woensdag 15 juni 2016

Een bijzonder vergelijking

Eigenlijk zijn alle vergelijkingen bijzonder, maar soms kom je wel 's dingen tegen die je opvallen. In WisFaq:
  • Hoe ik 4x3-9x2+4x-9=0 moet oplossen?
Dat is wel grappig. Valt je iets op? Kun je daar dan iets mee?

Er zit wel een soort herhaling in. Iets met 4 en 9. Dat is dan ook meteen de oplossing omdat je voor 4x3-9x2+4x-9 kunt schrijven x²(4x-9)+4x-9. Dat geeft:

x²(4x-9)+4x-9=0
(4x-9)(x²+1)=0
4x-9=0 of x²+1=0 (v.n.)
x=2\(\frac{1}{4}\)

Opgelost...:-)
Gepost door op
Labels: ,

Drieëntwintig

Gepost door op
Labels:

donderdag 9 juni 2016

Totaal overzicht HAVO wiskunde A

HAVO wiskunde A - getal en ruimte
Gepost door op
Labels:

Totaal overzicht HAVO wiskunde B

HAVO wiskunde B - getal en ruimte
Gepost door op
Labels:

dinsdag 7 juni 2016

Kamer overstag: toch 20 uur les voor docent

"Drie keer sinds eind 2014 diende D66-Kamerlid Paul van Meenen zijn motie in, drie keer werd die weggestemd. Vandaag, bij de vierde poging, gaat het wel lukken. Een Kamermeerderheid zal het streven steunen naar maximaal 20 lesuren voor een fulltime-docent in het voortgezet onderwijs en maximaal acht dagdelen lesgeven voor een voltijds leraar in het basisonderwijs."
 

"Een Kamermeerderheid zal het streven steunen naar maximaal 20 lesuren...." - eh... o ja joh? Vanaf 2032 zeker..!?:-) #datkannietgoedgaan

...maar hoe dan ook... die 20 lesuren...!? Dat gaat echt niet gebeuren... je zult het zien... #irestmycase #readmylips
Gepost door op

vrijdag 3 juni 2016

Probleemaanpak deel 4 (slot)

Vandaag hebben we de laatste les probleemaanpak gedaan. De eindtoets. Er waren nog wel wat 'hints' nodig zo hier en daar, maar verder ging het heel goed. Het was in ieder geval mooi om te zien dat 'sommige dingen' die eerst nog niet zo 'vanzelfsprekend' waren nu al beter gingen.

q7360img1.gif

Ik ga de proeven in het weekend nakijken en misschien schrijf ik er nog wel iets meer over. Ik vond het in ieder geval een geslaagd project, 't is leerzaam en er wordt hard gewerkt, nagedacht en problemen opgelost!:-)
Bonus:
Gepost door op
Labels:

woensdag 1 juni 2016

Probleemaanpak deel 3

Vandaag hebben de volgende opdrachten gedaan:
twee metselaars
q7367img1.gif
Twee metselaars bouwen samen aan één toren. Ze doen er 20 uur over. Als ze elk apart een toren bouwen doet de ene er 9 uur langer over dan de andere.
  • Hoe lang doet elk over het bouwen van 1 toren?
twee slakken
q1229img5.gif
Twee slakken lopen allebei vanaf punt P naar C over de zijden van een rechthoekige driehoek. De ene slak loopt linksom en de andere slak loopt rechtsom. Als de slakken even hard lopen komen ze precies tegelijkertijd in C aan.  PB=5m en BC=12m.
  • Bereken exact de lengte van AP.
kubusjes
q5973img1.gifVan n3 witte kubusjes bouw je een grote kubus van n bij n bij n.
De buitenkant van deze grote kubus kleur je rood. De kubus wordt weer afgebroken...
Er zijn nu verschillende kubusjes. Witte kubusjes, kubusjes met 1 rood vlak, kubusjes met 2 rode vlakken en er zijn zelfs kubusjes met 3 rode vlakken.
  • Hoeveel kubusjes zijn er van elk soort uitgedrukt in n?
Ik heb nog maar 's gezegd dat met de SOLVER op de grafische rekenmachine vergelijkingen kunt oplossen (bij benadering). Zie eventueel F3: Solver

