Discrete dynamische modellen

• voorkennis
• lineaire differentievergelijkingen van de eerste orde
• logistische groei
• stelsels differentievergelijkingen
• lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde
• dynamische modellen met Coach

Op wat 'uitwerkingen' en 'computerdingen' na is het laatste hoofdstuk VWO 4 wiskunde D voorlopig klaar. Ik ga nog wel iets bedenken voor de computerprogramma's. Volgend jaar maar weer 's verder kijken.

Er is nog een oplossing....

Eén van de leukste dingen in wiskundige zin (vind ik) is het bekijken van oplossingen die geen oplossingen zijn. Je moet je voorstellen dat je bij een probleem een wiskundig model maakt, vervolgens los je dat wiskundige probleem op en dan vertaal je de oplossing weer naar de praktijk:

 

Je kunt je voorstellen dat als je soms oplossingen krijgt die niet voldoen. Een negatieve lengte, een negatief aantal mensen in een kamer, een vrachtauto van 33 meter, enz...

 

Doorgaans zijn we in de wiskunde nooit te beroerd om bij 'rare oplossingen' er snel v.n. bij te schrijven. Dat is een afko voor 'voldoet niet'.

 

Toch moet je daar voorzichtig mee zijn. Het is soms juist heel aardig om te kijken waar zo'n mallotige oplossingen vandaan komt. Een voorbeeld?

 

Eén van de opdrachten uit probleemaanpak was het volgende vraagstuk:

---



Twee metselaars bouwen samen aan één toren. Ze doen er 20 uur over. Als ze elk apart een toren bouwen doet de ene er 9 uur langer over dan de andere.

Hoe lang doet elk over het bouwen van 1 toren?

---

't Was nog een beetje een gedoe maar uiteindelijk zijn we er in geslaagd een vergelijking op te stellen die we (om dat moment) nog niet op kunnen lossen...:-)

\(20\cdot(\large\frac{1}{x}+\frac{1}{x+9})\)=1

Met de grafische rekenmachine kan je ook (sommige) vergelijkingen oplossen. Op een vergelijking oplossen met je GR kan je zien hoe dat werkt.

Maar hoe zit dat nu met die oplossing \(x=-5\)? Is dat onzin? Voldoet niet?

Niet echt. De ene metselaar 'bouwt' \(-\frac{1}{5}\) toren per uur! Dat is geen bouwen, maar afbreken. De andere metselaar bouwt \(\frac{1}{4}\) toren per uur. Dat is meer dan de eerste kan afbreken, dus uiteindelijk komt het wel goed...:-)

Daar kan je dan iets van leren. Af en toe krijg je wel 's het idee dat 'sommige mensen' snel ogenschijnlijk onzinnige oplossingen afwijzen omdat ze zich niet voor kunnen stellen dat het ergens op slaat. Daar moet je dus (uiteindelijk) terughoudend in zijn. Voordat je 't weet krijg je weer meer inzicht in je problemen...:-)

Voorbeelden

• Een vierkant met kwart cirkel

Groeiprocessen

• voorkennis
• evenredig en omgekeerd evenredig
• logaritmische schalen
• toepassingen van logaritmen
• geremde groei

Ik geloof dat de 'samenvatting' HAVO 4 wiskunde D klaar is. Met het laatste hoofdstuk over groeiprocessen houd ik het voor gezien. Het lijkt me erg handig:-)

De normale verdeling

• voorkennis
• de standaardafwijking
• eigenschappen van de normale verdeling
• oppervlakten onder normaalkrommen
• toepassingen van de normale verdeling
• de binomiale en de normale verdeling

...en dat was dan hoofdstuk 7 voor HAVO 4 wiskunde D. Doe's normaal man!:-)

Hoeken en afstanden

• voorkennis
• hoeken bij lijnen en vlakken
• afstanden in de ruimte
• vergelijkingen van vlakken
• hoeken en vectoren

Op basis van het hoofdstuk 'hoeken en afstanden' van VWO 4 wiskunde D is de HAVO-versie snel gemaat. Laat 'kruisende lijnen' en 'het uitproduct' weg en je bent er al bijna. Nog wel iets toegevoeg over 'ribben in een kubus' en 'evenwijdige vlakken in een kubus', maar uiteindelijk snel gemaakt.

