Weekpuzzels

• Weekpuzzels 2013
• Weekpuzzels 2014
• Weekpuzzels 2015

Een gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek heeft een omtrek van 25 en de lengten van de zijden zijn priemgetallen.

• Wat zijn dan mogelijke zijden?

bron

---

• Oplossing week 1

De delers van 496

De delers van 496:

1x496
2x248
4x124
8x62
16x31

De delers van 496 zijn: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 en 496.

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

Check:-)

• Wikipedia | Volmaakte getallen

Bijzondere methode?

Via @jamestanton op twitter kwam ik deze 'bijzondere methode' tegen om kwadratische vergelijkingen op te lossen:

\( \eqalign{ & x^2 - 6x = 11 \cr & x(x - 6) = 11 \cr & ... \cr & (k - 3)(k + 3) = 11 \cr & k^2 - 9 = 11 \cr & k^2 = 20 \cr & k = \pm \sqrt {20} = \pm 2\sqrt 5 \cr & x = 3 \pm 2\sqrt 5 \cr} \)

bron

Maar hoe bijzonder is dat?

\(
\eqalign{
  & x^2  - 6x = 11  \cr
  & (x - 3)^2  - 9 = 11  \cr
  & (x - 3)^2  = 20  \cr
  & x - 3 =  \pm \sqrt {20}   \cr
  & x = 3 \pm 2\sqrt 5  \cr}
\)

't Lijkt wel kwadraatafsplitsen!:-)

\(
\eqalign{
  & x^2  + 6x = 11  \cr
  & x(x + 6) = 11  \cr
  & (k - 3)(k + 3) = 11  \cr
  & k^2  - 9 = 11  \cr
  & k^2  = 20  \cr
  & k =  \pm 2\sqrt 5   \cr
  & x =  - 3 \pm 2\sqrt 5  \cr}
\)

Hm!? Waarom wordt het nu -3 en niet 3 zoals net? Omdat het een translatie is... Al met al wordt het er niet duidelijker van, dus ik houd het toch maar op kwadraatafsplitsen...:-)

• kwadraatafsplitsen

Week 20

Ik heb op mijn website een scriptje staan dat steeds 3 'willekeurig' gekozen plaatjes geeft.


Het script kiest daarbij steeds 3 plaatjes uit een verzameling van 24. Soms komen dezelfde plaatjes voor in het drietal.

• Hoe groot moet je verzameling zijn als je wilt dat de kans op drie verschillende plaatjes groter of gelijk aan 0,95 is?

---

• Oplossing week 20

Konijnen

Konijn met de feestdagen? 55% kans dat een Nederlands konijn uit deze 10 gemeenten komt.

• Hoeveel konijnen zijn er eigenlijk in Nederland?

Gevonden voorwerpen

\( \large \eqalign{ & 4\sqrt {4 - p} - \frac{1} {3}\left( {\sqrt {4 - p} } \right)^3 - p\sqrt {4 - p} = \frac{8} {3} \cr & Neem\,\,q = \sqrt {4 - p} \cr & Er\,\,geldt:p = 4 - q^2 \cr & 4q - \frac{1} {3}q^3 - \left( {4 - q^2 } \right) \cdot q = \frac{8} {3} \cr & 4q - \frac{1} {3}q^3 - 4q + q^3 = \frac{8} {3} \cr & \frac{2} {3}q^3 = \frac{8} {3} \cr & 2q^3 = 8 \cr & q^3 = 4 \cr & q = \root 3 \of 4 \cr & p = 4 - \left( {\root 3 \of 4 } \right)^2 = 4 - 2\root 3 \of 2 \cr} \)

Pseudo context?

The picture shows q wire suspending a bridge from two points. Assume that the origin is taken tot the left fixed point. The bridge is four meters in length.

1. Explain why the curve y=x(x-4) may be a suitable model for the suspension wire.
2. Use this model to find the coordinates of het middle point of the bridge (where the wire is at its lowest point).

---

@Twitter: Argh, yet another crappy pseudo-context: a 4(!) metre bridge with a catenary 'modelled' by a quadratic...

---

Dit is het origineel:



Die 4 meter is wel een beetje vreemd als je naar het plaatje kijkt.

---

We kijken maar 's naar de grafiek bij de formule:



Dit is een model voor de vorm van de kettinglijn:



Maar niet zo'n gek model:



Uiteindelijk kan het best?

• Zie een voorbeeld uit Getal en Ruimte.

Rekensom

• Antwoord

De brug

Bij een draagkabel van de hangbrug hoort de formule: \(\large h=0,01x^2+7\)
Hierin is \(\large x\) in meters en \(\large h\) de hoogte van de kabel boven het wateroppervlak in meters.


getal en ruimte | figuur 1.10

• Ter gelegenheid van de feestdagen is tussen de punten \(\large P\) en \(\large Q\) op de draagkabels een 45 meter lange horizontale draad met kerstverlichting gespannen. Bereken in hele meter op welke hoogte de lampjes boven de weg hangen.

