vrijdag 29 november 2013

Probleemaanpak 8

q522img1.gif

Hier zie je een kegel die bestaat uit verschillend gekleurde lagen. De hoogte van de kegel is 9 en de diameter van het grondvlak is 6. We draaien de lagen om. De inhoud van de verschillende lagen verandert niet.
  • Bereken exact de hoogte van het rode stuk van de rechter kegel.

dinsdag 26 november 2013

Stelsels en vergelijkingen

Je kunt met je GR ook stelsels en vergelijkingen oplossen. Op de Equation-pagina kan je er meer over vinden. Deze is wel aardig:

q9618img7.gifq9618img8.gif

Kijk 's aan... wat zou die ×2 te betekenen hebben?:-)

zondag 24 november 2013

Hoeveel leerlingen hebben de proef gemaakt?

Voor opgave 4 van de proef van hoofdstuk 2 kun je 6 punten halen. Gemiddeld scoren de leerlingen 1 punt. Eén leerling scoort 6 punten, één leerling scoort 3 punten, 5 leerlingen 2 punten en één leerling 1 punt. De rest heeft geen punten.
  • Hoeveel leerlingen hebben de proef gemaakt?
Leuk sommetje, maar wel een hele foute vraag...:-)

zaterdag 23 november 2013

Zet je User Name in je grafische rekenmachine

Tegels

In de 3F-voorbeeldrekentoets 2013 kwam ik dit sommetje tegen:

q9489img1.gif

Dat zijn 1800 tegels met een oppervlakte van 0,42² m² en dat kost dan 12,90 euro per m². Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Twijfelachtig

Ik heb afgelopen vrijdag met de 3e klas maar 's kwadratische vergelijkingen proberen te doen. Dat is een oude versie 'strategie oplossen van tweedegraadsvergelijkingen' in DWO. Dat is maar matig verlopen.

De verbinding is niet altijd even goed, de laptops zijn traag, sommige leerlingen klikken op de verkeerde knopjes bij de javawaarschuwingen en op de minilaptops kan je niet scrollen. Uiteindelijk is het misschien de helft gelukt om nog iets zinnigs te doen, maar echt enthousiast ben ik er niet over.

Dat is wel jammer want het is echt nuttig om bij een complexe vaardigheid als het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen eerst de verschillende soorten vergelijkingen te leren herkennen en te leren welke oplossingsmethode je kunt gebruiken. Maar helaas...:-)

Er is ook een nieuwe versie. Misschien moet ik die dan maar gaan gebruiken. Dat lost niet alle problemen op, maar ja, je moet toch wat... Het idee is goed, maar de praktische uitvoering laat nog steeds zeer te wensen over. Op deze manier schiet het allemaal niet op. Hoe anders en beter zou het kunnen zijn, met een beetje moeite.

Het leven zit vol teleurstellingen...:-)

Intervaltraining

Opdracht 5 van probleemaanpak komt uit de 3F-voorbeeldrekentoets van 2013:



Neem is aan dat de 'hardloopsnelheid' van Joost 10 km/u is. Hij 'hardloopt' 5 km en wandelt 1 km. Hoe lang zou die er dan over doen?

\(
\frac{5}{{10}} + \frac{1}{5} = \frac{7}{{10}} = \frac{{42}}{{60}}
\)

Dat zou dan 42 minuten zijn. Dat is niet goed...:-)
Neem \(v\) als hardloopsnelheid. Er geldt:

\(
\frac{5}{v} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{60}}
\)

Oplossen (eventueel met de GR:-) geeft \(v = 12\). De harloopsnelheid van Joost is 12 km/u.

donderdag 21 november 2013

Vergelijkingen oplossen met je GR

Ik heb de leerlingen van HAVO 4 wiskunde B laten zien dat je met je GR vergelijkingen op kan lossen. Een soort van:-)



Leuk bedacht, maar sommige leerlingen krijgen een hele andere oplossing...:-)

