Probleemaanpak deel 2

We hebben vandaag probleemaanpak II gedaan. Puzzel, vliegtuig en piano.

---

een vierkant en een cirkel

---

Het rode vierkant heeft een zijde van 8. Het punt M is het midden van AB en de groene cirkel gaat door de punten C, D en M.

• Bereken exact de straal van deze cirkel

---

't Is even puzzelen misschien maar de vorige keer hadden we al gezien dat bij een cirkel het middelpunt belangrijk is en dat als je hier en daar de straal tekent je voor je 't weet er uit komt.... misschien:-)

---

het vliegtuig

---

Een vliegtuig vliegt van Amsterdam naar Moskou met een gemiddelde snelheid van 800 km/uur. Op de terugweg heeft het de wind tegen en haalt het (gemiddeld) niet meer dan 600 km/uur.

• Bereken de gemiddelde snelheid over de gehele tocht.

---

't Zal toch wel niet 700 km/u zijn. Dat is te makkelijk. Je kunt een concreet voorbeeld nemen (neem bijvoorbeeld voor de afstand 2400 km), los het op en ga nadenken of het antwoord voor elke afstand geldt.

---

drie dochters

---

Twee mannen lopen op straat. A zegt 'ik weet een leuk raadsel'.
B zegt 'zeg op'.
A zegt 'ik heb 3 dochters en het product van hun leeftijden is 36. Hoe oud zijn ze?
B zegt 'dan weet ik het nog niet'.
A zegt 'ik geef je nog een hint: het huisnummer aan de overkant is de som van hun leeftijden'.
B zegt 'dan weet ik het nog niet'.
A zegt 'ok, laatste aanwijzing: mijn oudste dochter speelt piano'.

• Hoe oud zijn die dochters?

---

Dit is vooral om te laten zien dat het soms handig kan zijn om alle mogelijke oplossing na te gaan. Dat lijkt mischien veel werk, maar hier is dat goed te doen. Misschien ook nog aardig om te bedenken dat je soms iets niet weet maar dat dat dan ook kennis is en dat je dan wat andere dingen wel weer weet...:-)

Nou ja... de tijd vloog om, uitwerkingen uitgedeeld... en dan nog 10 minuten over om met de telefoon te spelen, want dat moet natuurlijk ook gebeuren...

• Praktische opdracht probleemaanpak
  

Uitwerkingen

• 3. Een vierkant en een cirkel
• 4. Het vliegtuig
• 6. Drie dochters

Probleemaanpak

Vandaag ben ik 4 HAVO wiskunde B begonnen met probleemaanpak. De jaarlijkse praktische opdracht omtrent de aanpak van wiskundige problemen.

PROBLEEMAANPAK

• Startbijeenkomst
• Wiskundige problemen om op te lossen
• Toets in tweetallen

Ik heb uitleg gegeven over de ABC-methode. We hebben samen de vlaggenmast gedaan. Daarna zijn de leerlingen zelf aan de slag gegaan met het vouwblaadje en de driedeling van de hoek.

---

De vlaggenmast
Een vlaggenmast is stevig in de grond bevestigd. Hij is 10 meter hoog en door een harde rukwind afgebroken. Het afgebroken stuk zit nog wel vast aan het stuk dat in de grond zit. De top van de mast is op 3 meter van de voet op de grond terecht gekomen.

• Op welke hoogte (vanaf de grond) is de mast afgebroken?

---

Vouwblaadje

Hierboven zie je een vierkant blaadje ABCD van 8 bij 8 cm. Eén hoekpunt van het blaadje is op zo'n manier over het blaadje heen gevouwen dat D precies in het midden van AB ligt.

• Bereken EXACT de lengte van BQ en DQ.

---

De driedeling van de hoek



Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal r.  Op de cirkel heb je de punten A en B. De lijn PB snijdt de cirkel in het punt Q en wel zo dat PQ=r.

• Toon aan dat \(\angle\)AMB drie keer zo groot is als \(\angle\)APB

---

Bij de uitwerkingen heb ik geprobeerd om expliciet te vermelden welke 'algemene principes' hierbij handig zijn om te onthouden en te gebruiken:

