anderen is het met 'pen en papier'. Nou ja... Ik bemoei me er maar niet mee. Dat laat ik graag aan anderen over. Maar om toch nog enigszins 'bij te dragen aan het debat' zal ik hier 's wat aan 'handig rekenen' doen.
Bij 't 'hoofdrekenen' gaat het niet om het 'rekenen' op een manier zoals je dat op papier zou doen. In je hoofd een staartdeling maken is lastig. Dat kan bijna niet de bedoeling zijn.
VOORBEELD
\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 =
\)
't Is handig om eerst 43 en 57 op te tellen (dat is 100:-) en dat te vermenigvuldigen met 17, dat is dan 1700. Dat is een stuk handiger dan
\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 = 731 + 969 = 1700
\)
De vraag is dan natuurlijk 'kan dat zo maar?' Dat kan zeker... handig wel:-)
ANDER VOORBEELD
\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} =
\)
Wat is hier handig? Wel aan...
\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} = 8 \times 33\frac{1}{3} - 4 \times 33\frac{1}{3} = 4 \times 33\frac{1}{3} = 133\frac{1}{3}
\)
...en dat kan uit je hoofd...
LAATSTE VOORBEELD
\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} =
\)
Eerst 13 met 52 vermenigvuldigen en daarna delen door 169 is niet 'echt' handig. Dat kan beter:
\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} = \frac{{52}}{{13}}\) = \(\large 4
\)
Je moet dan wel weten dat 169=13², maar dat is sowieso wel handig om te weten...
Bij 't 'hoofdrekenen' gaat het niet om het 'rekenen' op een manier zoals je dat op papier zou doen. In je hoofd een staartdeling maken is lastig. Dat kan bijna niet de bedoeling zijn.
VOORBEELD
\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 =
\)
't Is handig om eerst 43 en 57 op te tellen (dat is 100:-) en dat te vermenigvuldigen met 17, dat is dan 1700. Dat is een stuk handiger dan
\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 = 731 + 969 = 1700
\)
De vraag is dan natuurlijk 'kan dat zo maar?' Dat kan zeker... handig wel:-)
ANDER VOORBEELD
\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} =
\)
Wat is hier handig? Wel aan...
\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} = 8 \times 33\frac{1}{3} - 4 \times 33\frac{1}{3} = 4 \times 33\frac{1}{3} = 133\frac{1}{3}
\)
...en dat kan uit je hoofd...
LAATSTE VOORBEELD
\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} =
\)
Eerst 13 met 52 vermenigvuldigen en daarna delen door 169 is niet 'echt' handig. Dat kan beter:
\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} = \frac{{52}}{{13}}\) = \(\large 4
\)
Je moet dan wel weten dat 169=13², maar dat is sowieso wel handig om te weten...
dinsdag 5 november 2013
Het statistisch onderzoek
Dat schiet niet op. Ik denk dat ik 't maar beter helemaal opnieuw kan doen. Dat maakt het wellicht ook breder inzetbaar.
Kijk daar staat ie...:-)
"Disclaimer: Het embedden van video's van de WiskundeAcademie is alleen toegestaan wanneer toestemming is verleend door de WiskundeAcademie. De video's maken deel uit van het auteursrecht..."
O ja? Op YouTube? En dan denken dat je... Ik geloof er niks van...:-)
O ja? Op YouTube? En dan denken dat je... Ik geloof er niks van...:-)
zondag 3 november 2013
Hellingspercentage
© Donald Duck - het vrolijke weekblad
Hierboven zie je een helling van 95%. Maar klopt dat wel? Hoe ziet een helling van 95% er eigenlijk uit?
- Geef een schatting van het hellingspercentage in bovenstaande tekening.
zaterdag 2 november 2013
Gulden snede
In 1983 amateur mathematician George Odom discovered that if points A and B are the midpoints of sides EF and DE of an equilateral triangle, and line AB meets the circumscribing circle at C, then AB/BC = AC/AB = φ. Odom used this fact to construct a pentagon, which H.S.M. Coxeter published in the American Mathematical Monthly with the single word “Behold!”
bron
dinsdag 29 oktober 2013
Rekenregels of begrijpen waar je mee bezig bent?
