The Description of the Wonderful Canon of Logarithms

Since nothing is more tedious, fellow mathematicians, in the practice of the mathematical arts, than the great delays suffered in the tedium of lengthy multiplications and divisions, the finding of ratios, and in the extraction of square and cube roots...
bron

Omar Khayyam

 

Hierboven zie je de meetkundige oplossing van Omar Khayyam van een derdegraads vergelijking:

• \(x^3+4x=16\)

Aanpak
Teken de parabool  \(y=\frac{1}{2}x^2\)
Teken de cirkel met middelpunt \((2,0)\) en een diameter van 4.
De \(x\)-coördinaat van snijpunt van parabool en cirkel is je oplossing.
De oplossing is 2.

Bewijs
\( \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{1}{2}x^2 \\ \left( {x - 2} \right)^2 + y^2 = 4 \\ \end{array} \right. \\ \left( {x - 2} \right)^2 + \left( {\frac{1}{2}x^2 } \right)^2 = 4 \\ x^2 - 4x + 4 + \frac{1}{4}x^4 = 4 \\ \frac{1}{4}x^4 + x^2 - 4x = 0 \\ x^4 + 4x^2 - 16x = 0 \\ x(x^3 + 4x - 16) = 0 \\ x = 0 \vee x^3 + 4x - 16 = 0 \\ x = 0 \vee x^3 + 4x = 16 \\ \end{array} \)

De som van derde machten

Brahmagupta gaf regels voor het sommeren van getallenrijen. Voor de som van de derde machten van de eerste n natuurlijke getallen geeft hij de formule:

\(
\eqalign{1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + n^3  = \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}
{2}} \right)^2}
\)

Bewijzen werden er niet gegeven, dus het is onbekend hoe Brahmagupta deze formules heeft gevonden.
bron

Bewijs

\(
\eqalign{
  & 1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + n^3  = \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}
{2}} \right)^2   \cr
  & Neem\,\,n = 1  \cr
  & 1^3  = \left( {\frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}
{2}} \right)^2  = 1  \cr
  & Klopt!  \cr
  & Neem\,\,n + 1  \cr
  & 1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + n^3  + \left( {n + 1} \right)^3  = \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
{2}} \right)^2   \cr
  & \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}
{2}} \right)^2  + \left( {n + 1} \right)^3  = \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
{2}} \right)^2   \cr
  & \frac{1}
{4}n^4  + 1\frac{1}
{2}n^3  + 3\frac{1}
{4}n^2  + 3n + 1 = \frac{1}
{4}n^4  + 1\frac{1}
{2}n^3  + 3\frac{1}
{4}n^2  + 3n + 1  \cr
  & Klopt! \cr}
\)