Begrip en inzicht

"In mathematics you don't understand things. You just get used to them."
John von Neumann"

Het doel van wiskundonderwijs zou je vooral moeten zoeken in het verwerven van een wiskundige houding.

• Sommige mensen vinden dat je bij wiskunde dingen leert waar je eigenlijk niet zo veel aan hebt. Wie lost er na de middelbare school nog een vergelijking op?

Dat is een verkeerd uitgangspunt. Het gaat uiteindelijk niet zo zeer om het kunnen oplossen van allerlei soorten vergelijkingen (hoewel dat ook wel handig kan zijn) maar om het redeneren, het soort problemen dat je tegenkomt en hoe je die op kan lossen, de mogelijkheid om abstracte structuren te bestuderen, het leren redeneren, het kritisch leren kijken naar gegevens, omgaan met waarheid, logica en zekerheden.

Je mag hopen dat de vaardigheden en kennis die je opdoet bij het leren oplossen van bijvoorbeeld vergelijkingen ook zijn weerslag heeft op andere menselijke bezigheden. Maar is dat wel zo?

Bij het lesmateriaal moet je proberen uit te zoomen! Hoe past dit lesmateriaal in de lange leerlijn omtrent het verwerven van die hogere kennis, begrip en inzicht? Draagt het daar aan bij? Geeft het goede leerlingen de mogelijkheden om zich te verdiepen? Is er een 'waarneembare neiging' naar meer begrip en meer abstractie?

Wiskunde leren heeft te maken heeft met begrip en inzicht. Hoe zit dat precies in elkaar? Bestaat er zoiets als begrip of inzicht? Wat is dat dan? Kan je dat leren? Kan je dat meten? Of zijn begrip en inzicht misschien een verzameling van allerlei andere dingen als ervaring, een goed geheugen of andere algemene vaardigheden?

Kortom? Wat zou het zijn? Moet je daar als leraar iets mee? Nee? Of Ja? En zo ja, wat moet je er dan mee?

---

• Vaardigheden, begrip en inzicht
• Voorkennis, algebra, probleemaanpak, begrip en inzicht
• De wijzers van de klok  
• Het derde merkwaardige product
• Raaklijnen  
• Drie manieren om (geen) wiskunde te leren
• Waar is dat voor nodig?  
• Twee verschillende oplossingen van hetzelfde probleem?
• Vakdidactiek  
• Symbol sense of beroepsdeformatie?:-)
• Het onzekerheidsprincipe
• Wiskunde leren is een fractal
• De kapitein
• Opgaven uit de voorbeeldtoets 3F van 2013
• Druk x uit in y  
• Puzzel

Voorkennis, algebra, probleemaanpak, begrip en inzicht

Op Weekpuzzels 2017 deel 2 stond een aardige opgave:



Op Oplossing week 23 staat ook een uitwerkingen van de oplossing. Op de uitwerking van de Wiskunde Academie was nog wel iets op te merken in het kader van wortels in de noemer.

De vraag is nu 'hoe pak je deze opgave aan?' en met welk 'begrip en inzicht' hebben we hier van doen?

Aanpak

In de oplossing staat niets over hoe je deze opgave aanpakt. Kennelijk heb ik iets gedaan met verhoudingen. Maar hoe kom je er op?

Voor het berekenen van de oppervlakte heb ik de lengte van een zijde en de bijbehorende hoogte nodig. Als AB=8 en ik zou de lengte van CD kennen dan was ik er al. Maar CD ken ik niet dus laat ik de lengte van CD dan x noemen.

Als CD=x dan is AD=x wegens de 45-45-90-tekendriehoek ADC. Je kunt nu DB uitdrukken in x zodat je in de 30-60-90-driehoek DBC de twee rechthoekszijden kan uitdrukken in x. In zo'n driehoek ken ik immers de verhoudingen van de zijden.

Die eigenschappen van de tekendriehoeken is de kennis die je nodig hebt. De aanpak is om vanuit de kennis een plan te maken. Wat weet ik eigenlijk van rechthoekige driehoeken met de hoeken zoals die gegeven zijn...

Je kunt nu een verhoudingstabel opstellen voor driehoek DBC. Met DB=8-x en CD=x in de verhouding 1:√3 kan je waarde van x berekenen. De oppervlakte van driehoek ABC volgt spoedig daarna...:-)

Begrip en inzicht

De oppervlakte van een willekeurige driehoek, werken met tekendriehoeken, een vergelijking opstellen, vergelijkingen oplossen, rekenen met wortels, ... Als dat allemaal lukt ben je (als docent) waarschijnlijk al blij. In dat geval zijn als die wiskundelessen niet voor niets geweest.

