Dit is daar een mooi voorbeeld van:
- Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
