maandag 29 april 2019
Re: Limiet bepalen
Naar aanleiding van Re: Limiet bepalen had ik nog een uitwerking bedacht:
\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}} {{\root 3 \of {x + 27} - 3}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}} {{\root 3 \of {x + 27} - 3}} \cdot \frac{{\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9}} {{\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right)}} {{x + 27 - 27}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right)}} {x} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right) = 2 \cdot \left( {9 + 9 + 9} \right) = 54 \cr} \)
Maar er zijn meer wegen die naar Rome leiden....:-)
\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}} {{\root 3 \of {x + 27} - 3}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}} {{\root 3 \of {x + 27} - 3}} \cdot \frac{{\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9}} {{\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right)}} {{x + 27 - 27}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right)}} {x} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right) = 2 \cdot \left( {9 + 9 + 9} \right) = 54 \cr} \)
Maar er zijn meer wegen die naar Rome leiden....:-)
Opgave 1
\(
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 2ab \\
b + c = 3bc \\
a + c = 7ac \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 3 \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = 7 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\
\frac{1}{c} - \frac{1}{a} = 1 \\
\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = 7 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\
\frac{1}{c} - \frac{1}{a} = 1 \\
\frac{2}{c} = 8 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\
\frac{1}{c} - \frac{1}{a} = 1 \\
c = \frac{1}{4} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\
4 - \frac{1}{a} = 1 \\
c = \frac{1}{4} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\
a = \frac{1}{3} \\
c = \frac{1}{4} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{b} + 3 = 2 \\
a = \frac{1}{3} \\
c = \frac{1}{4} \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
b = - 1 \\
a = \frac{1}{3} \\
c = \frac{1}{4} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)
zaterdag 27 april 2019
zondag 14 april 2019
wizPROF 2018 - Vraag 7
Els en Fiona knippen beiden een rechthoekig velletje papier in tweeën. Els krijgt twee rechthoeken, elk met een omtrek van 40 cm. Fiona krijgt ook twee rechthoeken, maar dan elk met een omtrek van 50 cm. Toch hebben beiden eenzelfde velletje doorgeknipt.
\( \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 40 \\ a + 2b = 50 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 40 \\ 2a + 4b = 100 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3b = 60 \\ 2a + b = 40 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b = 20 \\ a = 10 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \)
- Wat is de omtrek van het velletje papier waarmee ze begonnen?
A. 40 cm B. 50 cm C. 60 cm D. 80 cm E. 90 cm
\( \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 40 \\ a + 2b = 50 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 40 \\ 2a + 4b = 100 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3b = 60 \\ 2a + b = 40 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b = 20 \\ a = 10 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \)
woensdag 3 april 2019
Een kwadratische vergelijking met breuken oplossen
\(
\eqalign{
& \frac{1}
{4}\left( {x + 1} \right)(x + 5) = - \frac{3}
{4} \cr
& \left( {x + 1} \right)(x + 5) = - 3 \cr
& x^2 + 6x + 5 = - 3 \cr
& x^2 + 6x + 8 = 0 \cr
& (x + 2)(x + 4) = 0 \cr
& x = - 2 \vee x = - 4 \cr}
\)
\eqalign{
& \frac{1}
{4}\left( {x + 1} \right)(x + 5) = - \frac{3}
{4} \cr
& \left( {x + 1} \right)(x + 5) = - 3 \cr
& x^2 + 6x + 5 = - 3 \cr
& x^2 + 6x + 8 = 0 \cr
& (x + 2)(x + 4) = 0 \cr
& x = - 2 \vee x = - 4 \cr}
\)
Het oplossen van een vergelijking
Op WisFaq staat een oplossing van een vergelijking met machten. In het antwoordmodel wordt er gekozen om te delen door 4x. Dat kan natuurlijk prima, maar eigenlijk vind ik dat niet handig en 't is een gemiste kans om nog 's wat kennis rondom machten te herhalen. Ik zou het liever zo doen:
\(
\eqalign{
& 2 \cdot 4^x - 4 \cdot 8^x = 0 \cr
& 2 \cdot 4^x = 4 \cdot 8^x \cr
& 4^x = 2 \cdot 8^x \cr
& \left( {2^2 } \right)^x = 2^1 \cdot \left( {2^3 } \right)^x \cr
& 2^{2x} = 2^1 \cdot 2^{3x} \cr
& 2^{2x} = 2^{3x + 1} \cr
& 2x = 3x + 1 \cr
& x = - 1 \cr}
\)
Maar waarom?
\(
\eqalign{
& 2 \cdot 4^x - 4 \cdot 8^x = 0 \cr
& 2 \cdot 4^x = 4 \cdot 8^x \cr
& 4^x = 2 \cdot 8^x \cr
& \left( {2^2 } \right)^x = 2^1 \cdot \left( {2^3 } \right)^x \cr
& 2^{2x} = 2^1 \cdot 2^{3x} \cr
& 2^{2x} = 2^{3x + 1} \cr
& 2x = 3x + 1 \cr
& x = - 1 \cr}
\)
Maar waarom?
- Het gaat hier om machten van 2. Als het lukt om beide leden te schrijven als 2A=2B en dus A=B ben je er. Dat is het doel en bij vergelijkingen met machten is dat een goede aanpak. Die paragraaf in het boek over het schrijven als één macht was dan niet voor niets geweest.
Abonneren op:
Posts (Atom)