De som van de kwadraten

Op WisFaq kwam ik deze vraag tegen:

"Wat is de som van de kwadraten van de diagonalen van een ruit met zijde 4?"

De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor. Met a en b als lengten van de halve diagonalen dan geldt:

\(
a^2  + b^2 = 16
\)

Zodat de som van de kwadraten \(S\) gelijk is aan:

\(
\eqalign{
  & S = \left( {2a} \right)^2  + \left( {2b} \right)^2   \cr
  & S = 4a^2  + 4b^2   \cr
  & S = 4(a^2  + b^2 )  \cr
  & S = 4 \cdot 16  \cr
  & S = 64 \cr}
\)

...en dat is dan wel weer aardig...👅

Zie:

§ 12. Van elk parallelogram, elke ruit, is de som der kwadraten van de zijden gelijk aan de som der kwadraten van de diagonalen.
MEETKUNDIG SCHOOLBOEK.DOOR H. SLUIJTERS. 1848

• Zie ook de Parallellogramwet op Wikipedia

Je kan deze vraag ook als meerkeuzevraag tegen komen in de Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts -  Wiskunde: goniometrie en meetkunde. Dat is dan toch wel weer hoopgevend...👀

Zo'n jaar of zes geleden ging er bij het stellen van deze vraag kennelijk iets niet helemaal goed, maar uiteindelijk wordt zoiets dan toch opgelost.

• Som diagonaal ruit
  

Bewijzen van gelijkheden

A

Naar aanleiding van Bewijzen van gelijkheden:

Opdracht 1

\(
\eqalign{
  & \cos \alpha  \cdot \left( {\tan \alpha  + 2} \right) \cdot \left( {2\tan \alpha  + 1} \right) = \frac{2}
{{\cos \alpha }} + 5\sin \alpha   \cr  
  & \left( {\tan \alpha  + 2} \right) \cdot \left( {2\tan \alpha  + 1} \right) = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }} + 5\tan \alpha   \cr  
  & 2\tan ^2 \alpha  + 5\tan \alpha  + 2 = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }} + 5\tan \alpha   \cr  
  & 2\tan ^2 \alpha  + 2 = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr  
  & \frac{{\sin ^2 \alpha }}
{{\cos ^2 \alpha }} + 1 = \frac{1}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr  
  & \frac{{\sin ^2 \alpha }}
{{\cos ^2 \alpha }} + \frac{{\cos ^2 \alpha }}
{{\cos ^2 \alpha }} = \frac{1}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr  
  & \frac{{\sin ^2 \alpha  + \cos ^2 \alpha }}
{{\cos ^2 \alpha }} = \frac{1}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr  
  & \frac{1}
{{\cos ^2 \alpha }} = \frac{1}
{{\cos ^2 \alpha }} \cr}  
\) 

Opdracht 2

\(
\eqalign{
  & \frac{1}
{{1 - \sin \alpha }} + \frac{1}
{{1 + \sin \alpha }} = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr
  & \frac{1}
{{1 - \sin \alpha }} \cdot \frac{{1 + \sin \alpha }}
{{1 + \sin \alpha }} + \frac{1}
{{1 + \sin \alpha }} \cdot \frac{{1 - \sin \alpha }}
{{1 - \sin \alpha }} = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr
  & \frac{{1 + \sin \alpha  + 1 - \sin \alpha }}
{{1 - \sin ^2 \alpha }} = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr
  & \frac{2}
{{1 - \sin ^2 \alpha }} = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }}  \cr
  & \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }} = \frac{2}
{{\cos ^2 \alpha }} \cr}
\)

Bij wiskunde komt altijd alles wel weer ergens terug...:-)

Puzzeltje

Op Facebook kom je ze nog wel 's tegen, een soort van puzzeltjes. Veel nut heeft dat niet. 

\( \begin{array}{l} 1 + 4 = 5 \\ 2 + 5 = 12 \\ 3 + 6 = 21 \\ ... \\ 8 + 11 = ? \\ \end{array} \) 

 Maar ja... Ik zou denken dat het \(96\) moet zijn.👅

Hoe moeilijk kan 't zijn?

