Bereken exact de oppervlakte van de rechthoekige driehoek waarvan de omtrek 12 is en de ene rechthoekszijde 1 groter is dan de andere rechthoekszijde?
Uitwerking
\(
\eqalign{
& x + x + 1 + \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = 12 \cr
& \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = - 2x + 11 \cr
& x^2 + x^2 + 2x + 1 = \left( { - 2x + 11} \right)^2 \cr
& 2x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 44x + 121 \cr
& 2x^2 - 46x + 120 = 0 \cr
& x^2 - 23x + 60 = 0 \cr
& (x - 3)(x - 20) = 0 \cr
& x = 3 \vee x = 20\,\,\,(v.n.) \cr
& x = 3 \cr}
\)
De oppervlakte is 6.
Maar als de omtrek nu 's 10 is?
Je krijgt dan zoiets:
\(
\eqalign{
& x + x + 1 + \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = 10 \cr
& \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = - 2x + 9 \cr
& x^2 + (x + 1)^2 = ( - 2x + 9)^2 \cr
& x^2 + x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 36x + 81 \cr
& 2x^2 - 38x + 80 = 0 \cr
& x^2 - 19x + 40 = 0 \cr
& x = 9\frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}\sqrt {201} \vee x = 9\frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}\sqrt {201} \,\,\,(v.n.) \cr
& x = 9\frac{1}
{2} - \frac{1}
{2}\sqrt {201} \cr}
\)
De oppervlakte is 75-5√210