Het volgende hoofdstuk gaat over de normale verdeling. Ook leuk:-)

Kansverdelingen

• voorkennis
• de productregel
• het herhalen van kansexperimenten
• trekken met en zonder terugleggen
• de verwachtingswaarde
• de binomiale verdeling

't Begint langzamerhand wel saai te worden, maar 't is onvermijdelijk. Ik ben dan wel een cynische mopperkant (denken sommige mensen) maar ik ben tenminste goed voorbereid na de vakantie. Ik bedoel maar... 't gaat uiteindelijk om wat je doet... HAVO 4 wiskunde D

Lijnen, cirkels en parabolen

• voorkennis
• afstanden en bewegingen
• cirkel en raaklijn
• pool en poollijn bij cirkel
• de parabool
• analytische methoden

Ik heb hier en daar nog wat gaten, maar voorlopig kan het zo wel denk ik. Volgend jaar zien we wel verder... Nu ga ik eerst HAVO 4 wiskunde D afmaken. Hoofdstuk 8 VWO wiskunde D moet nog maar even wachten. 't Is gewoon te warm voor recursie...:-)

Later meer misschien...

Discrete kansverdelingen

• voorkennis
• een kansexperiment vaker uitvoeren
• trekken met en zonder terugleggen
• de verwachtingswaarde
• de binomiale verdeling
• de Poisson-verdeling

Je moet gewoon geen haast hebben...

VWO 4 wiskunde D

Ruimtemeetkunde

• voorkennis
• hoeken bij lijnen en vlakken
• afstanden in de ruimte
• vergelijkingen van vlakken
• hoeken en vectoren
• afstanden en vectoren

Dat was zeer omvangrijk... maar ja wat wil je... de ruimte...:-)

Discrete wiskunde

• voorkennis
• het binomium van Newton
• volledige inductie
• recursieve formules
• rekenkundige rijen
• meetkundige rijen

Dat was nog een heel gedoe...

Driehoek van Pascal

Hoeveel kortste routes zijn er van D naar een van plaatsen met een L?

• Oplossing week 1

Kansrekenen

• voorkennis
• het kansbegrip
• empirische kansen
• het vaasmodel en de productregel
• de somregel en de complementregel
• voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid

Break a leg...:-)

Driehoeken en lijnen

• voorkennis
• goniometrische verhoudingen
• vectoren
• vectoren en hoeken
• vergelijkingen van lijnen
• richtingscoëfficiënt en normaalvector

Hoofdstuk 2 wiskunde D VWO 4... olé...

Combinatoriek

• voorkennis
• de somregel en de productregel
• variaties en herhalingsvariaties
• combinaties en herhalingscombinaties
• variaties en combinaties toepassen

Hoofstuk 1 wiskunde D voor VWO 4... ook weer gedaan.

Ruimtemeetkunde

• voorkennis
• punten, lijnen en vlakken
• coördinaten in de ruimte
• perspectieftekenen
• schaduw en oppervlakte

... HAVO 4 wiskunde D deel 1 uit...:-)

Tekenen van doorsneden

Teken steeds de doorsnede door de drie punten. De punten liggen steeds op de ribben (of op het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen).

