Probleemaanpak

Vandaag ben ik 4 HAVO wiskunde B begonnen met probleemaanpak. De jaarlijkse praktische opdracht omtrent de aanpak van wiskundige problemen.

PROBLEEMAANPAK

• Startbijeenkomst
• Wiskundige problemen om op te lossen
• Toets in tweetallen

Ik heb uitleg gegeven over de ABC-methode. We hebben samen de vlaggenmast gedaan. Daarna zijn de leerlingen zelf aan de slag gegaan met het vouwblaadje en de driedeling van de hoek.

---

De vlaggenmast
Een vlaggenmast is stevig in de grond bevestigd. Hij is 10 meter hoog en door een harde rukwind afgebroken. Het afgebroken stuk zit nog wel vast aan het stuk dat in de grond zit. De top van de mast is op 3 meter van de voet op de grond terecht gekomen.

• Op welke hoogte (vanaf de grond) is de mast afgebroken?

---

Vouwblaadje

Hierboven zie je een vierkant blaadje ABCD van 8 bij 8 cm. Eén hoekpunt van het blaadje is op zo'n manier over het blaadje heen gevouwen dat D precies in het midden van AB ligt.

• Bereken EXACT de lengte van BQ en DQ.

---

De driedeling van de hoek



Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal r.  Op de cirkel heb je de punten A en B. De lijn PB snijdt de cirkel in het punt Q en wel zo dat PQ=r.

• Toon aan dat \(\angle\)AMB drie keer zo groot is als \(\angle\)APB

---

Bij de uitwerkingen heb ik geprobeerd om expliciet te vermelden welke 'algemene principes' hierbij handig zijn om te onthouden en te gebruiken:

1. Als je te maken hebt met een rechthoekige driehoek dan weet je dat de stelling van Pythagoras geldt. Daarmee kan je (ook met variabelen) relaties leggen tussen rechtshoekszijden en de schuine zijde.
2. Als je een lengte van een lijnstuk niet kent, maar dat wel graag zou willen weten, probeer dan 's voor de lengte x te nemen en dan een andere zijde uit te drukken in x. Voer één of meer variabelen in.
3. Als je 'ergens' twee driehoeken ziet van dezelfde vorm probeer dan eens iets te doen met gelijkvormigheid.
4. Als je te maken hebt met cirkels is het altijd handig om even goed te kijken of je iets moet doen met het middelpunt van de cirkel. Je moet ook altijd even kijken naar de straal. Waar kan je die allemaal terug vinden?
5. Let op bijzonder figuren zoals gelijkzijdige, gelijkbenige of rechthoekige driehoeken. Wat weet je allemaal van zo'n bijzonder figuur? Idem voor cirkels en vierhoeken.
6. Als je een algemeen geval niet direct op kan lossen probeer het dan ' s met een concreet voorbeeld. Ik had even 20 genomen om te kijken of het dan wel lukt. Dat lukt. Maar als je iets kunt uitrekenen met getallen dan kan dat ook met een variabele. Maak dezelfde stappen en dan lukt dat...:-)

---

Alles bij elkaar een nuttige les, denk ik. Vrijdag deel 2.

• Het voorbeeld van de vlaggenmast
• Vouwblaadje
• Driedeling van de hoek

Een wortelvergelijking oplossen

Op WisFaq kwam ik deze oplossing tegen:

\(\eqalign{
  & \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) = 1  \cr
  & x - 4\sqrt x  + 3 = 1  \cr
  &  - 4\sqrt x  =  - x - 2  \cr
  & 4\sqrt x  = x + 2  \cr
  & 16x = {(x + 2)^2}  \cr
  & 16x = x{}^2 + 4x + 4  \cr
  & {x^2} - 12x + 4 = 0  \cr
  & {(x - 6)^2} - 32 = 0  \cr
  & x = 6 \pm \sqrt {32}   \cr
  & x = 6 - 4\sqrt 2  \vee x = 6 + 4\sqrt 2  \cr}\)

Daar is verder niet veel mis mee. Maar wat dacht je hier van?