In de praktijk doen zich mogelijkerwijs de volgende problemen voor:

• De leerlingen lijken niet de beschikking te hebben over de noodzakelijk kennis uit de onderbouw
• Leerlingen hebben niet geleerd om problemen aan te pakken
• Leerlingen lopen vast op de algebra

Het ligt voor de hand je als docent dan vooral te richten op de kennis en vaardigheden maar is dat wel de oplossing!? Wat is eigenlijk precies het probleem?

Voorkennis

Je zou de voorkennis kunnen indelen in kennen, kunnen en begrijpen. Je moet begrijpen wat de oppervlakte van een driehoek is, hoe je, bij gegeven afmetingen, de oppervlakte uit zou kunnen rekenen en misschien moet je ook de formule wel kennen. Iets met tekendriehoeken... een portie algebra... maar... waarschijnlijk is het veel belangrijker hoe je dit soort problemen aan kan pakken.

Probleemaanpak

Bij probleemaanpak zet je de instrumenten in die je in de onderbouw hebt geleerd. Dat was het plan. De kunst is om te herkennen hoe je je probleem kunt vertalen naar wiskunde, vervolgens aan de slag met de wiskunde om het probleem op te lossen om vervolgens je oplossing te vertalen naar je probleem. Daar is NIETS mis mee. Op dit weblog kan je daar meer over vinden.

Algebra

Als je eenmaal op de juiste uitdrukking bent gekomen dan kan je de zaak verder uitwerken. Die (algebraische) vaardigheden die je daar voor nodig hebt zouden (halverwege de 4e klas) aanwezig moeten zijn.

Conclusie

Voor dit soort opgave is er heel wat nodig aan kennis en vaardigheden. Het zijn (volgens mij) complexe bezigheden. Hier komt alles samen: kennen, kunnen en begrijpen. Inderdaad, maar hoe kan je dat leren? Dat is niet zo eenvoudig als sommigen van ons willen doen geloven. Het gaat niet alleen om algebraische vaardigheden, maar ook over probleemaanpak, atitude en begrip en inzicht. Wat is hier geboden? Hoe pak ik dit aan? Wat zit er achter? Hoe kan je dat leren?

---

• Inleiding begrip en inzicht

Ontbinden in factoren

\( \eqalign{ & 3x^2 + 4x + 1 \cr & 3x^2 + x + 3x + 1 \cr & 3x(x + 1) + 3x + 1 \cr & (3x + 1)(x + 1) \cr} \)

Week 8

Aan een hondenshow doen 98 honden mee, Er zijn kleine honden en grote honden. Er zijn 36 meer kleine dan grote honden.

• Hoeveel grote honden doen er mee aan de show?

---

• Oplossing week 8

Week 7

Een vervoersonderneming beschikt over 100 vrachtwagens. Men schildert op deze wagens volgnummers van 1 tot en met 100.

• Hoeveel maal wordt het cijfer 2 geschilderd?

---

• Oplossing week 7

Week 6

Je hebt vijf getallen. Als je er telkens twee bij elkaar optelt, krijg je de volgende antwoorden: 0, 1, 3, 5, 5, 7, 8, 9, 10 en 12. Wat zijn de vijf getallen?

---

• Oplossing week 6

Week 5

• Voor hoeveel natuurlijke getallen van 3 cijfers is het middelste cijfer het gemiddelde van de 2 overige cijfers?

---

• Oplossing week 5

Week 4

De bemanning van een zeilschip bestaat uit 25 personen. Toen het schip een haven binnenliep had de kok nog voor 8 dagen proviand. Onverwacht stapten 5 bemanningsleden af.

• Hoe lang kon de kok nog met de voorraden toe?

---

• Oplossing week 4

Week 3

Je hebt per ongeluk 3 lege batterijen in een doos met goede batterijen van het type AAA 1,5V gedaan. Die doos bevat nu 10 batterijen. Je hebt 4 nieuwe batterijen nodig voor je grafische rekenmachine. Je neemt willekeurig een batterij uit de doos, test deze en legt ze apart. Zodra je vier goede batterijen hebt stop je.

• Wat is nu de kans dat je 4 goede batterijen hebt na exact vijfmaal testen van een batterij?

---

• Oplossing week 3

Week 2

If the sum of the digits of a two digit number is 7, then what are those digits when the reversed is 9 more than the original?

---

• Oplossing week 2