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

 

het tekenen van doorsneden

Kansrekening

• voorkennis
• het kansbegrip
• empirische kansen
• het vaasmodel
• de somregel en de complementregel

Vlakke meetkunde

• voorkennis
• goniometrische verhoudingen
• de sinusregel en de cosinusregel
• vectoren
• vectoren en hoeken
• vergelijkingen van lijnen

Combinatoriek

• voorkennis
• telproblemen visualiseren
• tellen met en zonder herhaling
• permutaties en combinaties
• combinaties toepassen

Ik was het eigenlijk niet van plan, maar 't eerste hoofdstuk wiskunde D havo is af. 't Is een hoop werk, maar wel nuttig. Voor mezelf vooral...:-)

Ik moest wel even zoeken in WisFaq, maar dit vond ik wel een mooie opgave:

Een winkel heeft twee uitstalramen. Er moeten zes kledingstukken geëtaleerd worden. Op hoeveel manieren kan men deze kledingstukken etaleren als er in elk uitstalraam ten minste twee kledingstukken moeten hangen?

Wat dat betreft is er wel een verschil tussen wiskunde A en wiskunde D.

Tja...:-)

 

Gegeven zijn twee gelijkvormige rechthoeken. De eerste rechthoek is 2 bij 5, de andere rechthoek is 10 bij p: wat is p?

 

Deze was ook nog aardig:

• Neem 's aan dat je 200 m prikkeldraad hebt. Wat is de oppervlakte van het grootst mogelijke terrein dat je daarmee kan afzetten!?

Out of the box denken:-)

Over konijnen gesproken...:-)

"In 1859 werden door een Engelsman 24 wilde konijnen ingevoerd in Australie voor de plezierjacht. De natuurlijke vijand van het konijn ontbrak in Australie en er ontstond een ware konijnenplaag. In 2000 waren er ruim 300 miljoen konijnen. Als we veronderstellen dat de groei exponentieel verliep, bepaal dan het groeipercentage per jaar."

Eindverslag eXperiment taakgerichte instructie

Ik geloof dat ik er klaar mee ben...:-)

• 0. Inleiding
• 1. Raaklijnen, toppen en optimaliseren
• 2. De productregel
• 3. Differentieren van machtsfuncties
• 4. De kettingregel
• 5. Taakgerichte instructie
• 6. Resultaten
• 7. Discussie
• A. Opzet van de lessen
• B. Lesmateriaal

Een sommetje van project X

Hieronder zie je het trapezium ABCD met twee rechte hoeken:

• Geef een formule voor de omtrek van ABCD.
• Wat is x als de omtrek gelijk is aan 20?

---

Die laatste vraag lijkt misschien een beetje vreemd, maar wie let daar op? Leerlingen dus: dat kan toch helemaal niet? Of toch wel? Dan is het toch geen trapezium meer? Of geeft dat niet?

Aandelen

Ik had er nog maar 's ingegooid. De rekentoetsvoorbeeldvraag over aandelen:



In de 3e klas voor de opdracht over de rekentoets van project X. Ik had er al eerder over geschreven op voorbeeld rekentoetsvraag over aandelen.

Je kunt bij deze vraag in ieder geval twee dingen fout doen. De transactiekosten aftrekken in plaats van optellen of de verkoopskosten aftrekken in plaats van optellen. Maar sinds gisteren weten we ook weer dat je ook gewoon '3340' kan schrijven als je '3440' bedoelt, maar dat is dan rekentoetsgewijs gewoon fout. Stom he?

De vraag over het kunstwerk was ook mooi:



Helemaal goed... behalve dan afronden op duizendtallen... Hoe ging dat ook alweer. En ook in dat geval... gewoon fout. Maar zo zit ik niet in elkaar. Goed gedaan!

Ik geloof dat de leerlingen in 3B wel blij waren met de vragen:-)

Beoordeling van de lessen

Kun je van de verschillende onderdelen een beoordeling geven?


Uit Resultaten

Voor mijn gevoel ging de eerste les inderdaad vrij moeizaam (blauw). De tweede les over de productregel was beter (rood). De derde les was ook weer moeizaam (groen). De vierde les over de kettingregel ging goed (paars).

Ik denk dat je kunt concluderen dat de les 'productregel' het best was. Dat klopt (naar mijn idee) ook wel. 't Was een heldere instructie, niet heel erg ingewikkeld en vooral niet te lang. De les over de kettingregel was ook goed, maar misschien aan de lange kant...:-)