De grafische rekenmachine

De worteltruuk

Op deze pagina kwam ik wel een aardig sommetje tegen. Je moet de dingen niet makkelijker maken dan ze zijn maar ook niet moeilijker. Kortom: lang leve de worteltruuk...

\(
\eqalign{
  & \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} =   \cr
  & \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }} \cdot \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }} =   \cr
  & \frac{{2 + \sqrt 2 }}
{{\sqrt 2 }} =   \cr
  & \frac{2}
{{\sqrt 2 }} + 1  \cr
  & \sqrt 2  + 1 \cr}
\)

Ik vind het mooi:-)

Week 18 en 19

Week 18

Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC, met ingeschreven cirkel met straal r=6 en een rechthoekszijde van 16.

• Bereken de lengte van de schuine zijde.

---

• Oplossing week 18

Week 19

Gegeven is de balk ABCD.EFGH met AB=4, BC=4 en CG=6. Op AE ligt het punt P zodat AP=2. Op het midden van AB ligt Q.

• Construeer de doorsnede van het vlak PQG met de balk.

---

• Oplossing week 18

Ingeschreven cirkel rechthoekige driehoek

"Een bijzondere eigenschap van een geheel­tallige recht­hoekige driehoek is dat de straal van de ingeschreven cirkel ook geheel­tallig is."

• Straal ingeschreven cirkel

Van decimaal naar octaal

Van hexadecimaal naar binair

Ik kwam 'toevallig' bij Omrekenen van achttallig naar binair en omgekeerd terecht. Dat is wel grappig. Wat geldt voor achttallig naar binair geldt ook voor hexadecimaal naar binair.

Voorbeeld

• Wat is \(FD21_{16}\) in het decimale stelsel?

Uitwerking

Je kunt F, D, 2 en 1 schrijven als binaire getallen van 4 cijfers. Plak ze achter elkaar en klaar is Kees...:-)
F=1111, D=1101, 2=0010 en 1=0001, dus:
\(FD21_{16}=1111110100100001_2\)

• Nou geinig toch?:-)

Cijferpuzzel

Een cijferpuzzel:

ABC

ACB+

CBA

A kan 1, 2, 3 of 4 zijn. Omdat C+B eindigt op A en B+C eindigt op B moet B wel 1 meer zijn dan A. B en C zijn samen meer dan 10. Bovendien is C=2A+1.
 

• Als A=1 dan B=2 en C=3. Nee.
• Als A=2 dan B=3 en C=5. Nee.
• Als A=3 dan B=4 en C=7. Nee.
• Als A=4 dan B=5 en C=9. Ja.

 

Dat is dan meteen ook de enige oplossing:

459

495+

954

Sphenische getallen

Sphenic numbers: products of 3 distinct primes.

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, 230, 231, 238, 246, 255, 258, 266, 273, 282, 285, 286, 290, 310, 318, 322, 345, 354, 357, 366, 370, 374, 385, 399, 402, 406, 410, 418, 426, 429, 430, 434, 435, 438,...

bron

...en die hebben allemaal precies 8 delers...:-)

Voorbeeld

2·3·5=30

30

---

1·30

2·15

3·10

5·6

De delers van 30 zijn 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 en 30

De inhoud van een afgeknotte piramide

Je ziet hier een voorbeeld van een afgeknotte piramide:



Het is een piramide met een vierkant grondvlak. Verder is bekend: BC=24, FG=8 en de hoogte is 16.

• Wat is de inhoud van deze afgeknotte piramide?

UITWERKING

Kijk allereerst eens naar de 'hele' piramide (voordat ie werd afgeknot):



Je kunt zien dat de grote piramide drie keer zo groot is als de kleine piramide. In dat geval moet gelden:

\(3h=h+16\), dus \(h=8\)

...en dan ben je er al bijna... De inhoud van de 'grote piramide' is 27× zo groot als de inhoud van de 'kleine piramide'.

\(\eqalign{Inhoud_{afgeknot}=\frac{26}{27}\cdot\frac{1}{3}\cdot 24^{2}\cdot24=4437\frac{1}{3}}\)

Vergelijking opgelost...

\( \eqalign{ & 3^{1 - x} + 3^x \cdot 3^2 = 6\sqrt 3 \cr & \frac{3} {{3^x }} + 9 \cdot 3^x = 6\sqrt 3 \cr & 3 + 9 \cdot 3^{2x} = 6\sqrt 3 \cdot 3^x \cr & 9 \cdot 3^{2x} - 6\sqrt 3 \cdot 3^x + 3 = 0 \cr & y = 3^x \cr & 9y^2 - 6\sqrt 3 \cdot y + 3 = 0 \cr & 3y^2 - 2\sqrt 3 \cdot y + 1 = 0 \cr & \left( {\sqrt 3 \cdot y - 1} \right)^2 = 0 \cr & \sqrt 3 \cdot y = 1 \cr & y = \frac{1} {{\sqrt 3 }} = \frac{1} {3}\sqrt 3 \cr & 3^x = 3^{ - \frac{1} {2}} \cr & x = - \frac{1} {2} \cr} \)