bron
maandag 10 juni 2013
zondag 9 juni 2013
Het handenschudprobleem
Het ging om de volgende vraag:
"Stel je voor dat er 20 mensen in een ruimte zijn en dat iedereen elkaar de hand schud. Hoeveel keer moeten er dan handen worden geschud?"
Een mogelijk oplossing is:
"Als er 20 mensen in een ruimte zijn dan moet iedereen 19 andere mensen een hand geven. Dat is in totaal 20·19=380 keer. Maar dan tel je alle handenschudden dubbel. Je moet dus nog delen door 2. Dat geeft 190 keer handenschudden."
Dat is dan voor nu weer even genoeg...👅
zaterdag 8 juni 2013
maandag 3 juni 2013
Het oplossen van een wortelvergelijking
Neem 's een willekeurig voorbeeld:
\(
\sqrt {x + 6} = - x
\)
Volgens de 'theorie' ga je 'isoleren, kwadrateren en controleren'. In dit geval staat links een wortel en rechts de rest. Dus isoleren hoeft niet meer. Dan gaan we kwadrateren:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 6} = - x \\
x + 6 = ( - x)^2 \\
\end{array}
\)
Je kunt dan de vergelijking oplossen:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 6} = - x \\
x + 6 = ( - x)^2 \\
x^2 - x - 6 = 0 \\
(x - 3)(x + 2) = 0 \\
x = 3\,\,of\,\,x = - 2 \\
\end{array}
\)
De laatste stap is dan 'controleren'. Voldoen de gevonden oplossingen?
\(
\begin{array}{l}
x = 3: \\
\sqrt {3 + 6} = - 3? \\
Nee... \\
x = - 2 \\
\sqrt { - 2 + 6} = - - 2? \\
\sqrt 4 = ? \\
Ja! \\
\end{array}
\)
Dus de oplossing wordt:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 6} = - x \\
x + 6 = ( - x)^2 \\
x^2 - x - 6 = 0 \\
(x - 3)(x + 2) = 0 \\
x = 3\,\,(v.n.)\,\,of\,\,x = - 2 \\
\end{array}
\)
...en dat is dan de methode 'getal & ruimte'.
Je had vantevoren ook kunnen vaststellen dat:
\(
\begin{array}{l}
x + 6 \ge 0 \\
x \ge - 6 \\
\end{array}
\)
Maar dat helpt niet echt...
\(
\sqrt {x + 6} = - x
\)
Volgens de 'theorie' ga je 'isoleren, kwadrateren en controleren'. In dit geval staat links een wortel en rechts de rest. Dus isoleren hoeft niet meer. Dan gaan we kwadrateren:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 6} = - x \\
x + 6 = ( - x)^2 \\
\end{array}
\)
Je kunt dan de vergelijking oplossen:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 6} = - x \\
x + 6 = ( - x)^2 \\
x^2 - x - 6 = 0 \\
(x - 3)(x + 2) = 0 \\
x = 3\,\,of\,\,x = - 2 \\
\end{array}
\)
De laatste stap is dan 'controleren'. Voldoen de gevonden oplossingen?
\(
\begin{array}{l}
x = 3: \\
\sqrt {3 + 6} = - 3? \\
Nee... \\
x = - 2 \\
\sqrt { - 2 + 6} = - - 2? \\
\sqrt 4 = ? \\
Ja! \\
\end{array}
\)
Dus de oplossing wordt:
\(
\begin{array}{l}
\sqrt {x + 6} = - x \\
x + 6 = ( - x)^2 \\
x^2 - x - 6 = 0 \\
(x - 3)(x + 2) = 0 \\
x = 3\,\,(v.n.)\,\,of\,\,x = - 2 \\
\end{array}
\)
...en dat is dan de methode 'getal & ruimte'.
