Raaklijnen (2)

Gegeven: $f\left( x \right) = \frac{8}{{x - 4}} + 2$
Stel een vergelijking op van de lijnen die de grafiek van f raken en evenwijdig lopen aan de lijn met vergelijking $y=-2x+3$.

Uitgewerkt
De lijnen evenwijdig aan $y=-2x+3$ hebben het functievoorschrift $y=-2x+b$. Snijden met f geeft:

$\frac{8}{{x - 4}} + 2 =  - 2x + b$

Raken betekent dat er precies één oplossing moet zijn. Bepaal de waarde(n) voor $b$ waarvoor dat geldt.

$\begin{array}{l} \frac{8}{{x - 4}} + 2 =  - 2x + b \\ 8 + 2(x - 4) = ( - 2x + b)(x - 4) \\ 8 + 2x - 8 =  - 2x^2  + 8x + bx - 4b \\ 2x^2  - bx - 6x + 4b = 0 \\ D = \left( { - b - 6} \right)^2  - 4 \cdot 2 \cdot 4b = 0 \\ b^2  + 12b + 36 - 32b = 0 \\ b^2  - 20b + 36 = 0 \\ (b - 18)(x - 2) = 0 \\ b = 18\,\,of\,\,x = 2 \\ \end{array}$

De vergelijkingen zijn:

$\begin{array}{l} y =  - 2x + 2 \\ y =  - 2x + 18 \\ \end{array}$

Opgelost...:-)