Raaklijnen

Gegeven is de functie $f(x) = (5-2x)e^x$. Er zijn twee lijnen door het punt $(3,0)$ die de grafiek van $f$ raken.

• Stel van elk van deze lijnen langs algebraïsche weg de formule op.

---

De 'algemene formule' voor de lijnen door het punt $(3,0)$ is gelijk aan $y=a·(x-3)$. Snijden met $f$ zou 'mogelijke raakpunten' moeten geven. De punten waarbij $a$ gelijk is aan de afgeleide in zo'n punt is dan een raaklijn.

Met de afgeleide kan je $a$ uit drukken in $x$. Substiueren geeft een vergelijking waarmee je raakpunten kunt bepalen. Hoe moeilijk kan dat zijn?

De afgeleide:

$\begin{array}{l}  f(x) = (5 - 2x)e^x  \\  f'(x) =  - 2e^x  + (5 - 2x)e^x  \\  f'(x) = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \\  \end{array}$

Dat geeft:

$a = \left( {3 - 2x} \right)e^x$

Invullen:

$\begin{array}{l}  (5 - 2x)e^x  = a(x - 3) \\  (5 - 2x)e^x  = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \cdot (x - 3) \\  5 - 2x = \left( {3 - 2x} \right)(x - 3) \\  5 - 2x =  - 2x^2  + 9x - 9 \\  2x^2  - 11x + 14 = 0 \\  2x^2  - 4x - 7x + 14 = 0 \\  2x(x - 2) - 7(x - 2) = 0 \\  (2x - 7)(x - 2) = 0 \\  x = 3\frac{1}{2} \vee x = 2 \\  \end{array}$

Bereken de bijbehorende waarden voor $a$:

$\begin{array}{l}  a_1  = \left( {3 - 2 \cdot 3\frac{1}{2}} \right)e^{3\frac{1}{2}}  =  - 4\sqrt {e^7 }  \\  y_1  =  - 4\sqrt {e^7 } \left( {x - 3} \right) \\  a_2  = \left( {3 - 2 \cdot 2} \right)e^2  =  - e^2  \\  y_2  =  - e^2 \left( {x - 3} \right) \\  \end{array}$

Opgelost!

---

• Formule opstellen