Het blijft lastig...:-)

Goniometrische vergelijkingen

In hoofdstuk 8 van Getal & Ruimte van HAVO wiskunde B leren leerlingen o.a. om goniometrische vergelijkingen op te lossen. Zie goniometrische vergelijkingen voor een overzicht. Dat valt nog niet eens mee. Maar deze week heb ik toch weer 's iets ontdekt dat mogelijkerwijs kan helpen.

In het SE stond deze opgave:

Opgave 6

Geef de exacte waarden van x met \(0 \leqslant x \leqslant 2\pi \)

1. \(\cos (x) = \frac{1}{2}\sqrt 3\)
2. \(\sin^2 (x + \frac{1}{3}\pi ) = 1\)
3. \(\sin (\pi x) = \frac{1}{2}\sqrt 3\)

Het idee is dan dat leerlingen dat oplossen met de eenheidscirkel. Dat is nog steeds het plan, maar je kunt natuurlijk ook je GR inzetten!

Het idee!?

Voor het berekenen van de hoek zet je je GR in. Dat ziet er dan (bijvoorbeeld) zo uit:



Je hebt dan al de helft van het antwoord te pakken! Met de eenheidscirkel en de cosinuslijn kan je dan de 'andere hoek' bepalen. Je bent dan al een stuk op weg. Mijn idee is dat dit beter werkt dan alles uit je hoofd doen.

Volledige inductie

Dat is ook toevallig

Week 47

De rechthoekige driehoek raakt aan de cirkel.

• Bereken exact de oppervlakte van de cirkel.

---

• Oplossing week 47

Dat is dan wel weer jammer...

Week 45

Op hoeveel manieren kan men 8 kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten als er precies 3 azen en 4 harten in moeten zitten?

---

• Oplossing week 45

Chocola...

Dat kan ook...

Toon aan: \(\frac{1}{3} \cdot {}^2\log \left( {4x - 2} \right) = {}^8\log \left( {4x - 2} \right)\)

• rekenregels machten en logaritmen
• rekenen met logaritmen

Een mini-opdracht

Wat zijn merkwaardige producten?

---

Volgens Wikipedia:

De benaming merkwaardig product wordt in de algebra gebruikt om enkele producten aan te duiden die het (be)merken waard zijn, dus waarvan het goed is ze te onthouden.

Veel gebruikte merkwaardige producten zijn:

\( \begin{array}{l} \left( {a + b} \right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ \left( {a - b} \right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \\ \end{array} \)

Op de Wikipedia-pagina staan nog meer merkwaardige producten. Maar deze drie zijn al mooi genoeg...

---

• Merkwaardige producten

Jippie:-)

\(\begin{array}{l} {\left( {1\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}\\ {\left( {2\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 4 + 2 + \frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}\\ {\left( {3\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {3 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {3^2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 9 + 3 + \frac{1}{4} = 12\frac{1}{4}\\ ...\\ {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} = {n^2} + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {n^2} + n + \frac{1}{4} \end{array}\)