Naar aanleiding van afgeleide functie berekenen met wortel erin stond er op oefeningen 2 een oefening voor de afgeleide van een functie met een wortel. 't Is handig om dat met machten met gebroken exponenten te doen. Maar kan 't ook zonder?
Bereken de afgeleide van:
\[
f(x) = \frac{4}{{\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} }}
\]
Met de kettingregel en de standaardafgeleide van de wortelfunctie:
\[
\begin{array}{l}
f'(x) = - \frac{4}{{\left( {\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} } \right)^2 }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} }} \cdot \left( {6x^2 + 10x} \right) \\
f'(x) = - \frac{{12x^2 + 20x}}{{\sqrt {\left( {2x^3 + 5x^2 + 4} \right)^3 } }} \\
\end{array}
\]
Met de quotiëntregel:
\[
\begin{array}{l}
f'(x) = \frac{{0 \cdot \sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} - 4 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} }} \cdot \left( {6x^2 + 10x} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} } \right)^2 }} \\
f'(x) = \frac{{ - 4 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} }} \cdot \left( {6x^2 + 10x} \right)}}{{\left( {\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} } \right)^2 }} \\
f'(x) = \frac{{ - 2\left( {6x^2 + 10x} \right)}}{{\left( {2x^3 + 5x^2 + 4} \right)\sqrt {2x^3 + 5x^2 + 4} }} \\
f'(x) = - \frac{{12x^2 + 20x}}{{\sqrt {\left( {2x^3 + 5x^2 + 4} \right)^3 } }} \\
\end{array}
\]
Kan ook...:-)