Je had vantevoren ook kunnen vaststellen dat:
\(
\begin{array}{l}
x + 6 \ge 0 \\
x \ge - 6 \\
\end{array}
\)
Maar dat helpt niet echt...
zaterdag 1 juni 2013
Opgave 3
Bij opgave 3 van het examen HAVO wiskunde B van 2013 krijg je na substitutie de volgende formule:
\(
F = \left( {\frac{{2,39 \cdot \left( {T + 4} \right)^{\frac{3}{2}} }}{{6,3}}} \right)^{\frac{2}{3}} - 2
\)
Het is gegeven dat dit een lineair verband is dat kan worden beschreven als \(
F = aT + b
\). De vraag is om de waarde van \(a\) en \(b\) te bepalen.
De substitutie ging meestal nog wel en de meeste leerlingen hebben wel een idee wat er moet gebeuren. De weg naar die \(a\) en \(b\) is echter lang en vol valkuilen. Je kunt je wel voorstellen welke 'foute dingen' je kan doen als je de formule hierboven uitwerkt. Wat dat betreft is inzetten op die algebra geen overbodige luxe.
Ik was al blij dat het bij \(
\left( {x^2 + 1} \right)^2
\) in opgave 4 meestal goed ging. Maar helemaal begrepen zijn de rekenregels voor machten nog niet.
De andere oplossing in het correctievoorschrift is leuker. Bereken F voor T=0 en T=1 en bepaal \(a\) en \(b\) zoals gebruikelijk. Mooi, maar ik ben het niet tegengekomen... dus dat is dan weer jammer.
Terwijl we dat toch wel vaker hebben gedaan, de formule opstellen van een lineair verband bij twee gegeven punten. Dat kunnen we in de derde klas al... maar je moet dan wel even de 'link leggen'.
Je bent nooit te oud om dingen te vergeten:-)
\(
F = \left( {\frac{{2,39 \cdot \left( {T + 4} \right)^{\frac{3}{2}} }}{{6,3}}} \right)^{\frac{2}{3}} - 2
\)
Het is gegeven dat dit een lineair verband is dat kan worden beschreven als \(
F = aT + b
\). De vraag is om de waarde van \(a\) en \(b\) te bepalen.
De substitutie ging meestal nog wel en de meeste leerlingen hebben wel een idee wat er moet gebeuren. De weg naar die \(a\) en \(b\) is echter lang en vol valkuilen. Je kunt je wel voorstellen welke 'foute dingen' je kan doen als je de formule hierboven uitwerkt. Wat dat betreft is inzetten op die algebra geen overbodige luxe.
Ik was al blij dat het bij \(
\left( {x^2 + 1} \right)^2
\) in opgave 4 meestal goed ging. Maar helemaal begrepen zijn de rekenregels voor machten nog niet.
De andere oplossing in het correctievoorschrift is leuker. Bereken F voor T=0 en T=1 en bepaal \(a\) en \(b\) zoals gebruikelijk. Mooi, maar ik ben het niet tegengekomen... dus dat is dan weer jammer.
Terwijl we dat toch wel vaker hebben gedaan, de formule opstellen van een lineair verband bij twee gegeven punten. Dat kunnen we in de derde klas al... maar je moet dan wel even de 'link leggen'.
Je bent nooit te oud om dingen te vergeten:-)
Opgave 10
Opgave 10 van het examen HAVO wiskunde B van 2013 staat geheel op zichzelf:
De functies \(f\) en \(g\) zijn gegeven door \(f(x) = - x^3 + 4x\) en \(g(x) = a \cdot \sin (\pi x)\).
De problemen betreffen vooral de kettingregel en de parameter 'a'. Ik vind het wel een mooie opgave. Je kunt, als leerling, laten zien dat je begrijpt wat je aan 't doen bent. Gezien het aantal behaalde punten is dat laatste in veel gevallen nog maar de vraag...:-)
Dingen begrijpen is niet iets wat je leert bij een 'examentraining', dus daar moet je meer voor doen. Misschien is dat nog wel het beste om te doen: probeer 'dingen' te begrijpen, dan heb je geen 'examentraining' nodig...
\(
\begin{array}{l}
f'(x) = - 3x^2 + 4 \Rightarrow f'(0) = 4 \\
g'(x) = a\pi \cdot \cos (\pi x) \Rightarrow g'(0) = a\pi \\
a = \frac{4}{\pi } \\
\end{array}
\)
Oude tijden herleven. Kort en krachtig, exact, algebraisch en mooie uitkomsten.