\( \eqalign{ & f(x) = x\root 3 \of {(x^3 + 3x)^2 } \cr & f(x) = x\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{2} {3}} \cr & f'(x) = 1 \cdot \left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{2} {3}} + x \cdot \frac{2} {3}\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{ - \frac{1} {3}} \cdot \left( {3x^2 + 3} \right) \cr & f'(x) = \left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{2} {3}} + \frac{{2x\left( {3x^2 + 3} \right)}} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} \cr & f'(x) = \left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{2} {3}} \cdot \frac{{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} + \frac{{2x\left( {3x^2 + 3} \right)}} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} \cr & f'(x) = \frac{{3(x{}^3 + 3x)}} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} + \frac{{2x\left( {3x^2 + 3} \right)}} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} \cr & f'(x) = \frac{{3x^3 + 9x + 6x^3 + 6x}} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} \cr & f'(x) = \frac{{9x^3 + 15x}} {{3\left( {x{}^3 + 3x} \right)^{\frac{1} {3}} }} \cr & f'(x) = \frac{{3x^3 + 5x}} {{\root 3 \of {x{}^3 + 3x} }} \cr} \)

Ook leuk

\( \eqalign{ & g(x) = \frac{{\sin (x)}} {{\frac{1} {2} - \cos (x)}} \cr & g'(x) = \frac{{\cos (x)\left( {\frac{1} {2} - \cos (x)} \right) - \sin (x) \cdot \sin (x)}} {{\left( {\frac{1} {2} - \cos (x)} \right)^2 }} \cr & g'(x) = \frac{{\frac{1} {2}\cos (x) - \cos ^2 (x) - \sin ^2 (x)}} {{\left( {\frac{1} {2} - \cos (x)} \right)^2 }} \cr & g'(x) = \frac{{\frac{1} {2}\cos (x) - 1}} {{\left( {\frac{1} {2} - \cos (x)} \right)^2 }} \cr} \) 

Of ook...

 \( \eqalign{ & g(x) = \frac{{2 \cdot \sin (x)}} {{1 - 2 \cdot \cos (x)}} \cr & g'(x) = \frac{{2 \cdot \cos (x)(1 - 2 \cdot \cos (x)) - 2 \cdot \sin (x) \cdot 2 \cdot \sin (x)}} {{\left( {1 - 2 \cdot \cos (x)} \right)^2 }} \cr & g'(x) = \frac{{2 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \cos ^2 (x) - 4 \cdot \sin ^2 (x)}} {{\left( {1 - 2 \cdot \cos (x)} \right)^2 }} \cr & g'(x) = \frac{{2 \cdot \cos (x) - 4}} {{\left( {1 - 2 \cdot \cos (x)} \right)^2 }} \cr} \)

Wat zal ik er van denken?:-)
Wat zal het programma er over denken?:-)
Ik zeg niks...:-)

Alsof het allemaal niks kost...:-)

 

Nog meer maffe grafieken

• Desmos

Afstandsformule

Ik van wel een beetje in herhaling met die afstandsformule voor een punt en een lijn:

• Oefening 37
• Oefening 38
• Oefening 40
• Oefening 41
• Oefening 42
• Oefening 43
• Oefening 45

Maar je moet wat...

Naschrift
Of had ik dat al gezegd?:-)

Oefening 39

Bepaal de vergelijking(en) van de rechte(n) evenwijdig met de rechte a:x-2y+1=0 en op een afstand 3 ervan. 

Uitwerking

Gebruik de afstandsformule van een punt en een lijn: 

\(
\eqalign{
  & A(a,b)  \cr
  & k:px + qy + r = 0  \cr
  & d(A,k) = \frac{{\left| {pa + qy + r} \right|}}
{{\sqrt {p^2  + q^2 } }} \cr}
\)

Geeft:

\(
\eqalign{
  & A(1,1)  \cr
  & k:x - 2y + r = 0  \cr
  & d(A,k) = \frac{{\left| {1 - 2 + r} \right|}}
{{\sqrt {1^2  + \left( { - 2} \right)^2 } }} = \frac{{\left| {r - 1} \right|}}
{{\sqrt 5 }} = 3 \cr}
\)

Kan ook...👅

• Zie ook Afstandsformule

Dat begint op werk te lijken...

Stel een passend functievoorschrift op (2)

 Uit HAVO wiskunde B hoofdstuk 14:

Dat is een mooi idee. De vraag wordt geleid en leidt uiteindelijk tot:

Dat is (op zich) prima, maar in het licht van de gekozen didactiek ligt de formule voor de sinus niet helemaal voor de hand. Als je voor c de waarde kiest waar bij de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat dan zou ik geneigd zijn het punt \((1\frac{3}{4}\pi,0)\) te nemen:

De vraag is nu: zou het programma dat goed vinden?👅

HAVO wiskunde B hoofdstuk 14 - Test jezetf 4