donderdag 29 december 2016
woensdag 28 december 2016
Gebroken exponenten en de rekenregels
Wat dacht je van?
\( \eqalign{\frac{2} {{\root 4 \of 8 }} = \frac{{\root 4 \of {16} }} {{\root 4 \of 8 }} = \root 4 \of 2} \)
Dat kan ook, maar dan heb je geen gebroken exponenten noch rekenregels nodig. Is dat handig of niet?
\( \eqalign{\frac{2} {{\root 4 \of 8 }} = \frac{{\root 4 \of {16} }} {{\root 4 \of 8 }} = \root 4 \of 2} \)
Dat kan ook, maar dan heb je geen gebroken exponenten noch rekenregels nodig. Is dat handig of niet?
zaterdag 24 december 2016
Prettige kerstdagen
\( \eqalign{ & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} \Rightarrow t = a \cr & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} + \frac{1} {b} \Rightarrow t = \frac{{ab}} {{a + b}} \cr & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c} \Rightarrow t = \frac{{abc}} {{ab + ac + bc}} \cr & \frac{1} {t} = \frac{1} {a} + \frac{1} {b} + \frac{1} {c} + \frac{1} {d} \Rightarrow t = \frac{{abcd}} {{abc + abd + acd + bcd}} \cr} \)
Enzovoort...
zaterdag 17 december 2016
woensdag 14 december 2016
Ik vertrouw op de Heer
Er zit een man tijdens een grote overstroming voor zijn huis. Er komt een vrouw in haar bootje langs en vraagt hem of hij hulp nodig heeft. “Nee, dank u”, zegt de man, “ik vertrouw op de Heer.”
Het water blijft maar stijgen. De man moet zelfs het dak op. Er komt weer een bootje langs, dit keer vol met mensen. Er wordt geroepen: “Stap in, er is nog plaats genoeg.” “Nee, bedankt”, zegt de man, “ik vertrouw op de Heer.”
Er komt een helikopter boven hem hangen en er wordt een touwladder uitgeworpen. “Nee, bedankt. Niet nodig”, roept de man, “ik vertrouw op de Heer”.
Het water stijgt zo hoog dat de man verdrinkt.
In de hemel gekomen vraagt de man aan God: “Waarom heeft U mij niet gered?”
Waarop God antwoordt: “Wat bedoel je? Ik heb twee keer een boot gestuurd en daarna nog een helikopter!”
Het water blijft maar stijgen. De man moet zelfs het dak op. Er komt weer een bootje langs, dit keer vol met mensen. Er wordt geroepen: “Stap in, er is nog plaats genoeg.” “Nee, bedankt”, zegt de man, “ik vertrouw op de Heer.”
Er komt een helikopter boven hem hangen en er wordt een touwladder uitgeworpen. “Nee, bedankt. Niet nodig”, roept de man, “ik vertrouw op de Heer”.
Het water stijgt zo hoog dat de man verdrinkt.
In de hemel gekomen vraagt de man aan God: “Waarom heeft U mij niet gered?”
Waarop God antwoordt: “Wat bedoel je? Ik heb twee keer een boot gestuurd en daarna nog een helikopter!”
Het kleinste gemene veelvoud...
Komt in de onderbouw GGD em KGV voor in de boeken? Maar zag ik dat wel een keer in de voortgangstoets van het CITO? Nou, hoe dan ook... In WisFaq kwam ik deze vraag tegen:
\(
\eqalign{kgv(a,b) = \frac{{ab}}
{{ggd(a,b)}}}
\)
Maar waar laat je het? Welaan, ik zet het maar hier neer.
Meer informatie:
- Wat is het kleinste gemene veelvoud (KGV) van 20 en 28?
- Schrijf de veelvouden van 20 op: 20, 40, 60, 80 ............
- Schrijf de veelvouden van 28 op: 28, 56, 84, 112, ...........
- Kijk welk getal je als eerste in beide rijen ziet staan.
\(
\eqalign{kgv(a,b) = \frac{{ab}}
{{ggd(a,b)}}}
\)
Maar waar laat je het? Welaan, ik zet het maar hier neer.
Meer informatie:
dinsdag 13 december 2016
Hoogleraren
13 december 2016 - In 2015 steeg het aantal vrouwelijke hoogleraren met 0,9%. Het percentage universitair hoofddocenten steeg met 0,7 en het van universitair docenten met 1,6%. Met deze groei duurt het tot 2054 voor er een gelijke m/v-verdeling is onder hoogleraren, blijkt uit de Monitor Vrouwelijke Hoogleraren 2016.
