De som van derde machten

Brahmagupta gaf regels voor het sommeren van getallenrijen. Voor de som van de derde machten van de eerste n natuurlijke getallen geeft hij de formule:

$\eqalign{1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + n^3  = \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}} {2}} \right)^2}$

Bewijzen werden er niet gegeven, dus het is onbekend hoe Brahmagupta deze formules heeft gevonden.
bron

Bewijs

$\eqalign{   & 1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + n^3  = \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}} {2}} \right)^2   \cr   & Neem\,\,n = 1  \cr   & 1^3  = \left( {\frac{{1\left( {1 + 1} \right)}} {2}} \right)^2  = 1  \cr   & Klopt!  \cr   & Neem\,\,n + 1  \cr   & 1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + n^3  + \left( {n + 1} \right)^3  = \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} {2}} \right)^2   \cr   & \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}} {2}} \right)^2  + \left( {n + 1} \right)^3  = \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} {2}} \right)^2   \cr   & \frac{1} {4}n^4  + 1\frac{1} {2}n^3  + 3\frac{1} {4}n^2  + 3n + 1 = \frac{1} {4}n^4  + 1\frac{1} {2}n^3  + 3\frac{1} {4}n^2  + 3n + 1  \cr   & Klopt! \cr}$