---

• Opgave, uitwerking en antwoord

De beste wensen

De grafische rekenmachine

De worteltruuk

Op deze pagina kwam ik wel een aardig sommetje tegen. Je moet de dingen niet makkelijker maken dan ze zijn maar ook niet moeilijker. Kortom: lang leve de worteltruuk...

\(
\eqalign{
  & \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} =   \cr
  & \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} =   \cr
  & \frac{{2 + \sqrt 2 }}
{{\sqrt 2 }} =   \cr
  & \frac{2}
{{\sqrt 2 }} + 1  \cr
  & \sqrt 2  + 1 \cr}
\)

Ik vind het mooi:-)

Week 18 en 19

Week 18

Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC, met ingeschreven cirkel met straal r=6 en een rechthoekszijde van 16.

• Bereken de lengte van de schuine zijde.

---

• Oplossing week 18

Week 19

Gegeven is de balk ABCD.EFGH met AB=4, BC=4 en CG=6. Op AE ligt het punt P zodat AP=2. Op het midden van AB ligt Q.

• Construeer de doorsnede van het vlak PQG met de balk.

---

• Oplossing week 18

Ingeschreven cirkel rechthoekige driehoek

"Een bijzondere eigenschap van een geheel­tallige recht­hoekige driehoek is dat de straal van de ingeschreven cirkel ook geheel­tallig is."

• Straal ingeschreven cirkel

Van decimaal naar octaal

Van hexadecimaal naar binair

Ik kwam 'toevallig' bij Omrekenen van achttallig naar binair en omgekeerd terecht. Dat is wel grappig. Wat geldt voor achttallig naar binair geldt ook voor hexadecimaal naar binair.

Voorbeeld

• Wat is \(FD21_{16}\) in het decimale stelsel?

Uitwerking

Je kunt F, D, 2 en 1 schrijven als binaire getallen van 4 cijfers. Plak ze achter elkaar en klaar is Kees...:-)
F=1111, D=1101, 2=0010 en 1=0001, dus:
\(FD21_{16}=1111110100100001_2\)

• Nou geinig toch?:-)

Cijferpuzzel

Een cijferpuzzel:

ABC

ACB+

CBA

A kan 1, 2, 3 of 4 zijn. Omdat C+B eindigt op A en B+C eindigt op B moet B wel 1 meer zijn dan A. B en C zijn samen meer dan 10. Bovendien is C=2A+1.
 

• Als A=1 dan B=2 en C=3. Nee.
• Als A=2 dan B=3 en C=5. Nee.
• Als A=3 dan B=4 en C=7. Nee.
• Als A=4 dan B=5 en C=9. Ja.

 

Dat is dan meteen ook de enige oplossing:

459

495+

954

Sphenische getallen

Sphenic numbers: products of 3 distinct primes.

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438,...

bron

...en die hebben allemaal precies 8 delers...:-)

Voorbeeld

2·3·5=30

30

---

1·30

2·15

3·10

5·6

De delers van 30 zijn 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 en 30

De inhoud van een afgeknotte piramide

Je ziet hier een voorbeeld van een afgeknotte piramide:



Het is een piramide met een vierkant grondvlak. Verder is bekend: BC=24, FG=8 en de hoogte is 16.

• Wat is de inhoud van deze afgeknotte piramide?

UITWERKING

Kijk allereerst eens naar de 'hele' piramide (voordat ie werd afgeknot):



Je kunt zien dat de grote piramide drie keer zo groot is als de kleine piramide. In dat geval moet gelden:

\(3h=h+16\), dus \(h=8\)

...en dan ben je er al bijna... De inhoud van de 'grote piramide' is 27× zo groot als de inhoud van de 'kleine piramide'.

\(\eqalign{Inhoud_{afgeknot}=\frac{26}{27}\cdot\frac{1}{3}\cdot 24^{2}\cdot24=4437\frac{1}{3}}\)

Vergelijking opgelost...

\( \eqalign{ & 3^{1 - x} + 3^x \cdot 3^2 = 6\sqrt 3 \cr & \frac{3} {{3^x }} + 9 \cdot 3^x = 6\sqrt 3 \cr & 3 + 9 \cdot 3^{2x} = 6\sqrt 3 \cdot 3^x \cr & 9 \cdot 3^{2x} - 6\sqrt 3 \cdot 3^x + 3 = 0 \cr & y = 3^x \cr & 9y^2 - 6\sqrt 3 \cdot y + 3 = 0 \cr & 3y^2 - 2\sqrt 3 \cdot y + 1 = 0 \cr & \left( {\sqrt 3 \cdot y - 1} \right)^2 = 0 \cr & \sqrt 3 \cdot y = 1 \cr & y = \frac{1} {{\sqrt 3 }} = \frac{1} {3}\sqrt 3 \cr & 3^x = 3^{ - \frac{1} {2}} \cr & x = - \frac{1} {2} \cr} \)