Als je twee breuken wilt optellen dan maak je de breuken gelijknamig en dan kan je ze 'onder één noemer zetten' en optellen.
\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{6}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)
Daar zou je best een rekenregel voor kunnen verzinnen. Je kunt tellers en noemers kruislings vermenigvuldigen, die optellen en delen door het product van de noemers:
\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{2 \cdot 7 + 2 \cdot 3}}{{3 \cdot 7}} = \frac{{14 + 6}}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)
Zo'n rekenregel voor het optellen van breuken kan handig zijn, bijvoorbeeld bij het onder één noemer zetten van gebroken termen met variabelen:
\(
\eqalign{
& \frac{x}
{{x - 1}} + \frac{{x^2 }}
{{x + 3}} = \cr
& \frac{{x(x + 3) + x^2 (x - 1)}}
{{(x - 1)(x + 3)}} = \cr
& \frac{{x^2 + 3x + x^3 - x^2 }}
{{(x - 1)(x + 3)}} = \cr
& \frac{{x^3 + 3x}}
{{(x - 1)(x + 3)}} \cr}
\)
Bij zo'n rekenregel hoef je dan verder niet na te denken. Het antwoord rolt er, als het ware, bijna vanzelf uit.
Toch kom je die rekenregel zelden tegen. Er is, denk ik , een goede reden om dat ook niet te willen. Het is veel handiger om gelijknamig te maken. Dat werkt bij formules hetzelfde als bij getallen, dus waarom zou je een rekenregel moeten leren als je die helemaal niet nodig hebt?
Rekenregels, stappenplannen en ezelsbruggetjes hebben de neiging te worden vergeten, verhaspeld of op het verkeerde moment van stal gehaald. Dat is ook iets wat je niet moet willen. Jammer is het wel. Ik vond het bij de gebroken termen wel handig ergens.:-)
Bij HAVO wiskunde B gebruiken we hier en daar ook een soort van rekenregels. Die regels kan je dan uit je hoofd leren en op het goede moment inzetten:
Maar zijn die nu eigenlijk noodzakelijk? Zou je niet gewoon moeten weten hoe dat werkt en zelf bedenken hoe 't zit bij die gebroken vergelijkingen? Zou dat niet veel beter zijn?
Als je eenmaal dingen begrijpt hoef je nooit bang te zijn dat je iets kwijt raakt. Het zit gewoon tussen je oren...:-)
maandag 28 oktober 2013
De stelling van Pythagoras
Je ziet hieronder een vierkant met daarbinnen nog een vierkant.
Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?
Hier zie je nog een vierkant met een kleiner vierkant.
Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?
Conclusie?
Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?
Hier zie je nog een vierkant met een kleiner vierkant.
Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?
Conclusie?
zondag 20 oktober 2013
De ingeschreven cirkel
Waarom is het snijpunt van de bissectrices het middelpunt van de ingeschreven
cirkel van een driehoek?
De cirkel met middelpunt M raakt aan AB, BC en AC. Dat betekent dat de afstand van M tot AB, BC en AC precies gelijk is. Dat is dan ook meteen de straal van de ingeschreven cirkel.
De bissectrice van \(\angle\)
De bissectrice van \(\angle\)B is de verzameling punten die even ver van AB en BC af liggen.
Het snijpunt van de twee bissectrices is het middelpunt M van de ingeschreven cirkel. Dit punt ligt op gelijke afstand van AC, AB en BC.
De cirkel met middelpunt M raakt aan AB, BC en AC. Dat betekent dat de afstand van M tot AB, BC en AC precies gelijk is. Dat is dan ook meteen de straal van de ingeschreven cirkel.
De bissectrice van \(\angle\)
De bissectrice van \(\angle\)B is de verzameling punten die even ver van AB en BC af liggen.
Het snijpunt van de twee bissectrices is het middelpunt M van de ingeschreven cirkel. Dit punt ligt op gelijke afstand van AC, AB en BC.
De omgeschreven cirkel
Waarom is het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt van de
omgeschreven cirkel van een driehoek?
