Rekenregels of begrijpen waar je mee bezig bent?

Als je twee breuken wilt optellen dan maak je de breuken gelijknamig en dan kan je ze 'onder één noemer zetten' en optellen.

\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{6}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)

Daar zou je best een rekenregel voor kunnen verzinnen. Je kunt tellers en noemers kruislings vermenigvuldigen, die optellen en delen door het product van de noemers:

\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{2 \cdot 7 + 2 \cdot 3}}{{3 \cdot 7}} = \frac{{14 + 6}}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)

Zo'n rekenregel voor het optellen van breuken kan handig zijn, bijvoorbeeld bij het onder één noemer zetten van gebroken termen met variabelen:

\(
\eqalign{
  & \frac{x}
{{x - 1}} + \frac{{x^2 }}
{{x + 3}} =   \cr
  & \frac{{x(x + 3) + x^2 (x - 1)}}
{{(x - 1)(x + 3)}} =   \cr
  & \frac{{x^2  + 3x + x^3  - x^2 }}
{{(x - 1)(x + 3)}} =   \cr
  & \frac{{x^3  + 3x}}
{{(x - 1)(x + 3)}} \cr}
\)

Bij zo'n rekenregel hoef je dan verder niet na te denken. Het antwoord rolt er, als het ware, bijna vanzelf uit.

Toch kom je die rekenregel zelden tegen. Er is, denk ik , een goede reden om dat ook niet te willen. Het is veel handiger om gelijknamig te maken. Dat werkt bij formules hetzelfde als bij getallen, dus waarom zou je een rekenregel moeten leren als je die helemaal niet nodig hebt?

Rekenregels, stappenplannen en ezelsbruggetjes hebben de neiging te worden vergeten, verhaspeld of op het verkeerde moment van stal gehaald. Dat is ook iets wat je niet moet willen. Jammer is het wel. Ik vond het bij de gebroken termen wel handig ergens.:-)

Bij HAVO wiskunde B gebruiken we hier en daar ook een soort van rekenregels. Die regels kan je dan uit je hoofd leren en op het goede moment inzetten:



Maar zijn die nu eigenlijk noodzakelijk? Zou je niet gewoon moeten weten hoe dat werkt en zelf bedenken hoe 't zit bij die gebroken vergelijkingen? Zou dat niet veel beter zijn?

Als je eenmaal dingen begrijpt hoef je nooit bang te zijn dat je iets kwijt raakt. Het zit gewoon tussen je oren...:-)

De stelling van Pythagoras

Je ziet hieronder een vierkant met daarbinnen nog een vierkant.



Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?

Hier zie je nog een vierkant met een kleiner vierkant.



Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?

Conclusie?

Staartdeling

De ingeschreven cirkel

Waarom is het snijpunt van de bissectrices het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek?



De cirkel met middelpunt M raakt aan AB, BC en AC. Dat betekent dat de afstand van M tot AB, BC en AC precies gelijk is. Dat is dan ook meteen de straal van de ingeschreven cirkel.

De bissectrice van \(\angle\)A is de verzameling punten die even ver van AC en AB af liggen.



De bissectrice van \(\angle\)B is de verzameling punten die even ver van AB en BC af liggen.



Het snijpunt van de twee bissectrices is het middelpunt M van de ingeschreven cirkel. Dit punt ligt op gelijke afstand van AC, AB en BC.

De omgeschreven cirkel

Waarom is het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek?



Het middelpunt M van de cirkel die door A, B en C van de driehoek gaat ligt op gelijke afstand van A, B en C. Die afstand is namelijk precies de straal van de cirkel. Een cirkel is immers de verzameling punten die op een bepaalde afstand van het middelpunt M liggen.

De middellloodlijn van twee punten A en B is de verzameling punten die op gelijke afstand liggen van de punten A en B.



De punten van de middelloodlijn van B en C liggen op gelijke afstand van B en C.