- Eh... sommetje?
zaterdag 10 december 2016
donderdag 8 december 2016
Wiskundeonderwijs
"Mathematics education is much more complicated than you expected even
though you expected it to be more complicated than you expected"
...
woensdag 7 december 2016
Ruimtelijk inzicht
"Als je studenten die een exact vak doen vergelijkt met andere studenten, is er één groot verschil: ze scoren een stuk beter op ruimtelijke vaardigheden. Dus als we als maatschappij meer bèta’s nodig hebben, moeten we stimuleren dat kinderen dat ruimtelijk inzicht ontwikkelen."
bron
bron
maandag 5 december 2016
Heeft herkansen zin?
Volgens de formulekaart: "als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we 'het verschil is middelmatig'..." Maar ik word er wel een beetje blij van, ergens...:-)
zondag 4 december 2016
zaterdag 3 december 2016
Week 49
At a party of n people, some pair of people are friends with the same number of people at the party.
donderdag 1 december 2016
Week 48
Laurien, Lennert en Lisanne gingen vogels observeren. Elk van hen zag één vogel die geen van de anderen zag. Elk van hen zag één vogel niet, die beide anderen wel zagen. En één vogel zagen ze alledrie. Van de vogels die Laurien zag, waren er twee geel. Van de vogels die Lennert zag, waren er drie geel. Van de vogels die Lisanne zag, waren er vier geel.
- Hoeveel gele vogels werden er geobserveerd?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
woensdag 30 november 2016
dinsdag 29 november 2016
Goniometrische vergelijkingen
In hoofdstuk 8 van Getal & Ruimte van HAVO wiskunde B leren leerlingen o.a. om goniometrische vergelijkingen op te lossen. Zie goniometrische vergelijkingen voor een overzicht. Dat valt nog niet eens mee. Maar deze week heb ik toch weer 's iets ontdekt dat mogelijkerwijs kan helpen.
In het SE stond deze opgave:
Opgave 6
Het idee!?
Voor het berekenen van de hoek zet je je GR in. Dat ziet er dan (bijvoorbeeld) zo uit:
Je hebt dan al de helft van het antwoord te pakken! Met de eenheidscirkel en de cosinuslijn kan je dan de 'andere hoek' bepalen. Je bent dan al een stuk op weg. Mijn idee is dat dit beter werkt dan alles uit je hoofd doen.
In het SE stond deze opgave:
Opgave 6
Geef de exacte waarden van x met \(0 \leqslant x \leqslant 2\pi \)
- \(\cos (x) = \frac{1}{2}\sqrt 3\)
- \(\sin^2 (x + \frac{1}{3}\pi ) = 1\)
- \(\sin (\pi x) = \frac{1}{2}\sqrt 3\)
Het idee!?
Voor het berekenen van de hoek zet je je GR in. Dat ziet er dan (bijvoorbeeld) zo uit:
Je hebt dan al de helft van het antwoord te pakken! Met de eenheidscirkel en de cosinuslijn kan je dan de 'andere hoek' bepalen. Je bent dan al een stuk op weg. Mijn idee is dat dit beter werkt dan alles uit je hoofd doen.
maandag 28 november 2016
zondag 27 november 2016
zondag 13 november 2016
zaterdag 12 november 2016
WOiP
Naar aanleiding van 2. lineaire of eerstegraadsfunctie doet een leerling zoiets als:
Wat is het nu? Een punt of een komma? Maar dit was niet het idee!
De opdracht is kennelijk niet helemaal gelukt...:-)
Wat dacht je hiervan?
Maar dat kan veel handiger:
Wat is het nu? Een punt of een komma? Maar dit was niet het idee!
De opdracht is kennelijk niet helemaal gelukt...:-)
Wat dacht je hiervan?
Maar dat kan veel handiger:
- Iets nieuws leren gaat niet vanzelf. Waarom zou je je ‘oude werkwijze’ veranderen als dat niet nodig is? Oppassen dus…
- Doen de digitale leermiddelen wel wat nodig is? Ik vind dat je voor een komma een komma moet gebruiken en geen punt. Dit applet was niet geschikt om te checken of de nieuwe manier begrepen is. Je denkt dat dan wel los loopt, maar dat is niet zo. De vraag is dan of dat zou dan wel moeten… Misschien is het juist goed! Nu je ziet dat iedereen maar wat doet zou je daar dan ’s over na kunnen denken…:-)
- Het zou handig zijn om de mogelijkheid te hebben om zelf opdrachten af- of goed te keuren en van commentaar voorzien. Prompte feedback dus. Dat werkt. Dat weet ik toevallig… dus dat is technisch allang mogelijk.
- In ’t algemeen wordt de meeste tijd verprutst met technische middelen (die niet werken). Daarna wordt er mondjesmaat over de inhoud gepraat. Maar waar het nu eigenlijk om gaat komt eigenlijk nauwelijks aan bod…
vrijdag 11 november 2016
Week 45
Op hoeveel manieren kan men 8 kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten als er precies 3 azen en 4 harten in moeten zitten?
donderdag 10 november 2016
vrijdag 4 november 2016
Dat kan ook...
