woensdag 14 maart 2018
Raaklijnen
Gegeven is de functie \(f(x) = (5-2x)e^x\). Er zijn twee lijnen door het punt \((3,0)\) die de grafiek van \(f\) raken.
De 'algemene formule' voor de lijnen door het punt \((3,0)\) is gelijk aan \(y=a·(x-3)\). Snijden met \(f\) zou 'mogelijke raakpunten' moeten geven. De punten waarbij \(a\) gelijk is aan de afgeleide in zo'n punt is dan een raaklijn.
Met de afgeleide kan je \(a\) uit drukken in \(x\). Substiueren geeft een vergelijking waarmee je raakpunten kunt bepalen. Hoe moeilijk kan dat zijn?
De afgeleide:
\(
\begin{array}{l}
f(x) = (5 - 2x)e^x \\
f'(x) = - 2e^x + (5 - 2x)e^x \\
f'(x) = \left( {3 - 2x} \right)e^x \\
\end{array}
\)
Dat geeft:
\(
a = \left( {3 - 2x} \right)e^x
\)
Invullen:
\(
\begin{array}{l}
(5 - 2x)e^x = a(x - 3) \\
(5 - 2x)e^x = \left( {3 - 2x} \right)e^x \cdot (x - 3) \\
5 - 2x = \left( {3 - 2x} \right)(x - 3) \\
5 - 2x = - 2x^2 + 9x - 9 \\
2x^2 - 11x + 14 = 0 \\
2x^2 - 4x - 7x + 14 = 0 \\
2x(x - 2) - 7(x - 2) = 0 \\
(2x - 7)(x - 2) = 0 \\
x = 3\frac{1}{2} \vee x = 2 \\
\end{array}
\)
Bereken de bijbehorende waarden voor \(a\):
\(
\begin{array}{l}
a_1 = \left( {3 - 2 \cdot 3\frac{1}{2}} \right)e^{3\frac{1}{2}} = - 4\sqrt {e^7 } \\
y_1 = - 4\sqrt {e^7 } \left( {x - 3} \right) \\
a_2 = \left( {3 - 2 \cdot 2} \right)e^2 = - e^2 \\
y_2 = - e^2 \left( {x - 3} \right) \\
\end{array}
\)
Opgelost!
- Stel van elk van deze lijnen langs algebraïsche weg de formule op.
De 'algemene formule' voor de lijnen door het punt \((3,0)\) is gelijk aan \(y=a·(x-3)\). Snijden met \(f\) zou 'mogelijke raakpunten' moeten geven. De punten waarbij \(a\) gelijk is aan de afgeleide in zo'n punt is dan een raaklijn.
Met de afgeleide kan je \(a\) uit drukken in \(x\). Substiueren geeft een vergelijking waarmee je raakpunten kunt bepalen. Hoe moeilijk kan dat zijn?
De afgeleide:
\(
\begin{array}{l}
f(x) = (5 - 2x)e^x \\
f'(x) = - 2e^x + (5 - 2x)e^x \\
f'(x) = \left( {3 - 2x} \right)e^x \\
\end{array}
\)
Dat geeft:
\(
a = \left( {3 - 2x} \right)e^x
\)
Invullen:
\(
\begin{array}{l}
(5 - 2x)e^x = a(x - 3) \\
(5 - 2x)e^x = \left( {3 - 2x} \right)e^x \cdot (x - 3) \\
5 - 2x = \left( {3 - 2x} \right)(x - 3) \\
5 - 2x = - 2x^2 + 9x - 9 \\
2x^2 - 11x + 14 = 0 \\
2x^2 - 4x - 7x + 14 = 0 \\
2x(x - 2) - 7(x - 2) = 0 \\
(2x - 7)(x - 2) = 0 \\
x = 3\frac{1}{2} \vee x = 2 \\
\end{array}
\)
Bereken de bijbehorende waarden voor \(a\):
\(
\begin{array}{l}
a_1 = \left( {3 - 2 \cdot 3\frac{1}{2}} \right)e^{3\frac{1}{2}} = - 4\sqrt {e^7 } \\
y_1 = - 4\sqrt {e^7 } \left( {x - 3} \right) \\
a_2 = \left( {3 - 2 \cdot 2} \right)e^2 = - e^2 \\
y_2 = - e^2 \left( {x - 3} \right) \\
\end{array}
\)
Opgelost!
dinsdag 27 februari 2018
De wijzers van de klok
In het boek voor de 1e klas komen opgaven voor waarbij de leerlingen de
hoek moeten berekenen tussen de wijzers van de klok op een bepaalde
tijd.
't Is een grappig probleem. De grote wijzer gaat natuurlijk sneller dan de kleine wijzer, maar om 13:09 is de kleine wijzer ook een stukje gedraaid.
In WisFaq heb ik op graden van de klok er al een vraag over beantwoord. Sommige mensen vragen zich misschien wel af wat daar nu precies het nut van is.
Wat is het nut?
Ik denk dat de praktische toepasbaarheid van deze vaardigheid niet erg groot is. Het draagt waarschijnlijk niet op de korte termijn bij aan versterking van de economie....:-)
Maar in vakdidactische zin lijkt het me wel een nuttige activiteit. Ik gebruik het 'wijzershoekenprobleem' misschien nog wel een keer in HAVO 4 wiskunde B. Het is (denk ik) voor de eerste klas een leuke manier om naar hoeken te kijken en naar periodieke verschijnselen.
Daarnaast vind ik het mooi voorbeeld van een 'schier onoplosbaar probleem' dat met eenvoudige wiskundige middelen goed op te lossen is. Dat is toch ook wat waard...