Naschrift

't Was nog aardig om vast te stellen dat voor Lower=-100 en Upper=0 de GR nog een oplossing heeft gevonden voor de twee metselaars. x=-5 is ook een oplossing. Dus de ene metselaar doet er -5 uur over om een toren te bouwen. Dat betekent dat hij 5 uur nodig heeft om een toren af te breken. Als de andere metselaar er 4 uur over doet om een toren te bouwen dan hebben na 20 uur kennelijk toch een toren af.:-)

Tenslotte de oefentoets uitgedeeld met uitwerkingen. Vrijdag a.s. doen we dan de echte toets in tweetallen.
Gepost door op
Labels:

vrijdag 27 mei 2016

Probleemaanpak deel 2

We hebben vandaag probleemaanpak II gedaan. Puzzel, vliegtuig en piano.
een vierkant en een cirkel
q1229img2.gif

Het rode vierkant heeft een zijde van 8. Het punt M is het midden van AB en de groene cirkel gaat door de punten C, D en M.
  • Bereken exact de straal van deze cirkel
't Is even puzzelen misschien maar de vorige keer hadden we al gezien dat bij een cirkel het middelpunt belangrijk is en dat als je hier en daar de straal tekent je voor je 't weet er uit komt.... misschien:-)
het vliegtuig
q7367img2.gif

Een vliegtuig vliegt van Amsterdam naar Moskou met een gemiddelde snelheid van 800 km/uur. Op de terugweg heeft het de wind tegen en haalt het (gemiddeld) niet meer dan 600 km/uur.
  • Bereken de gemiddelde snelheid over de gehele tocht.
't Zal toch wel niet 700 km/u zijn. Dat is te makkelijk. Je kunt een concreet voorbeeld nemen (neem bijvoorbeeld voor de afstand 2400 km), los het op en ga nadenken of het antwoord voor elke afstand geldt.
drie dochters
q5712img1.gif Twee mannen lopen op straat. A zegt 'ik weet een leuk raadsel'.
B zegt 'zeg op'.
A zegt 'ik heb 3 dochters en het product van hun leeftijden is 36. Hoe oud zijn ze?
B zegt 'dan weet ik het nog niet'.
A zegt 'ik geef je nog een hint: het huisnummer aan de overkant is de som van hun leeftijden'.
B zegt 'dan weet ik het nog niet'.
A zegt 'ok, laatste aanwijzing: mijn oudste dochter speelt piano'.
  • Hoe oud zijn die dochters?

Dit is vooral om te laten zien dat het soms handig kan zijn om alle mogelijke oplossing na te gaan. Dat lijkt mischien veel werk, maar hier is dat goed te doen. Misschien ook nog aardig om te bedenken dat je soms iets niet weet maar dat dat dan ook kennis is en dat je dan wat andere dingen wel weer weet...:-)

Nou ja... de tijd vloog om, uitwerkingen uitgedeeld... en dan nog 10 minuten over om met de telefoon te spelen, want dat moet natuurlijk ook gebeuren...

Uitwerkingen
Gepost door op
Labels: ,

woensdag 25 mei 2016

Probleemaanpak

Vandaag ben ik 4 HAVO wiskunde B begonnen met probleemaanpak. De jaarlijkse praktische opdracht omtrent de aanpak van wiskundige problemen.

PROBLEEMAANPAK
  • Startbijeenkomst
  • Wiskundige problemen om op te lossen
  • Toets in tweetallen
Ik heb uitleg gegeven over de ABC-methode. We hebben samen de vlaggenmast gedaan. Daarna zijn de leerlingen zelf aan de slag gegaan met het vouwblaadje en de driedeling van de hoek.
De vlaggenmast
Een vlaggenmast is stevig in de grond bevestigd. Hij is 10 meter hoog en door een harde rukwind afgebroken. Het afgebroken stuk zit nog wel vast aan het stuk dat in de grond zit. De top van de mast is op 3 meter van de voet op de grond terecht gekomen.
  • Op welke hoogte (vanaf de grond) is de mast afgebroken?
Vouwblaadje