1. Als je te maken hebt met een rechthoekige driehoek dan weet je dat de stelling van Pythagoras geldt. Daarmee kan je (ook met variabelen) relaties leggen tussen rechtshoekszijden en de schuine zijde.
2. Als je een lengte van een lijnstuk niet kent, maar dat wel graag zou willen weten, probeer dan 's voor de lengte x te nemen en dan een andere zijde uit te drukken in x. Voer één of meer variabelen in.
3. Als je 'ergens' twee driehoeken ziet van dezelfde vorm probeer dan eens iets te doen met gelijkvormigheid.
4. Als je te maken hebt met cirkels is het altijd handig om even goed te kijken of je iets moet doen met het middelpunt van de cirkel. Je moet ook altijd even kijken naar de straal. Waar kan je die allemaal terug vinden?
5. Let op bijzonder figuren zoals gelijkzijdige, gelijkbenige of rechthoekige driehoeken. Wat weet je allemaal van zo'n bijzonder figuur? Idem voor cirkels en vierhoeken.
6. Als je een algemeen geval niet direct op kan lossen probeer het dan ' s met een concreet voorbeeld. Ik had even 20 genomen om te kijken of het dan wel lukt. Dat lukt. Maar als je iets kunt uitrekenen met getallen dan kan dat ook met een variabele. Maak dezelfde stappen en dan lukt dat...:-)

---

Alles bij elkaar een nuttige les, denk ik. Vrijdag deel 2.

• Het voorbeeld van de vlaggenmast
• Vouwblaadje
• Driedeling van de hoek

Een wortelvergelijking oplossen

Op WisFaq kwam ik deze oplossing tegen:

\(\eqalign{
  & \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) = 1  \cr
  & x - 4\sqrt x  + 3 = 1  \cr
  &  - 4\sqrt x  =  - x - 2  \cr
  & 4\sqrt x  = x + 2  \cr
  & 16x = {(x + 2)^2}  \cr
  & 16x = x{}^2 + 4x + 4  \cr
  & {x^2} - 12x + 4 = 0  \cr
  & {(x - 6)^2} - 32 = 0  \cr
  & x = 6 \pm \sqrt {32}   \cr
  & x = 6 - 4\sqrt 2  \vee x = 6 + 4\sqrt 2  \cr}\)

Daar is verder niet veel mis mee. Maar wat dacht je hier van?

\(\eqalign{
  & \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) = 1  \cr
  & Neem\,\,y = \sqrt x   \cr
  & \left( {y - 1} \right)(y - 3) = 1  \cr
  & {y^2} - 4y + 3 = 1  \cr
  & {y^2} - 4x + 2 = 0  \cr
  & {(y - 2)^2} - 2 = 0  \cr
  & y = 2 - \sqrt 2  \vee x = 2 + \sqrt 2   \cr
  & x = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} \vee x = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^2}  \cr
  & x = 4 - 4\sqrt 2  + 2 \vee x = 4 + 4\sqrt 2  + 2  \cr
  & x = 6 - 4\sqrt 2  \vee x = 6 + 4\sqrt 2  \cr}\)

Dat kan ook...:-)

Week 11

Kaatje is de pincode van haar GSM vergeten. Ze weet enkel nog dat er geen 5 in komt, maar wel minstens één 4.

• Hoeveel kans heeft Kaatje om haar GSM te deblokkeren als ze nog één poging heeft?

---

• Oplossing week 11

Palindroomgetallen met een even aantal cijfers

Palindroomgetallen zijn getallen die hetzelfde zijn als je ze van voor naar achter of van achter naar voor leest. Bijvoorbeeld 1441 of 12345654321. Nu geldt dat alle palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar zijn door 11. Dus die 1441 is deelbaar door 11.

Op Palindroomgetal heb ik een bewijs staan voor palindroomgetallen van 4 cijfers. De rest van het bewijs moet je dan zelf in elkaar knutselen. Het is een IKEA-bewijs... hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Met 6 cijfers
Nemen we zes cijfers dan krijg je 'abccba'

100.000a+10.000b+1000c+100c+10b+a
100.001a+10.010b+1100c

...en ja hoor... 100.001, 10.010 en 1100 zijn weer allemaal deelbaar door 11.

Met 8 cijfers
Nemen we acht cijfers dan krijg je 'abcddcba'

10.000.000a+1.000.000b+100.000c+10.000d+1000d+100c+10b+a
10.000.001a+1.000.010b+100.100c+11.000d

..en wat denk je?:-)

Hoe zat dat nu ook alweer met die deelbaarheid door 11?

Deelbaarheid door 11
Zet voor alle cijfers om en om een plus en een min. Tel daarna alle cijfers op. Als de uitkomst deelbaar is door 11 dan is het hele getal deelbaar door 11.

• Deelbaarheid door 11

Zolang er tussen de twee enen van die getallen hierboven een even aantal nullen staan (het getal bestond uit een even aantal cijfers) dan gaat het goed...

Kortom:  alle palindroomgetallen met een even aantal cijfers deelbaar zijn door 11.