woensdag 7 september 2016
zaterdag 3 september 2016
woensdag 24 augustus 2016
Week 34
- Op welke hoogte raken de ladders elkaar?
Er zijn nog veel meer vergelijkbare en vragen die net weer heel anders gaan over ladders in een steeg.
donderdag 18 augustus 2016
Het tankstation
Er zijn verschillende varianten van optimaliseringsproblemen die met differentiëren kunnen worden opgelost. De kunst is dan om een formule te bedenken waarmee je (afhankelijk van een variabele) de totale kosten kan berekenen. Zoek het minimum.
Dit is daar een mooi voorbeeld van:
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
Dit is daar een mooi voorbeeld van:
- Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
dinsdag 16 augustus 2016
Product-som-methode
Daar was ie weer...:-)
\(\eqalign{
& 4{x^2} - 4x - 3 = 0 \cr
& a \cdot b = - 12 \cr
& a + b = - 4 \cr
& a = - 6\,\,en\,\,b = 2 \cr
& 4{x^2} - 6x + 2x - 3 = 0 \cr
& 2x(2x - 3) + 2x - 3 = 0 \cr
& (2x + 1)(2x - 3) = 0 \cr
& 2x + 1 = 0 \vee 2x - 3 = 0 \cr
& 2x = - 1 \vee 2x = 3 \cr
& x = - \frac{1}{2} \vee x = 1\frac{1}{2} \cr}\)
...ik ken nog meer kunstjes, maar dit is wel mijn favoriet...:-)
\(\eqalign{
& 4{x^2} - 4x - 3 = 0 \cr
& a \cdot b = - 12 \cr
& a + b = - 4 \cr
& a = - 6\,\,en\,\,b = 2 \cr
& 4{x^2} - 6x + 2x - 3 = 0 \cr
& 2x(2x - 3) + 2x - 3 = 0 \cr
& (2x + 1)(2x - 3) = 0 \cr
& 2x + 1 = 0 \vee 2x - 3 = 0 \cr
& 2x = - 1 \vee 2x = 3 \cr
& x = - \frac{1}{2} \vee x = 1\frac{1}{2} \cr}\)
...ik ken nog meer kunstjes, maar dit is wel mijn favoriet...:-)
zaterdag 16 juli 2016
Dat is ook toevallig... of misschien ook wel niet...
Ik las ergens dat \(\sqrt {2\frac{2}{3}}\) hetzelfde is als \(2\sqrt {\frac{2}{3}}\). De vraag is dan "is dat altijd zo?" en "zo nee, kan je nog meer voorbeelden bedenken?" of nog beter "kun je alle mogelijkheden geven?".
Je moet dan nog wel even bepalen wat nu precies de bijzonderheid is van het voorbeeld. Kortom (zoals altijd) is er (mogelijkerwijs) van alles te ontdekken.
Maar helaas... 't is vakantie... dus dan houdt alles op:-)
Naschrift
Nou vooruit... hier is er nog één....\(\sqrt {3\frac{3}{8}} = 3\sqrt {\frac{3}{8}}\)
Nog meer naschrift
\(\eqalign{
& \sqrt {2\frac{2}{3}} \to \frac{2}{3}\sqrt 6 \cr
& 2\sqrt {\frac{2}{3}} \to \frac{2}{3}\sqrt 6 \cr
& \sqrt {3\frac{3}{8}} \to \frac{3}{4}\sqrt 6 \cr
& 3\sqrt {\frac{3}{8}} \to \frac{3}{4}\sqrt 6 \cr}\)
Maar nu stop ik er mee hoor...:-)
Maak het verhaal zelf af en kleur de plaatjes...
Je moet dan nog wel even bepalen wat nu precies de bijzonderheid is van het voorbeeld. Kortom (zoals altijd) is er (mogelijkerwijs) van alles te ontdekken.
Maar helaas... 't is vakantie... dus dan houdt alles op:-)
Naschrift
Nou vooruit... hier is er nog één....\(\sqrt {3\frac{3}{8}} = 3\sqrt {\frac{3}{8}}\)
Nog meer naschrift
\(\eqalign{
& \sqrt {2\frac{2}{3}} \to \frac{2}{3}\sqrt 6 \cr
& 2\sqrt {\frac{2}{3}} \to \frac{2}{3}\sqrt 6 \cr
& \sqrt {3\frac{3}{8}} \to \frac{3}{4}\sqrt 6 \cr
& 3\sqrt {\frac{3}{8}} \to \frac{3}{4}\sqrt 6 \cr}\)
Maar nu stop ik er mee hoor...:-)
Maak het verhaal zelf af en kleur de plaatjes...
woensdag 13 juli 2016
Week 28
Gegeven is het trapezium ABCD met:
- AB=16, BC=9, DC=7 en AD=10.
-
AB //
DC
zaterdag 9 juli 2016
Eindejaarsevaluatie algemeen:-)
Hierbij verklaar ik het schooljaar 2015-2016 voor beëindigd. Het was, zoals altijd, een bewogen jaar.:-)
Ik heb les gegeven, iets gedaan met doodlopende leerlijnen, een lach, een traan, getwijfeld of ik het op zou geven, maar toch maar doorgegaan. Het plan is om me verder te ontwikkelen, het moet nu maar een keer van komen. Zoek de olifant!
...en dan... ga ik dat maar doen volgend jaar. Les geven, studeren, aansturen, overleggen, DWO opnieuw starten... PO voor wiskunde A verbeteren... maar nu eerst vakantie vieren.
Ik heb les gegeven, iets gedaan met doodlopende leerlijnen, een lach, een traan, getwijfeld of ik het op zou geven, maar toch maar doorgegaan. Het plan is om me verder te ontwikkelen, het moet nu maar een keer van komen. Zoek de olifant!
...en dan... ga ik dat maar doen volgend jaar. Les geven, studeren, aansturen, overleggen, DWO opnieuw starten... PO voor wiskunde A verbeteren... maar nu eerst vakantie vieren.
woensdag 6 juli 2016
't Blijft leuk:-)
\(\eqalign{
& 4{x^2} - 24x - 85 \cr
& 4\cdot - 85 = - 340 \cr
& - 34 \cdot 10 = - 340 \cr
& - 34 + 10 = - 24 \cr
& 4{x^2} - 34x + 10x - 85 = \cr
& 2x(2x - 17) + 5(2x - 17) = \cr
& (2x + 5)(2x - 17) \cr} \)
Abonneren op:
Posts (Atom)