Wat is een handige aanpak?
voorbeeld
uitwerking
Om 10:08 maakt de grote wijzer een hoek van 48° en de kleine wijzer een hoek van 304° ten opzichte van 12 uur.
Bedenk daarbij:
Waar gaat het om?
Je zou denken dat, als leerlingen nu de hoek tussen de wijzers kunnen uitrekenen, we iets hebben bereikt. Maar nee hoor, daar gaat het (natuurlijk) niet om. Het is wel leuk, je kunt toetsen of ze dat inderdaad kunnen maar...
Of zou de bedoeling zijn om iets te anders te leren? Problemen aan te pakken bijvoorbeeld of een voorbeeld hebben gezien van een wiskundige houding? Denkacitiviteiten? In al die gevallen zou je ook anders moeten gaan toetsen. Je zou een ander probleem kunnen stellen die een andere oplossing vraag, maar waarbij je wel de kennis en vaardigheden nodig hebt die je bij de 'wijzers van de klok' hebt opgedaan of geoefend...
Als de leerlingen dat kunnen dan hebben ze iets geleerd...
Opgaven
- Bereken de hoek tussen de grote en kleine wijzer om 9 minuten over 1.
't Is een grappig probleem. De grote wijzer gaat natuurlijk sneller dan de kleine wijzer, maar om 13:09 is de kleine wijzer ook een stukje gedraaid.
In WisFaq heb ik op graden van de klok er al een vraag over beantwoord. Sommige mensen vragen zich misschien wel af wat daar nu precies het nut van is.
Wat is het nut?
Ik denk dat de praktische toepasbaarheid van deze vaardigheid niet erg groot is. Het draagt waarschijnlijk niet op de korte termijn bij aan versterking van de economie....:-)
Maar in vakdidactische zin lijkt het me wel een nuttige activiteit. Ik gebruik het 'wijzershoekenprobleem' misschien nog wel een keer in HAVO 4 wiskunde B. Het is (denk ik) voor de eerste klas een leuke manier om naar hoeken te kijken en naar periodieke verschijnselen.
Daarnaast vind ik het mooi voorbeeld van een 'schier onoplosbaar probleem' dat met eenvoudige wiskundige middelen goed op te lossen is. Dat is toch ook wat waard...
Wat is een handige aanpak?
voorbeeld
- Hoe bereken je de graden van een klok om 10:08?
uitwerking
Om 10:08 maakt de grote wijzer een hoek van 48° en de kleine wijzer een hoek van 304° ten opzichte van 12 uur.
Bedenk daarbij:
- de grote wijzer draait 6° per minuut
-
de kleine wijzer draait \(\frac{1}{2}\)
° per minuut.
Waar gaat het om?
Je zou denken dat, als leerlingen nu de hoek tussen de wijzers kunnen uitrekenen, we iets hebben bereikt. Maar nee hoor, daar gaat het (natuurlijk) niet om. Het is wel leuk, je kunt toetsen of ze dat inderdaad kunnen maar...
Of zou de bedoeling zijn om iets te anders te leren? Problemen aan te pakken bijvoorbeeld of een voorbeeld hebben gezien van een wiskundige houding? Denkacitiviteiten? In al die gevallen zou je ook anders moeten gaan toetsen. Je zou een ander probleem kunnen stellen die een andere oplossing vraag, maar waarbij je wel de kennis en vaardigheden nodig hebt die je bij de 'wijzers van de klok' hebt opgedaan of geoefend...
Als de leerlingen dat kunnen dan hebben ze iets geleerd...
Opgaven
maandag 26 februari 2018
Drie punten op een lijn
Gegeven: zijn drie punten op een lijn A( 19, -8), B(13, 1) en C(9, c).
\(
\eqalign{
& a = \frac{{1 - - 8}}
{{13 - 19}} = \frac{9}
{{ - 6}} = - 1\frac{1}
{2} \cr
& y = - 1\frac{1}
{2}\left( {x - 9} \right) + c \cr
& 1 = - 1\frac{1}
{2}\left( {13 - 9} \right) + c \cr
& c = 7 \cr}
\)
- Bereken c.
- Hoe zou je dat (handig) berekenen?
\(
\eqalign{
& a = \frac{{1 - - 8}}
{{13 - 19}} = \frac{9}
{{ - 6}} = - 1\frac{1}
{2} \cr
& y = - 1\frac{1}
{2}\left( {x - 9} \right) + c \cr
& 1 = - 1\frac{1}
{2}\left( {13 - 9} \right) + c \cr
& c = 7 \cr}
\)
zaterdag 24 februari 2018
Ook leuk
\(
\eqalign{
& \left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2 \cr
& 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \cdot \sqrt {3 - \sqrt 5 } + 3 - \sqrt 5 \cr
& 6 + 2\sqrt {3 + \sqrt 5 } \cdot \sqrt {3 - \sqrt 5 } \cr
& 6 + 2\sqrt {9 - 5} \cr
& 6 + 2\sqrt 4 \cr
& 10 \cr}
\)
dinsdag 20 februari 2018
zondag 18 februari 2018
Week 10
Op een fruitschaal liggen appels, peren en kiwi's in de verhouding 8:5:4. Er zijn 15 appels meer dan peren. Hoeveel kiwi's zijn er?
Week 9
ABCDE is een regelmatige vijfhoek met middelpunt M waarbij |AP| = \(\frac{1}{4}\)|AB| en |BN| = \(\frac{1}{3}\)|BC|.
- Wat is de verhouding van de gearceerde oppervlakte tot de totale oppervlakte van de vijfhoek?
Abonneren op:
Posts (Atom)