Voorbeeld partieel integreren

---

Vraag

---

Hoe primitiveer je $f(x)=(1+ax)e^{ax}$?

---

Uitwerking

---

De functie $f$ bestaat uit twee functies. We gaan partieel integreren.
Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:
$\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}$
De vraag is dan welke functie ik als $g'$ ga gebruiken. Het ligt dan voor de hand om $\eqalign{g(x)={\frac{1} {a}e^{ax} }}$ te nemen.
Neem:
$\eqalign{ & f(x) = 1 + ax \cr & f'(x) = a \cr & g(x) = \frac{1} {a}e^{ax} \cr}$
Dat geeft:
$\eqalign{ & \int {\left( {1 + ax} \right) \cdot e^{ax} } dx = \cr & \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1} {a}e^{ax} - \int {\frac{1} {a}e^{ax} \cdot a\,\,dx} = \cr & \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1} {a}e^{ax} - \int {e^{ax} dx} = \cr & \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1} {a}e^{ax} - \frac{1} {a}e^{ax} = xe^{ax} \cr}$

---

• Primitiveren