22-7

\( \eqalign{\int\limits_0^1 {{{x^4 (x - 1)^4 } \over {x^2 + 1}}\,dx} = {{22} \over 7} - \pi } \)

Voetbalploegen

Vraag

---

Op hoeveel manieren kan men 22 jongens verdelen in 2 voetbalploegen?

---

Uitwerking

---

Kies 11 jongens uit 22 voor team A. Je hebt dan nog 11 jongens over voor team B. Daarna nog delen door 2 omdat team A en B onderling uitwisselbaar zijn.

\(\eqalign{\frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} {22} \\ {11} \\ \end{array}} \right)}}{2} = {\rm{352}}{\rm{.716}}}\)

Met de GR

HAVO wiskunde B - 2011 (pilot) 2e tijdvak

\(
\eqalign{
  & 19.  \cr
  & (x - 7)^2  + (y - 9)^2  = 100  \cr
  &  \downarrow y =  - {3 \over 4}x + 17{3 \over 4}  \cr
  & (x - 7)^2  + \left( { - {3 \over 4}x + 17{3 \over 4} - 9} \right)^2  = 100  \cr
  & (x - 7)^2  + \left( { - {3 \over 4}x + 8{3 \over 4}} \right)^2  = 100  \cr
  & (x - 7)^2  + {{\left( { - 3x + 35} \right)^2 } \over {4^2 }} = 100  \cr
  & 16(x - 7)^2  + \left( { - 3x + 35} \right)^2  = 1600  \cr
  & 16x^2  - 224x + 784 + 9x^2  - 210x + 1225 = 1600  \cr
  & 25x^2  - 434x + 409 = 0  \cr
  &  \downarrow GR  \cr
  & x = 1 \vee x = 16{9 \over {25}}  \cr
  &  \downarrow GR  \cr
  & \left\{ \matrix{
  x = 16{9 \over {25}} \hfill \cr
  y =  - {3 \over 4} \cdot 16{9 \over {25}} + 17{3 \over 4} = 5{{12} \over {25}} \hfill \cr}  \right.  \cr
  & Q\left( {16{9 \over {25}},5{{12} \over {25}}} \right) \cr}
\)

---

• HAVO wiskunde B - pilot - tweede tijdvak

---

Nagekomen bericht:-)

\( \begin{array}{l} y'' - y' - 2y = 0 \\ y( - 1) = 1 \\ y(1) = 0 \\ k^2 - k - 2 = 0 \\ (k - 2)(k + 1) = 0 \\ k = 2 \vee k = - 1 \\ y = C_1 \cdot e^{2x} + C_2 \cdot e^{ - x} \\ \left\{ \begin{array}{l} C_1 \cdot e^{ - 2} + C_2 \cdot e = 1 \\ C_1 \cdot e^2 + C_2 \cdot e^{ - 1} = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} C_1 = \frac{{e^2 }}{{1 - e^6 }} \\ C_2 = \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \\ \end{array} \right. \\ y = \frac{{e^2 }}{{1 - e^6 }} \cdot e^{2x} + \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{ - x} \\ y = - \frac{{e^2 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{2x} + \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{ - x} \\ y = \frac{{e^{5 - x} - e^{2x + 2} }}{{e^6 - 1}} \\ \end{array} \)

Quotientregel

\( \eqalign{ & \left[ {\frac{t} {n}} \right]' = \cr & \left[ {t \cdot n^{ - 1} } \right]' = \cr & t' \cdot n^{ - 1} + t \cdot - 1 \cdot n^{ - 2} \cdot n' = \cr & \frac{{t'}} {n} - \frac{{t \cdot n'}} {{n^2 }} = \cr & \frac{{t' \cdot n}} {{n^2 }} - \frac{{t \cdot n'}} {{n^2 }} = \cr & \frac{{t' \cdot n - t \cdot n'}} {{n^2 }} \cr} \)

De som

8.1  Bereken de som van de volgende rijen getallen.

1. Alle positieve gehele getallen van 1 tot en met 2003.
2. Alle positieve gehele getallen van drie cijfers.
3. Alle oneven getallen tussen 1000 en 2000.
4. Alle positieve gehele getallen van hoogstens drie cijfers die op het cijfer 3 eindigen.
5. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 2 of het cijfer 7.
6. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 6 of het cijfer 7.

Uit: basiswiskunde - Jan van de Craats en Rob Bosch

a. 2007006
b. 494550
c. 750000
d. 49800
e. 9899100
f. 9902700

De som van een rekenkundige rij gaat prima met:

• som=¹/₂·aantal termen·(eerste term+laatste term) 
• rekenkundige rijen

---

Opmerking

Bij f. kan je dan 's proberen zoiets te doen:

 \(
som = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot \left( {1006 + 9997} \right)
\)

...en dan maar hopen dat het klopt...😏

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

\(
\eqalign{
  & \int {{{\tan (\ln (\sqrt x ))} \over x}} \,dx =   \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)}  \cdot {1 \over x}\,dx =   \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)} \,d\left( {\ln (x)} \right) =   \cr
  &  \downarrow u = \ln (x)  \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}u} \right)} \,du =   \cr
  & \int {{{\sin \left( {{1 \over 2}u} \right)} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}} \,du =   \cr
  & \int {{{ - 2} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}}  \cdot  - {1 \over 2}\sin \left( {{1 \over 2}u} \right)\,du =   \cr
  & \int {{{ - 2} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}}  \cdot \,d\left( {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)} \right) =   \cr
  &  \downarrow v = \cos \left( {{1 \over 2}u} \right)  \cr
  & \int {{{ - 2} \over v}}  \cdot \,dv =   \cr
  &  - 2\ln (v) + C =   \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)} \right) + C =   \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)} \right) + C  \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {\ln (\sqrt x )} \right)} \right) + C \cr}
\)

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Hoe bereken je de eerste term van een meetkundige rij als je weet dat t₆+t₇=240 en t₉+t₁₀=1300?

Uitwerking 

\( \eqalign{ & \left\{ \matrix{ ar^5 + ar^6 = 240 \hfill \cr ar^8 + ar^9 = 1300 \hfill \cr} \right. \cr & {{ar^8 + ar^9 } \over {ar^5 + ar^6 }} = {{1300} \over {240}} \cr & {{ar^8 \left( {1 + r} \right)} \over {ar^5 \left( {1 + r} \right)}} = {{65} \over {12}} \cr & r^3 = {{65} \over {12}} \cr & r = {1 \over 6}\root 3 \of {1170} \cr & a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 = 240 \cr & a\left( {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 } \right) = 240 \cr & a = {{240} \over {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 }} \cr & a = {{240} \over {{{65\root 3 \of {50700} } \over {144}} + {{4225} \over {144}}}} \cr & a = {{34560} \over {65\root 3 \of {50700} + 4225}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cdot {{\root 3 \of {65} } \over {\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\root 3 \of {12} + 845\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\left( {\root 3 \of {65} + \root 3 \of {12} } \right)}} \cr} \)

Een assenvergelijking van het vlak V

• Wat is de vergelijking voor vlak V met de punten E, P en Q?

\( \eqalign{ & V:(8,0,0),(0,4,0)\,\,\,en\,\,\,(0,0, - 8) \cr & V:\frac{x} {8} + \frac{y} {4} + \frac{z} {{ - 8}} = 1 \cr & V:x + 2y - z = 8 \cr} \)

---

• Deelexamen 3 kubus

---