De functies \(f\) en \(g\) zijn gegeven door \(f(x) = - x^3 + 4x\) en \(g(x) = a \cdot \sin (\pi x)\).
In de oorsprong zijn de hellingen van de grafieken van \(f\) en \(g\) gelijk.
- Bereken exact de waarde van a.
De problemen betreffen vooral de kettingregel en de parameter 'a'. Ik vind het wel een mooie opgave. Je kunt, als leerling, laten zien dat je begrijpt wat je aan 't doen bent. Gezien het aantal behaalde punten is dat laatste in veel gevallen nog maar de vraag...:-)
Dingen begrijpen is niet iets wat je leert bij een 'examentraining', dus daar moet je meer voor doen. Misschien is dat nog wel het beste om te doen: probeer 'dingen' te begrijpen, dan heb je geen 'examentraining' nodig...
\(
\begin{array}{l}
f'(x) = - 3x^2 + 4 \Rightarrow f'(0) = 4 \\
g'(x) = a\pi \cdot \cos (\pi x) \Rightarrow g'(0) = a\pi \\
a = \frac{4}{\pi } \\
\end{array}
\)
Oude tijden herleven. Kort en krachtig, exact, algebraisch en mooie uitkomsten.
Opgave 15
Opgave 15 van het eindexamen HAVO wiskunde B van 2013:
De functie \(f\) is gegeven door \(f(x) = {}^3\log (4x + 3)\).
Wel jammer. Gemiddeld hebben de leerlingen 0,9 punt van de 3 punten gescoord. Leermoment. Ik heb relatief weinig aandacht besteed aan het gebruik van de GR bij de afgeleide. We hebben 't wel gedaan, maar dat was hoofdstuk 2 en dat is dan wel lang geleden...
Kunnen ze gewoon een keer punten verdienen met het intoetsen van knoppen...:-(
De functie \(f\) is gegeven door \(f(x) = {}^3\log (4x + 3)\).
- Bereken de helling van de grafiek van \(f\) in het punt met x-coördinaat 1. Rond je antwoord af op twee decimalen.
Wel jammer. Gemiddeld hebben de leerlingen 0,9 punt van de 3 punten gescoord. Leermoment. Ik heb relatief weinig aandacht besteed aan het gebruik van de GR bij de afgeleide. We hebben 't wel gedaan, maar dat was hoofdstuk 2 en dat is dan wel lang geleden...
Kunnen ze gewoon een keer punten verdienen met het intoetsen van knoppen...:-(
Examenresultaten
Ik heb maar 's een grafiek gemaakt bij de (voorlopige) examenresultaten van HAVO wiskunde B. In de grafiek staat het gemiddeld percentage behaalde punten per vraag.
Vraag 3, 10 en 15 zijn het slechts gemaakt. Vraag 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16 en 18 hangen er zo tegenaan. De rest ging beter. Daar kan je dan toch weer iets van leren.
Ik heb nog 's gekeken naar de moeilijkheden bij 3, 10 en 15.
Later ga ik nog 's kijken naar de verschillen, overeenkomsten en samenhang van schoolexamens en eindexamen. 't Is nog even wachten op de vaststelling van de N-term.
Vraag 3, 10 en 15 zijn het slechts gemaakt. Vraag 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16 en 18 hangen er zo tegenaan. De rest ging beter. Daar kan je dan toch weer iets van leren.
Ik heb nog 's gekeken naar de moeilijkheden bij 3, 10 en 15.
Later ga ik nog 's kijken naar de verschillen, overeenkomsten en samenhang van schoolexamens en eindexamen. 't Is nog even wachten op de vaststelling van de N-term.
zaterdag 25 mei 2013
vrijdag 24 mei 2013
Kettingbreuk voor \(\pi\)
\(\pi=3+\cfrac{1}{6+\cfrac{9}{6+\cfrac{25}{6+\cfrac{49}{6+\cfrac{81}{\vdots}}}}}\)
Abonneren op:
Posts (Atom)