Rekenregels of begrijpen waar je mee bezig bent?

Als je twee breuken wilt optellen dan maak je de breuken gelijknamig en dan kan je ze 'onder één noemer zetten' en optellen.

\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{6}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)

Daar zou je best een rekenregel voor kunnen verzinnen. Je kunt tellers en noemers kruislings vermenigvuldigen, die optellen en delen door het product van de noemers:

\(
\Large\frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{2 \cdot 7 + 2 \cdot 3}}{{3 \cdot 7}} = \frac{{14 + 6}}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}
\)

Zo'n rekenregel voor het optellen van breuken kan handig zijn, bijvoorbeeld bij het onder één noemer zetten van gebroken termen met variabelen:

\(
\eqalign{
  & \frac{x}
{{x - 1}} + \frac{{x^2 }}
{{x + 3}} =   \cr
  & \frac{{x(x + 3) + x^2 (x - 1)}}
{{(x - 1)(x + 3)}} =   \cr
  & \frac{{x^2  + 3x + x^3  - x^2 }}
{{(x - 1)(x + 3)}} =   \cr
  & \frac{{x^3  + 3x}}
{{(x - 1)(x + 3)}} \cr}
\)

Bij zo'n rekenregel hoef je dan verder niet na te denken. Het antwoord rolt er, als het ware, bijna vanzelf uit.

Toch kom je die rekenregel zelden tegen. Er is, denk ik , een goede reden om dat ook niet te willen. Het is veel handiger om gelijknamig te maken. Dat werkt bij formules hetzelfde als bij getallen, dus waarom zou je een rekenregel moeten leren als je die helemaal niet nodig hebt?

Rekenregels, stappenplannen en ezelsbruggetjes hebben de neiging te worden vergeten, verhaspeld of op het verkeerde moment van stal gehaald. Dat is ook iets wat je niet moet willen. Jammer is het wel. Ik vond het bij de gebroken termen wel handig ergens.:-)

Bij HAVO wiskunde B gebruiken we hier en daar ook een soort van rekenregels. Die regels kan je dan uit je hoofd leren en op het goede moment inzetten:



Maar zijn die nu eigenlijk noodzakelijk? Zou je niet gewoon moeten weten hoe dat werkt en zelf bedenken hoe 't zit bij die gebroken vergelijkingen? Zou dat niet veel beter zijn?

Als je eenmaal dingen begrijpt hoef je nooit bang te zijn dat je iets kwijt raakt. Het zit gewoon tussen je oren...:-)

De stelling van Pythagoras

Je ziet hieronder een vierkant met daarbinnen nog een vierkant.



Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?

Hier zie je nog een vierkant met een kleiner vierkant.



Wat is de oppervlakte van vierkant EFGH?
Wat is de oppervlakte van driehoek BGC?
Wat is de oppervlakte van driehoek CFD, DEA en HBA?
Wat is de oppervlakte van vierkant ABCD?
Wat is dan de lengte van BC?

Conclusie?

Staartdeling

De ingeschreven cirkel

Waarom is het snijpunt van de bissectrices het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek?



De cirkel met middelpunt M raakt aan AB, BC en AC. Dat betekent dat de afstand van M tot AB, BC en AC precies gelijk is. Dat is dan ook meteen de straal van de ingeschreven cirkel.

De bissectrice van \(\angle\)A is de verzameling punten die even ver van AC en AB af liggen.



De bissectrice van \(\angle\)B is de verzameling punten die even ver van AB en BC af liggen.



Het snijpunt van de twee bissectrices is het middelpunt M van de ingeschreven cirkel. Dit punt ligt op gelijke afstand van AC, AB en BC.

De omgeschreven cirkel

Waarom is het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek?



Het middelpunt M van de cirkel die door A, B en C van de driehoek gaat ligt op gelijke afstand van A, B en C. Die afstand is namelijk precies de straal van de cirkel. Een cirkel is immers de verzameling punten die op een bepaalde afstand van het middelpunt M liggen.

De middellloodlijn van twee punten A en B is de verzameling punten die op gelijke afstand liggen van de punten A en B.



De punten van de middelloodlijn van B en C liggen op gelijke afstand van B en C.



Het snijpunt van de middellloodlijn van A en B en de middelloodlijn van B en C ligt dus op gelijke afstand van A, B en C. Dat is dan het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.

De som van de hoeken van een vierhoek

In de brugklas leer je van alles over hoeken. Je hebt scherpe hoeken, stompe hoeken, de rechte hoek en de gestrekte hoek. Je leert ook dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°.



Als ik aan bovenstaande driehoek nu 's een punt toevoeg dan krijg ik een vierhoek.



Zoals je ziet is \(\angle\)D=180°. Dat is dus een gestrekte hoek. Dat is ook een hoek, Dus ABDC is wel degelijk een vierhoek.

• De som van de hoeken van een vierhoek is 360°.

Maf rijtje

Er zwerft al enige tijd een aardig puzzeltje over het Internet...

In deze rij volgt aan het eind telkens hetzelfde getal x. Welk getal is x?
1, 11, 21, 32, 56, 1130, x, x, x, ...

Je moet 't maar 's oplossen...

Probleemaanpak klas 3

Ik heb een nieuwe leerroute voor klas 3 omtrent probleemaanpak. De digitale leerroute bestaat uit algemene informatie, een voorbeeld en 5 opdrachten.

1. Probleemaanpak
2. Een voorbeeld
3. Aanlegkosten
4. Schaakbord
5. Gemiddelde snelheid
6. Hangbrug
7. Eindopdracht

Ik moet alleen het voorbeeld nog invullen, maar voor de rest is het voor de bakker. Ja? Ja. Wat ja? Ja bakker...:-)

ggd en kgv in asp...

function ggd(a,b)
   a = abs(a)
   b = abs(b)
   if a = 0 then
      ggd = b
   else 
      if b = 0 then
         ggd = a
      else 
         if a > b then
            ggd = ggd(b, a mod b)
         else
            ggd = ggd(a, b mod a)
         end if
      end if
   end if
end function

function kgv(a,b)
   kgv=a*b/ggd(a,b)
end function

Deelbaar door 9

\(
n^3  + (n + 1)^3  + (n + 2)^3
\) is deelbaar door 9.