Toon aan: \(\frac{1}{3} \cdot {}^2\log \left( {4x - 2} \right) = {}^8\log \left( {4x - 2} \right)\)
Een mini-opdracht
Wat zijn merkwaardige producten?
Volgens Wikipedia:
Veel gebruikte merkwaardige producten zijn:
\( \begin{array}{l} \left( {a + b} \right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ \left( {a - b} \right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \\ \end{array} \)
Op de Wikipedia-pagina staan nog meer merkwaardige producten. Maar deze drie zijn al mooi genoeg...
Volgens Wikipedia:
De benaming merkwaardig product wordt in de algebra gebruikt om enkele
producten aan te duiden die het (be)merken waard zijn, dus waarvan het
goed is ze te onthouden.
Veel gebruikte merkwaardige producten zijn:
\( \begin{array}{l} \left( {a + b} \right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ \left( {a - b} \right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \\ \end{array} \)
Op de Wikipedia-pagina staan nog meer merkwaardige producten. Maar deze drie zijn al mooi genoeg...
Extra leeractiviteiten 5-plan nummer 1
Deze leerroute bestaat uit 10 voorbeeldopgaven uit de 3F-rekentoets. Bij de rekentoets geef je alleen je antwoord. In deze leerroute geef je bij alle opgaven ook je berekeningen. Je docent kijkt je werk na en kan je helpen de fouten te verbeteren. Als het goed is leer je daar van...
De vraag is 'hoe pak je nu zo'n rekenopgave aan?' Je kunt daarbij een aantal stappen onderscheiden. Als je die stappen neemt dan kom je er wel...
Het stappenplan:
- Lees het vraagstuk heel goed door.
- Kun je ergens een schets of een schema van maken?
- Wat moet je berekenen? Wat voor soort antwoord moet je geven?
- Welke geleerde wiskundige theorie kan je koppelen aan de vraag en de gegevens?
- Ga nu pas aan de slag met berekenen.
- Geef het eindantwoord.
- Controleer of het antwoord klopt. Heb je antwoord op de vraag gegeven? Heb je goed afgerond?
Afspraken
- Geef procenten (tenzij anders vermeld) in één decimaal nauwkeurig
- Rond geldbedragen af op hele centen, tenzij anders gevraagd.
- Geef in de leerroute je berekeningen en zorg dat je antwoord geeft op de vraag
Meer informatie achter slot en grendel kan je niet vinden op R. het 5-plan
Jippie:-)
\(\begin{array}{l}
{\left( {1\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}\\
{\left( {2\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 4 + 2 + \frac{1}{4} = 6\frac{1}{4}\\
{\left( {3\frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {3 + \frac{1}{2}} \right)^2} = {3^2} + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 9 + 3 + \frac{1}{4} = 12\frac{1}{4}\\
...\\
{\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2} = {n^2} + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {n^2} + n + \frac{1}{4}
\end{array}\)
donderdag 3 november 2016
Dat is niet helemaal gelukt...
Als een lijn door \(A\) en \(B\) gaat dan kan je ook op deze manier een vergelijking van die lijn opstellen:
\(\eqalign{a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)
\(\eqalign{f(x)=a(x-x_A)+y_A}\)
Maar kennelijk is dat niet helemaal gelukt...
Dat is ongeveer het idee. Je doet maar wat en als dat werkt dan is het goed. Ok... als het dan soms niet werkt dan maar niet. Meestal ging het goed... ok... 't is niet handig... kortom... een gemiste kans.
Makkelijker kunnen we 't niet maken... maar dan moet je 't wel oppikken...:-)
\(\eqalign{a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)
\(\eqalign{f(x)=a(x-x_A)+y_A}\)
Maar kennelijk is dat niet helemaal gelukt...
Dat is ongeveer het idee. Je doet maar wat en als dat werkt dan is het goed. Ok... als het dan soms niet werkt dan maar niet. Meestal ging het goed... ok... 't is niet handig... kortom... een gemiste kans.
Makkelijker kunnen we 't niet maken... maar dan moet je 't wel oppikken...:-)
donderdag 27 oktober 2016
Voor de troepen vooruit lopen
Als je met mensen praat over onderwijs, leren en leerprocessen dan heeft iedereen daar (uiteraard) zo zijn eigen ideeën over. Mijn probleem is meestal dat ik dan steeds maar zit te denken dat wat iedereen ook roept dat mogelijk inderdaad een rol zou kunnen spelen maar het daar steeds maar niet om gaat. De vraag is dan natuurlijk waar gaat het nu eigenlijk om? Wat weten we er nu eigenlijk van? Wat is de essentie?