Hierboven zie je een vierkant blaadje ABCD van 8 bij 8 cm. Eén hoekpunt van het blaadje is op zo'n manier over het blaadje heen gevouwen dat D precies in het midden van AB ligt.
  • Bereken EXACT de lengte van BQ en DQ.
De driedeling van de hoek

q7365img1.gif

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal r.  Op de cirkel heb je de punten A en B. De lijn PB snijdt de cirkel in het punt Q en wel zo dat PQ=r.
  • Toon aan dat \(\angle\)AMB drie keer zo groot is als \(\angle\)APB
Bij de uitwerkingen heb ik geprobeerd om expliciet te vermelden welke 'algemene principes' hierbij handig zijn om te onthouden en te gebruiken:
  1. Als je te maken hebt met een rechthoekige driehoek dan weet je dat de stelling van Pythagoras geldt. Daarmee kan je (ook met variabelen) relaties leggen tussen rechtshoekszijden en de schuine zijde.
  2. Als je een lengte van een lijnstuk niet kent, maar dat wel graag zou willen weten, probeer dan 's voor de lengte x te nemen en dan een andere zijde uit te drukken in x. Voer één of meer variabelen in.
  3. Als je 'ergens' twee driehoeken ziet van dezelfde vorm probeer dan eens iets te doen met gelijkvormigheid.
  4. Als je te maken hebt met cirkels is het altijd handig om even goed te kijken of je iets moet doen met het middelpunt van de cirkel. Je moet ook altijd even kijken naar de straal. Waar kan je die allemaal terug vinden?
  5. Let op bijzonder figuren zoals gelijkzijdige, gelijkbenige of rechthoekige driehoeken. Wat weet je allemaal van zo'n bijzonder figuur? Idem voor cirkels en vierhoeken.
  6. Als je een algemeen geval niet direct op kan lossen probeer het dan ' s met een concreet voorbeeld. Ik had even 20 genomen om te kijken of het dan wel lukt. Dat lukt. Maar als je iets kunt uitrekenen met getallen dan kan dat ook met een variabele. Maak dezelfde stappen en dan lukt dat...:-)
Alles bij elkaar een nuttige les, denk ik. Vrijdag deel 2.
Gepost door op
Labels:

zaterdag 7 mei 2016

Een wortelvergelijking oplossen

Op WisFaq kwam ik deze oplossing tegen:

\(\eqalign{
  & \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) = 1  \cr
  & x - 4\sqrt x  + 3 = 1  \cr
  &  - 4\sqrt x  =  - x - 2  \cr
  & 4\sqrt x  = x + 2  \cr
  & 16x = {(x + 2)^2}  \cr
  & 16x = x{}^2 + 4x + 4  \cr
  & {x^2} - 12x + 4 = 0  \cr
  & {(x - 6)^2} - 32 = 0  \cr
  & x = 6 \pm \sqrt {32}   \cr
  & x = 6 - 4\sqrt 2  \vee x = 6 + 4\sqrt 2  \cr}\)

Daar is verder niet veel mis mee. Maar wat dacht je hier van?

\(\eqalign{
  & \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) = 1  \cr
  & Neem\,\,y = \sqrt x   \cr
  & \left( {y - 1} \right)(y - 3) = 1  \cr
  & {y^2} - 4y + 3 = 1  \cr
  & {y^2} - 4x + 2 = 0  \cr
  & {(y - 2)^2} - 2 = 0  \cr
  & y = 2 - \sqrt 2  \vee x = 2 + \sqrt 2   \cr
  & x = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} \vee x = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^2}  \cr
  & x = 4 - 4\sqrt 2  + 2 \vee x = 4 + 4\sqrt 2  + 2  \cr
  & x = 6 - 4\sqrt 2  \vee x = 6 + 4\sqrt 2  \cr}\)

Dat kan ook...:-)
Gepost door op
Labels: , ,
Abonneren op: Posts (Atom)