Het snijpunt van de middellloodlijn van A en B en de middelloodlijn van B en C ligt dus op gelijke afstand van A, B en C. Dat is dan het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.

De som van de hoeken van een vierhoek

In de brugklas leer je van alles over hoeken. Je hebt scherpe hoeken, stompe hoeken, de rechte hoek en de gestrekte hoek. Je leert ook dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°.



Als ik aan bovenstaande driehoek nu 's een punt toevoeg dan krijg ik een vierhoek.



Zoals je ziet is \(\angle\)D=180°. Dat is dus een gestrekte hoek. Dat is ook een hoek, Dus ABDC is wel degelijk een vierhoek.

• De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.

Maf rijtje

Er zwerft al enige tijd een aardig puzzeltje over het Internet...

In deze rij volgt aan het eind telkens hetzelfde getal x. Welk getal is x?
1, 11, 21, 32, 56, 1130, x, x, x, ...

Je moet 't maar 's oplossen...

Probleemaanpak klas 3

Ik heb een nieuwe leerroute voor klas 3 omtrent probleemaanpak. De digitale leerroute bestaat uit algemene informatie, een voorbeeld en 5 opdrachten.

1. Probleemaanpak
2. Een voorbeeld
3. Aanlegkosten
4. Schaakbord
5. Gemiddelde snelheid
6. Hangbrug
7. Eindopdracht

Ik moet alleen het voorbeeld nog invullen, maar voor de rest is het voor de bakker. Ja? Ja. Wat ja? Ja bakker...:-)

ggd en kgv in asp...

function ggd(a,b)
   a = abs(a)
   b = abs(b)
   if a = 0 then
      ggd = b
   else 
      if b = 0 then
         ggd = a
      else 
         if a > b then
            ggd = ggd(b, a mod b)
         else
            ggd = ggd(a, b mod a)
         end if
      end if
   end if
end function

function kgv(a,b)
   kgv=a*b/ggd(a,b)
end function

Deelbaar door 9

\(
n^3  + (n + 1)^3  + (n + 2)^3
\) is deelbaar door 9.

Konijnennamen met een 'W"

WABBERTJE WALNOOT WAMPIE WANDA WARREL WASABI WEBSTER WENDY WHESLEY WHISEGUY WHISKEY WIBBE WIBI WIBO WIEDEWAAS WIJSNEUS WILDE WILLEM WILLOW WILLY WINKY WINNETOE WINNETOE WINNIE WINNIETOE WIPNEUS WIPNEUSJE WIPSTAART WIPWAPWOLLETJE WISKE WISKY WITHEY WITJE WITSNOETJE WIZZEL WIZZY WOBO WODKA WOEDIE WOEPS WÖLKCHEN WOLKE WOLKJE WOLLE WOLLETJE WOLLIE WOLLYBOL WOLLYWOB WOOPY WOPKE WOPPER WOPPY WUPPIE WUSCHEL
http://www.konijnen-namen.nl

Wiskunde en konijnen overzicht

“If you can dream it, you can do it.” – Walt Disney

De leerroute is zo goed als klaar. Hier en daar ben ik nog bezig met de eindopdrachten.



In deze 'minicursus' maak je kennis met getallenstelsels, formules, grafieken, de rij van Fibonacci, de gulden snede, groeimodellen en meer...