\(\eqalign{
  & \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) = 1  \cr
  & Neem\,\,y = \sqrt x   \cr
  & \left( {y - 1} \right)(y - 3) = 1  \cr
  & {y^2} - 4y + 3 = 1  \cr
  & {y^2} - 4x + 2 = 0  \cr
  & {(y - 2)^2} - 2 = 0  \cr
  & y = 2 - \sqrt 2  \vee x = 2 + \sqrt 2   \cr
  & x = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} \vee x = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^2}  \cr
  & x = 4 - 4\sqrt 2  + 2 \vee x = 4 + 4\sqrt 2  + 2  \cr
  & x = 6 - 4\sqrt 2  \vee x = 6 + 4\sqrt 2  \cr}\)

Dat kan ook...:-)

Week 11

Kaatje is de pincode van haar GSM vergeten. Ze weet enkel nog dat er geen 5 in komt, maar wel minstens één 4.

• Hoeveel kans heeft Kaatje om haar GSM te deblokkeren als ze nog één poging heeft?

---

• Oplossing week 11

Palindroomgetallen met een even aantal cijfers

Palindroomgetallen zijn getallen die hetzelfde zijn als je ze van voor naar achter of van achter naar voor leest. Bijvoorbeeld 1441 of 12345654321. Nu geldt dat alle palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar zijn door 11. Dus die 1441 is deelbaar door 11.

Op Palindroomgetal heb ik een bewijs staan voor palindroomgetallen van 4 cijfers. De rest van het bewijs moet je dan zelf in elkaar knutselen. Het is een IKEA-bewijs... hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Met 6 cijfers
Nemen we zes cijfers dan krijg je 'abccba'

100.000a+10.000b+1000c+100c+10b+a
100.001a+10.010b+1100c

...en ja hoor... 100.001, 10.010 en 1100 zijn weer allemaal deelbaar door 11.

Met 8 cijfers
Nemen we acht cijfers dan krijg je 'abcddcba'

10.000.000a+1.000.000b+100.000c+10.000d+1000d+100c+10b+a
10.000.001a+1.000.010b+100.100c+11.000d

..en wat denk je?:-)

Hoe zat dat nu ook alweer met die deelbaarheid door 11?

Deelbaarheid door 11
Zet voor alle cijfers om en om een plus en een min. Tel daarna alle cijfers op. Als de uitkomst deelbaar is door 11 dan is het hele getal deelbaar door 11.

• Deelbaarheid door 11

Zolang er tussen de twee enen van die getallen hierboven een even aantal nullen staan (het getal bestond uit een even aantal cijfers) dan gaat het goed...

Kortom:  alle palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar zijn door 11.

Mathematics

"Mathematics is the language of the universe and it’s one we can all learn to speak."Marcus du Sautoy

Mathematics

“Maths is not about learning times tables, it’s about spotting patterns in everything we experience and using them to plan and invent…”
Marcus du Sautoy

Het schooljaar 2015-2016

In het schooljaar 2015-2016 allemaal nieuwe boeken. Dat zijn er dan 12. Ik heb ter voorbereiding de website aangepast aan de nieuwe inhouden. Hopelijk kan je daar dan weer een tijdje mee doen. Maar dat zal wel niet... dat ligt te veel voor de hand.

Ik vind het leuk...

Als je \(2{x^2} + x - 6 = 0\) wilt oplossen dan kan je dat oplossen met ontbinden in factoren. Dat betekent dat je dan twee getallen zoekt die vermenigvuldigd gelijk aan \(-12\) zijn en opgeteld \(1\). Dat zijn dan de getallen \(4\) en \(-3\). Je kunt dan twee kanten op. Dit is de eerste kant:

\(\eqalign{
  & 2{x^2} + x - 6 = 0  \cr
  & 2{x^2} + 4x - 3x - 6 = 0  \cr
  & 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0  \cr
  & (2x - 3)(x + 2) = 0  \cr
  & 2x - 3 = 0 \vee x + 2 = 0  \cr
  & 2x = 3 \vee x =  - 2  \cr
  & x = 1\frac{1}{2} \vee x =  - 2 \cr}\)

Kan allemaal... maar het kan ook zo:

\(\eqalign{
  & 2{x^2} + x - 6 = 0  \cr
  & 2{x^2} - 3x + 4x - 6 = 0  \cr
  & x(2x - 3) + 2(2x - 3) = 0  \cr
  & (x + 2)(2x - 3) = 0  \cr
  & Enz. \cr}\)

Maar dat is dan gelukkig hetzelfde. Ik vind het leuk, maar ja...:-)

• Zie ook Vergelijkingen met beiderzijds kwadraten oplossen

Standbeeld

"Hoe ver vóór een standbeeld moet je staan om het beeld zo goed mogelijk te zien?"
Ook mooi...:-)
bron

Week 9

• Oplossing week 9