Het middelpunt M van de cirkel die door A, B en C van de driehoek gaat ligt op gelijke afstand van A, B en C. Die afstand is namelijk precies de straal van de cirkel. Een cirkel is immers de verzameling punten die op een bepaalde afstand van het middelpunt M liggen.
De middellloodlijn van twee punten A en B is de verzameling punten die op gelijke afstand liggen van de punten A en B.
De punten van de middelloodlijn van B en C liggen op gelijke afstand van B en C.
Het snijpunt van de middellloodlijn van A en B en de middelloodlijn van B en C ligt dus op gelijke afstand van A, B en C. Dat is dan het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.
Het middelpunt M van de cirkel die door A, B en C van de driehoek gaat ligt op gelijke afstand van A, B en C. Die afstand is namelijk precies de straal van de cirkel. Een cirkel is immers de verzameling punten die op een bepaalde afstand van het middelpunt M liggen.
De middellloodlijn van twee punten A en B is de verzameling punten die op gelijke afstand liggen van de punten A en B.
De punten van de middelloodlijn van B en C liggen op gelijke afstand van B en C.
Het snijpunt van de middellloodlijn van A en B en de middelloodlijn van B en C ligt dus op gelijke afstand van A, B en C. Dat is dan het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.
De som van de hoeken van een vierhoek
In de brugklas leer je van alles over hoeken. Je hebt scherpe hoeken, stompe
hoeken, de rechte hoek en de gestrekte hoek. Je leert ook dat de som van de
hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°.
Als ik aan bovenstaande driehoek nu 's een punt toevoeg dan krijg ik een vierhoek.
Zoals je ziet is \(\angle\)
Als ik aan bovenstaande driehoek nu 's een punt toevoeg dan krijg ik een vierhoek.
Zoals je ziet is \(\angle\)
- De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.
zaterdag 19 oktober 2013
Maf rijtje
Er zwerft al enige tijd een aardig puzzeltje over het Internet...
In deze rij volgt aan het eind telkens hetzelfde getal x. Welk getal is x?
1, 11, 21, 32, 56, 1130, x, x, x, ...
Je moet 't maar 's oplossen...
In deze rij volgt aan het eind telkens hetzelfde getal x. Welk getal is x?
1, 11, 21, 32, 56, 1130, x, x, x, ...
Je moet 't maar 's oplossen...
donderdag 17 oktober 2013
Probleemaanpak klas 3
Ik heb een nieuwe leerroute voor klas 3 omtrent probleemaanpak. De digitale leerroute bestaat uit algemene informatie, een voorbeeld en 5 opdrachten.
1. Probleemaanpak
2. Een voorbeeld
3. Aanlegkosten
4. Schaakbord
5. Gemiddelde snelheid
6. Hangbrug
7. Eindopdracht
Ik moet alleen het voorbeeld nog invullen, maar voor de rest is het voor de bakker. Ja? Ja. Wat ja? Ja bakker...:-)
1. Probleemaanpak2. Een voorbeeld
3. Aanlegkosten
4. Schaakbord
5. Gemiddelde snelheid
6. Hangbrug
7. Eindopdracht
Ik moet alleen het voorbeeld nog invullen, maar voor de rest is het voor de bakker. Ja? Ja. Wat ja? Ja bakker...:-)
maandag 14 oktober 2013
ggd en kgv in asp...