1. Inleiding
2. Kippen en konijnen
   Veel problemen laten zich oplossen met 'gezond verstand' en 'puzzelen'. Het 'kippen en konijnen'-probleem is daar een voorbeeld van.
3. Als je een konijn vraagt...
   Naar aanleiding van een gedicht van Rudy Kousbroek maak je kennis met het viertallig stelsel. We kijken ook naar een aantal andere getallenstelsels.
4. Romeinse cijfers
   Hoe zat dat ook alweer met die Romeinse cijfers?
5. Egypte
   Zo'n 2000 jaar v.Chr., dus zo'n 4000 jaar geleden werd er in het Oude Egypte al volop gewerkt met getallen.
6. De Maya's
   De Maya's gebruikte een zestigtallig stelsel.
7. Een stelsel oplossen
   Je kunt problemen soms oplossen met 'gezond verstand', maar je kunt soms handiger wiskunde gebruiken.
8. De konijnen van Fibonacci
   De rij van Fibonacci is een bekende rij in de wiskunde. We kijken naar de rij en een aantal plekken waar je de rij kan tegen komen.
9. De gulden snede
   De gulden snede heeft iets te maken met verhoudingen. Er wordt zelfs gesuggereerd dat de gulden snede een mooie verhouding is. Hoe kan je de gulden snede herkennen?
10. Konijnen en groeimodellen
    In dit hoofdstuk kijken we naar drie groeimodellen. Grafieken, formules en een paar applets om mee te spelen...
11. Wat is relatief?
    Heel simpel gezegd zou je kunnen zeggen dat 'relatief' iets te maken heeft met procenten, maar dat is te simpel. Wat is nu eigenlijk precies het verschil tussen 'absoluut' en 'relatief'?
12. Hoe pak je een wiskundeopgave aan?
    Los van de 'wiskunde' zijn er nog wel een aantal 'algemene tips' die je kunnen helpen bij het maken van opgaven.
13. Eindopdracht
    De eindopdracht bestaat uit 10 opgaven uit de rekentoets.

Uit het EXAMENPROGRAMMA:

• Domein A: Vaardigheden
  • Subdomein A1: Informatievaardigheden
    • De kandidaat kan, mede met behulp van ICT, informatie verwerven, selecteren, verwerken, beoordelen en presenteren.
  • Subdomein A2: Onderzoeksvaardigheden
    • De kandidaat kan een gegeven probleemsituatie inventariseren, vertalen in een wiskundig model, binnen dat model wiskundige oplostechnieken hanteren en de gevonden oplossingen betekenis geven in de context.
  • Subdomein A3: Technisch-instrumentele vaardigheden
    • De kandidaat kan bij raadplegen, verkennen en presenteren van wiskundige informatie en bij uitvoeren van wiskundige bewerkingen en redeneringen gebruik maken van toepassingen van ICT.

http://www.examenblad.nl

• We zijn benieuwd...:-)

Proeven in Magister

Een nieuw idee is om de proeven in Magister te zetten. Leerlingen en ouders kunnen dan zien hoe 't zit allemaal...



Nou prima...:-)

Probleem van de week 2

In de tekening hierboven geldt: ABC is een rechthoekige driehoek met C als de rechte hoek. De lijnstukken AD, DF, FE, EC en CB zijn allemaal even lang.

Bereken ÐA in graden nauwkeurig.

Probleem van de week 1

Het probleem: Hiernaast zie je een vierkant blaadje ABCD van 8 bij 8 cm. Eén hoekpunt van het blaadje is op zo'n manier over het blaadje heen gevouwen dat D precies in het midden van AB ligt.

• Bereken de lengte van PR.

Keuze-uur

In het keuzeuur kwam ik iets tegen als...

\(
\large\begin{array}{l}
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}} \\
\end{array}
\)

Wat is dan \(
\large\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{1024}}
\)?

Probleemaanpak

Bij wiskunde leer je heel veel 'dingen' waarvan je misschien wel 's afvraagt: waar heb ik die voor nodig? Een mogelijk antwoord op die vraag is: 'om problemen op te lossen'.

Uitdelen in de les:

• Probleemaanpak ABC
• Het voorbeeld van de vlaggenmast
• Probleem 1: Vouwblaadje
• Probleem 2: Driehoekjes...

Inleveren

• Lever de uitwerkingen van de problemen in.

Zie Probleemaanpak presentatie en Probleemaanpak deel 1

Proef 1 HAVO 4 wiskunde B

De eerste proef klas 2 afgelopen jaren

Resultaten van proef 1 van klas 2