Vreemd genoeg krijg ik met mijn apparaat netjes de bedoelde oplossing \(x=36\). Maar \(x=-5\) is ook een oplossing:

\(
\begin{array}{l}
 20\left( {\frac{1}{{ - 5}} + \frac{1}{{ - 5 + 9}}} \right) = 1 \\
 20\left( { - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}} \right) = 1 \\
 20\left( { - \frac{4}{{20}} + \frac{5}{{20}}} \right) = 1 \\
 20\left( {\frac{1}{{20}}} \right) = 1 \\
 Klopt! \\
 \end{array}
\)

Kennelijk denken sommige apparaten 'anders' en vinden de 'andere oplossing'. Met Lower en Upper kan je aangeven in welk gebied je je oplossing wilt hebben. In 't geval van de metselaars wil je natuurlijk wel graag een positieve oplossing. Zet Lower op nul bijvoorbeeld. Dan gaat het zeker goed.

q9578img3.gifq9578img4.gif

Misschien is het nog wel aardig om je af te vragen wat de oplossing \(x=-5\) precies betekent...:-)

Kwadratische vergelijkingen

In klas 3 is Hoofdstuk 3 - HAVO/VWO - kwadratische problemen een activiteit die je echt moet doen. Het oplossen van kwadratische vergelijkingen is een complexe vaardigheid. Met het applet kunnen leerlingn oefenen met het herkennen van de verschillende soorten vergelijkingen en oefenen met de juiste aanpak.

q7475img1.gif

"Je kunt het applet het werk laten doen, maar jij bent de regisseur die vertelt wat er moet gebeuren!"
  • Hierbij bevestigen we de door jou geplaatste reservering voor laptop windows xps (type HP nx6310), voor de periode van 22-11-2013 14:00 uur tot 22-11-2013 14:40 uur...

dinsdag 19 november 2013

Probleemaanpak

Sommige opgaven uit de 3F-voorbeeldtoets horen 'echt' niet in een rekentoets. Bijvoorbeeld de opgave over de intervaltraining:



Je moet eerst bedenken dat 6 kilometer overeenkomt met 5 km hardlopen en 1 km wandelen. Dan stel je vast dat de training 37 minuten duurt. Maar dan?

...maar dat zouden we bij probleemaanpak eigenlijk nu wel moeten kunnen. Met de 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'.:-)

Parachute springen

Een proef maken is net zoiets als parachute springen. Voordat je uit het vliegtuig springt moet je eerst een aantal dingen leren:
  1. Uit een vliegtuig springen
  2. Even wachten
  3. Aan het touwtje trekken
  4. Langzaam naar beneden zweven
  5. Landen
  6. Parachute inpakken
Er zijn leerlingen die les 1 en 2 gedaan hebben als er gesprongen moet worden. Ze voelen meestal wel aan dat dat geen goed idee is, maar ja... 't Is oorlog dus je moet springen. Uitstel is niet mogelijk. Dus toch maar springen dan?

Daar kan je wel iets van leren. De volgende keer beter plannen en als de wiedeweerga zorgen dat je bijblijft. Wekenlang een beetje relaxen en zitten leuteren? Als het er op aan komt er achter komen dat het niet gaat lukken? Dat is wel een beetje erg onhandig. Zorg dat je bijblijft...

Leermoment...:-)

Een probleem kleiner maken

In de voorbeeldtoets 3F van 2013 staat een opgave over bloembollen.



In het kader van 'trap er niet in' moet je er wel even over nadenken. Zou het gewoon 15×18=270 zijn? Of is dat te makkelijk? Wat zou er mis kunnen gaan? Moet het misschien breedte- en lengtegewijs steeds 1 minder zijn dan je denkt? Of misschien juist 1 meer?

In dit geval heb je er een voorbeeld bij gekregen. Als je een vierkant zou hebben van 30 bij 30 cm als op het plaatje dan kan je daar 9 bloembollen kwijt. Dat is dus 'gewoon' 3×3=9, dus zal het met 15×18 ook wel goed gaan.

