Omtrek en oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Bereken exact de oppervlakte van de rechthoekige driehoek waarvan de omtrek 12 is en de ene rechthoekszijde 1 groter is dan de andere rechthoekszijde?

Uitwerking

$\eqalign{ & x + x + 1 + \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = 12 \cr & \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = - 2x + 11 \cr & x^2 + x^2 + 2x + 1 = \left( { - 2x + 11} \right)^2 \cr & 2x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 44x + 121 \cr & 2x^2 - 46x + 120 = 0 \cr & x^2 - 23x + 60 = 0 \cr & (x - 3)(x - 20) = 0 \cr & x = 3 \vee x = 20\,\,\,(v.n.) \cr & x = 3 \cr}$

De oppervlakte is 6.

Maar als de omtrek nu 's 10 is? 

Je krijgt dan zoiets:

$\eqalign{   & x + x + 1 + \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  = 10  \cr   & \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  =  - 2x + 9  \cr   & x^2  + (x + 1)^2  = ( - 2x + 9)^2   \cr   & x^2  + x^2  + 2x + 1 = 4x^2  - 36x + 81  \cr   & 2x^2  - 38x + 80 = 0  \cr   & x^2  - 19x + 40 = 0  \cr   & x = 9\frac{1} {2} - \frac{1} {2}\sqrt {201}  \vee x = 9\frac{1} {2} + \frac{1} {2}\sqrt {201} \,\,\,(v.n.)  \cr   & x = 9\frac{1} {2} - \frac{1} {2}\sqrt {201}  \cr}$

De oppervlakte is 75-5√210