dinsdag 20 september 2016
zondag 18 september 2016
Klas 4 wiskunde D
Wiskunde D? Wat moet je er mee? :-)
Op het ogenblik doe er niks mee, maar misschien heeft iemand er nog iets aan:
De groeten...:-)
Wat is dat nu?:-)
\( \int \left( - {20 \over \left(4 x\right) ^2 } + {5 \over 4 x}\right)dx = {5 \over 4} \log \left( \left|x\right|\right) + {5 \over 4 x} + C \)
zondag 11 september 2016
Wiskunde 3 HAVO en 3 VWO
Ik heb inmiddels de checklists en de samenvattingen voor klas 3 ook maar weer op wiskundeleraar.nl staan. Zolang er mensen zijn die er iets aan hebben lijkt me dat wel gerechtvaardigd. Alhoewel... eigenlijk niet natuurlijk. Ik ben Gekke Henkie niet... alhoewel... eigenlijk dus wel.
Of ga meteen naar:
Of ga meteen naar:
woensdag 7 september 2016
zaterdag 3 september 2016
woensdag 24 augustus 2016
Week 34
- Op welke hoogte raken de ladders elkaar?
Er zijn nog veel meer vergelijkbare en vragen die net weer heel anders gaan over ladders in een steeg.
donderdag 18 augustus 2016
Het tankstation
Er zijn verschillende varianten van optimaliseringsproblemen die met differentiëren kunnen worden opgelost. De kunst is dan om een formule te bedenken waarmee je (afhankelijk van een variabele) de totale kosten kan berekenen. Zoek het minimum.
Dit is daar een mooi voorbeeld van:
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
Dit is daar een mooi voorbeeld van:
- Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
dinsdag 16 augustus 2016
Product-som-methode
Daar was ie weer...:-)
\(\eqalign{
& 4{x^2} - 4x - 3 = 0 \cr
& a \cdot b = - 12 \cr
& a + b = - 4 \cr
& a = - 6\,\,en\,\,b = 2 \cr
& 4{x^2} - 6x + 2x - 3 = 0 \cr
& 2x(2x - 3) + 2x - 3 = 0 \cr
& (2x + 1)(2x - 3) = 0 \cr
& 2x + 1 = 0 \vee 2x - 3 = 0 \cr
& 2x = - 1 \vee 2x = 3 \cr
& x = - \frac{1}{2} \vee x = 1\frac{1}{2} \cr}\)
...ik ken nog meer kunstjes, maar dit is wel mijn favoriet...:-)
\(\eqalign{
& 4{x^2} - 4x - 3 = 0 \cr
& a \cdot b = - 12 \cr
& a + b = - 4 \cr
& a = - 6\,\,en\,\,b = 2 \cr
& 4{x^2} - 6x + 2x - 3 = 0 \cr
& 2x(2x - 3) + 2x - 3 = 0 \cr
& (2x + 1)(2x - 3) = 0 \cr
& 2x + 1 = 0 \vee 2x - 3 = 0 \cr
& 2x = - 1 \vee 2x = 3 \cr
& x = - \frac{1}{2} \vee x = 1\frac{1}{2} \cr}\)
...ik ken nog meer kunstjes, maar dit is wel mijn favoriet...:-)
Abonneren op:
Posts (Atom)