function ggd(a,b)
a = abs(a)
b = abs(b)
if a = 0 then
ggd = b
else
if b = 0 then
ggd = a
else
if a > b then
ggd = ggd(b, a mod b)
else
ggd = ggd(a, b mod a)
end if
end if
end if
end function
function kgv(a,b)
kgv=a*b/ggd(a,b)
end function
zondag 13 oktober 2013
dinsdag 8 oktober 2013
Konijnennamen met een 'W"
WABBERTJE WALNOOT WAMPIE WANDA WARREL WASABI WEBSTER WENDY WHESLEY WHISEGUY WHISKEY WIBBE WIBI WIBO WIEDEWAAS WIJSNEUS WILDE WILLEM WILLOW WILLY WINKY WINNETOE WINNETOE WINNIE WINNIETOE WIPNEUS WIPNEUSJE WIPSTAART WIPWAPWOLLETJE WISKE WISKY WITHEY WITJE WITSNOETJE WIZZEL WIZZY WOBO WODKA WOEDIE WOEPS WÖLKCHEN WOLKE WOLKJE WOLLE WOLLETJE WOLLIE WOLLYBOL WOLLYWOB WOOPY WOPKE WOPPER WOPPY WUPPIE WUSCHEL
http://www.konijnen-namen.nl
http://www.konijnen-namen.nl
Wiskunde en konijnen overzicht
“If you can dream it, you can do it.” – Walt Disney
De leerroute is zo goed als klaar. Hier en daar ben ik nog bezig met de eindopdrachten.
In deze 'minicursus' maak je kennis met getallenstelsels, formules, grafieken, de rij van Fibonacci, de gulden snede, groeimodellen en meer...
- Inleiding
-
Kippen en konijnen
Veel problemen laten zich oplossen met 'gezond verstand' en 'puzzelen'. Het 'kippen en konijnen'-probleem is daar een voorbeeld van. -
Als je een konijn vraagt...
Naar aanleiding van een gedicht van Rudy Kousbroek maak je kennis met het viertallig stelsel. We kijken ook naar een aantal andere getallenstelsels. -
Romeinse cijfers
Hoe zat dat ook alweer met die Romeinse cijfers? -
Egypte
Zo'n 2000 jaar v.Chr., dus zo'n 4000 jaar geleden werd er in het Oude Egypte al volop gewerkt met getallen. -
De Maya's
De Maya's gebruikte een zestigtallig stelsel. -
Een stelsel oplossen
Je kunt problemen soms oplossen met 'gezond verstand', maar je kunt soms handiger wiskunde gebruiken. -
De konijnen van Fibonacci
De rij van Fibonacci is een bekende rij in de wiskunde. We kijken naar de rij en een aantal plekken waar je de rij kan tegen komen. -
De gulden snede
De gulden snede heeft iets te maken met verhoudingen. Er wordt zelfs gesuggereerd dat de gulden snede een mooie verhouding is. Hoe kan je de gulden snede herkennen? -
Konijnen en groeimodellen
In dit hoofdstuk kijken we naar drie groeimodellen. Grafieken, formules en een paar applets om mee te spelen... -
Wat is relatief?
Heel simpel gezegd zou je kunnen zeggen dat 'relatief' iets te maken heeft met procenten, maar dat is te simpel. Wat is nu eigenlijk precies het verschil tussen 'absoluut' en 'relatief'? -
Hoe pak je een wiskundeopgave aan?
Los van de 'wiskunde' zijn er nog wel een aantal 'algemene tips' die je kunnen helpen bij het maken van opgaven. -
Eindopdracht
De eindopdracht bestaat uit 10 opgaven uit de rekentoets.
-
Domein A: Vaardigheden
-
Subdomein A1: Informatievaardigheden
- De kandidaat kan, mede met behulp van ICT, informatie verwerven, selecteren, verwerken, beoordelen en presenteren.
-
Subdomein A2: Onderzoeksvaardigheden
- De kandidaat kan een gegeven probleemsituatie inventariseren, vertalen in een wiskundig model, binnen dat model wiskundige oplostechnieken hanteren en de gevonden oplossingen betekenis geven in de context.
-
Subdomein A3: Technisch-instrumentele vaardigheden
- De kandidaat kan bij raadplegen, verkennen en presenteren van wiskundige informatie en bij uitvoeren van wiskundige bewerkingen en redeneringen gebruik maken van toepassingen van ICT.
-
Subdomein A1: Informatievaardigheden
- We zijn benieuwd...:-)
maandag 7 oktober 2013
Proeven in Magister
Een nieuw idee is om de proeven in Magister te zetten. Leerlingen en ouders kunnen dan zien hoe 't zit allemaal...
Nou prima...:-)
Nou prima...:-)
Abonneren op:
Posts (Atom)