Dat noemen we 'een probleem kleiner maken'.:-)

maandag 18 november 2013

De 'wat-zou-ik-doen-als-ik-de-oplossing-zou-weten-oplossing'

Bij sommige problemen is het handig als je een formule opstelt. Als je dat lastig vindt dan kan het handig zijn om eerst een 'concreet voorbeeld' als oplossing te nemen en te kijken of je kan controleren of die oplossing klopt. Als je dat kan dan kan je dat waarschijnlijk ook met een 'variabele'.

Driehoekjes

q1229img1.gif

In de tekening hierboven geldt: ABC is een rechthoekige driehoek met C als de rechte hoek. De lijnstukken AD, DF, FE, EC en CB zijn allemaal even lang.

Neem 's aan dat hoek A gelijk aan 20 graden is. Je kunt dan de hoeken uit gaan rekenen. Je krijgt dan zoiets als:



Maar dat klopt niet...:-)

Maar neem nu 's aan dat hoek A gelijk is aan 'x' graden. Kan je 't dan ook? De kunst is dan om hoek B uit te drukken in 'x'. Je weet dat hoek A en hoek B samen 90 graden is... en dan kan je dat vast uitrekenen.

Noem iets 'x', druk de andere onbekenden uit in 'x' en gebruik de eigenschappen om een vergelijking op te stellen die je kan oplossen. Lukt dat niet meteen probeer het dan 's met een concrete oplossing en probeer daarna dezelfde stappen met een variabele.

Lever de opdrachten 3 en 4 vrijdag in. De oplossingen van de opdrachten 1 t/m 4 deel ik daarna uit en er zijn weer 2 nieuwe problemen.

zondag 17 november 2013

Uit je doppen kijken

Eén van de wiskundige vaardigheden die leerlingen moeten leren is het herkennen van structuren. Bijvoorbeeld bij deze opgave uit de 3F-voorbeeldrekentoets:



Als je goed kijkt dan zijn dat 4 dagen van 8\(\frac{1}{2}\) uur en 1 dag van 7 uur. Daar moet dan nog wel 4 keer een pauze van \(\frac{3}{4}\) uur en een pauze van een \(\frac{1}{2}\) uur van af. De uitkomst dan nog even vermenigvuldigen met 4,80 euro... Hoe moeilijk kan dat zijn?

\((4\times8\frac{1}{2}+7-4\times\frac{3}{4}-\frac{1}{2})\times4,80=180\) euro

Als je goed uit je doppen kijkt dan valt het het nog best mee...:-)

woensdag 13 november 2013

Uren omrekenen

CASIO fx-CG 20

Via OPTN [>] ANGLE kan je gemakkelijk uren omrekenen in uren, minuten en seconden:



Dat kan natuurlijk ook zonder deze speciale functie van de rekenmachine:



2,58696 uur komt over een met 2 uur 35 minuten en 13 seconden.

zaterdag 9 november 2013

Hypercorrectie

We zaten zo 's wat te twitteren over meneer van Dale,  spellingsregels, Groningen, pannenkoeken en 'Assenpoester'. Het op het verkeerde moment toepassen van regels wordt wel hypercorrectie genoemd. Komt zoiets ook wel 's voor bij wiskunde?

Ik moest er even over nadenken, maar dat doen leerlingen natuurlijk wel 's. Bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras toepassen in een willekeurige driehoek. Dingen als sin(x)+sin(y)=sin(x+y)... noem maar op...:-)

Wat ik zelf een mooi voorbeeld vind is dat 'je moet niet breien' bij sommige leerlingen leidt tot het idee dat je helemaal nooit berekeningen op één regel moet zetten. Wiskundeleraren noemen iets 'breien' als je dingen schrijft als:

12 - 4 = 8 + 2 = 10 - 9 = 1

Dat is namelijk onzin. Je beweert dat 12 min 4 (uiteindelijk) gelijk is aan 1 en dat is niet zo. Als je meerdere berekeningen wilt uit voeren kan je beter steeds op een nieuwe regel beginnen en vooral geen onwaarheden roepen. Ik probeer leerlingen dat 'breien' zo snel mogelijk af te leren. Meestal lukt dat wel...