- Maar ja... doe dat maar 's...:-)
- Dus... ik bedoel maar...:-)
zaterdag 22 oktober 2016
woensdag 19 oktober 2016
Week 42
Lara zegt tegen haar nichtje: ik ben tweemaal zo oud als jij was, toen ik zo oud was als jij nu bent. En als jij zo oud zal zijn als ik nu, dan zijn we samen 63 jaar.
- Hoe oud zijn beide meisjes nu?
dinsdag 11 oktober 2016
maandag 3 oktober 2016
zondag 2 oktober 2016
zaterdag 1 oktober 2016
Cantor's diagonal elephant
Q: What's big, grey, and proves the uncountability of the reals?
A: Cantor's diagonal elephant
A: Cantor's diagonal elephant
dinsdag 27 september 2016
Jippie!
\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,P\,\,\,\,\,\,\,\,Q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P \Rightarrow Q \cr
& \overline {\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr
& \,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W \cr
& \underline {\,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,O\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \cr
& \neg \left( {P \Rightarrow Q} \right) \Leftrightarrow P \wedge \neg Q \cr} \)
maandag 26 september 2016
zaterdag 24 september 2016
dinsdag 20 september 2016
zondag 18 september 2016
Klas 4 wiskunde D
Wiskunde D? Wat moet je er mee? :-)
Op het ogenblik doe er niks mee, maar misschien heeft iemand er nog iets aan:
De groeten...:-)
Wat is dat nu?:-)
\( \int \left( - {20 \over \left(4 x\right) ^2 } + {5 \over 4 x}\right)dx = {5 \over 4} \log \left( \left|x\right|\right) + {5 \over 4 x} + C \)
zondag 11 september 2016
Wiskunde 3 HAVO en 3 VWO
Ik heb inmiddels de checklists en de samenvattingen voor klas 3 ook maar weer op wiskundeleraar.nl staan. Zolang er mensen zijn die er iets aan hebben lijkt me dat wel gerechtvaardigd. Alhoewel... eigenlijk niet natuurlijk. Ik ben Gekke Henkie niet... alhoewel... eigenlijk dus wel.
Of ga meteen naar:
Of ga meteen naar:
woensdag 7 september 2016
zaterdag 3 september 2016
woensdag 24 augustus 2016
Week 34
- Op welke hoogte raken de ladders elkaar?
Er zijn nog veel meer vergelijkbare en vragen die net weer heel anders gaan over ladders in een steeg.
donderdag 18 augustus 2016
Het tankstation
Er zijn verschillende varianten van optimaliseringsproblemen die met differentiëren kunnen worden opgelost. De kunst is dan om een formule te bedenken waarmee je (afhankelijk van een variabele) de totale kosten kan berekenen. Zoek het minimum.
Dit is daar een mooi voorbeeld van:
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
Dit is daar een mooi voorbeeld van:
- Een tankstation ligt aan één kant van een rivier van 0,5 km breed. Aan de andere kant van de rivier en 1 km verder stroomafwaarts bevindt zich een bedrijf. Het leggen van pijpleidingen over land kost 300.000 euro/km en onder water 500.000 euro/km. Zoek de voordeligste manier om het bedrijf en het tankstation met pijpleidingen te verbinden.
Het idee is dat er tussen 0 en 1 een waarde voor x te vinden is waarbij de kosten voor de aanleg van pijpleiding minimaal zijn.
De formule:
\({K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}}\)
Vervolgens kan je de afgeleide bepalen, de afgeleide op nul stellen, oplossen en voila... probleem opgelost. Er komt zelfs een mooi (exact) antwoord uit. Maar hoe doe je dat dan?
De afgeleide:
\(\eqalign{
& {K_{totaal}} = 300.000x + 500.000\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 + 500.000 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cdot 2\left( {1 - x} \right) \cdot - 1 \cr
& {K^|}_{totaal} = 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} \cr} \)
Stel de afgeleide nul en los de vergelijking op:
\(\eqalign{
& 300.000 - 500.000 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = 0 \cr
& 3 - 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{0,5}^2}} }} = \cr
& 5 \cdot \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = 3 \cr
& \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} }} = \frac{3}{5} \cr
& 5 - 5x = 3\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \cr
& {(5 - 5x)^2} = 9\left( {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 0,25} \right) \cr
& 25 - 50x + 25{x^2} = 9 - 18x + 9{x^2} + \frac{9}{4} \cr
& 100 - 200x + 100{x^2} = 36 - 72x + 36{x^2} + 9 \cr
& 64{x^2} - 128x + 55 = 0 \cr
& (8x - 5)(8x - 11) = 0 \cr
& x = \frac{5}{8} \vee x = \frac{{11}}{8}\,\,(v.n.) \cr
& x = \frac{5}{8} \cr}\)
Abonneren op:
Posts (Atom)