Soms roept een leerling 'breien' als het geen 'breien' is...

3² - 4 + 5 = 9 - 4 + 5 = 5 + 5 = 10

Daar is verder niet veel mis mee. Als je dat 'breien' vindt heb je 't toch nog niet helemaal begrepen...:-)

woensdag 6 november 2013

Handig rekenen

Iedereen heeft zo zijn eigen beelden bij 'rekenen'. Wat vroeger 'hoofdrekenen' was is voor de een nog steeds 'rekenen met je hoofd', maar voor anderen is het met 'pen en papier'. Nou ja... Ik bemoei me er maar niet mee. Dat laat ik graag aan anderen over. Maar om toch nog enigszins 'bij te dragen aan het debat' zal ik hier 's wat aan 'handig rekenen' doen.

Bij 't 'hoofdrekenen' gaat het niet om het 'rekenen' op een manier zoals je dat op papier zou doen. In je hoofd een staartdeling maken is lastig. Dat kan bijna niet de bedoeling zijn.

VOORBEELD

\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 =
\)

't Is handig om eerst 43 en 57 op te tellen (dat is 100:-) en dat te vermenigvuldigen met 17, dat is dan 1700. Dat is een stuk handiger dan

\(
\large 43 \times 17 + 57 \times 17 = 731 + 969 = 1700
\)

De vraag is dan natuurlijk 'kan dat zo maar?' Dat kan zeker... handig wel:-)

ANDER VOORBEELD

\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} =
\)

Wat is hier handig? Wel aan...

\(
\large 8 \times 33\frac{1}{3} - 2 \times 66\frac{2}{3} = 8 \times 33\frac{1}{3} - 4 \times 33\frac{1}{3} = 4 \times 33\frac{1}{3} = 133\frac{1}{3}
\)

...en dat kan uit je hoofd...

LAATSTE VOORBEELD

\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} =
\)

Eerst 13 met 52 vermenigvuldigen en daarna delen door 169 is niet 'echt' handig. Dat kan beter:

\(
\Large \frac{{13 \times 52}}{{169}} = \frac{{52}}{{13}}\) = \(\large 4
\)

Je moet dan wel weten dat 169=13², maar dat is sowieso wel handig om te weten...

dinsdag 5 november 2013

Het statistisch onderzoek



Dat schiet niet op. Ik denk dat ik 't maar beter helemaal opnieuw kan doen. Dat maakt het wellicht ook breder inzetbaar.

Kijk daar staat ie...:-)

"Disclaimer: Het embedden van video's van de WiskundeAcademie is alleen toegestaan wanneer toestemming is verleend door de WiskundeAcademie. De video's maken deel uit van het auteursrecht..."

O ja? Op YouTube? En dan denken dat je... Ik geloof er niks van...:-)

zondag 3 november 2013

Hellingspercentage

Donald Duck
© Donald Duck - het vrolijke weekblad


Hierboven zie je een helling van 95%. Maar klopt dat wel? Hoe ziet een helling van 95% er eigenlijk uit?

153 schilderingen verdeeld over 17 rijen van elk 9 panelen

\( \LARGE\sum\limits_{k = 1}^{17} k = 153 \)

Wikipedia - St. Martin Zillis

zaterdag 2 november 2013

Gulden snede


In 1983 amateur mathematician George Odom discovered that if points A and B are the midpoints of sides EF and DE of an equilateral triangle, and line AB meets the circumscribing circle at C, then AB/BC = AC/AB = φ. Odom used this fact to construct a pentagon, which H.S.M. Coxeter published in the American Mathematical Monthly with the single word “Behold!”
bron