donderdag 26 september 2019

Kleine aanvulling...:-)

\( \eqalign{\frac{{\sqrt A }}
{{\sqrt B }} = \sqrt {\frac{A}
{B}} \,\,\,mits\,\,\,A \geqslant 0 \wedge B \gt 0}
\)

maandag 23 september 2019

Dat is een kwestie van het orde houden...

Dat ‘Dat is de kwestie van het orde houden…’ begrijp ik niet. Mijn ervaring is dat klassenmanagement (zeg maar orde!) veel belangrijker is dan vakinhoud. Na het klassemanagement komt de (vak-)didactiek, allerlei ongewenste moderniteiten en nog zo wat. Aan het eind van de tunnel komt de vakinhoud! Maar hoe moeilijk kan dat zijn? Die staat in het boek en anders kijk je maar op internet. Er zijn vast wel plekken waar je vragen kan stellen. Nee… zo moeilijk is het allemaal niet. Alhoewel…😑
Naschrift

Er zou sprake kunnen zijn van ironie. Sterker nog: ik weet het wel zeker. Het idee dat iedereen elk vak kan geven (zo gaat dat tegenwoordig) is daarmee (inderdaad) werkelijkheid geworden. Dat zoiets niet werkt lijkt me duidelijk. Dus ik bedoel maar… Dat wordt niks…:-) 

maandag 24 juni 2019

Elektriciteitsverbruik

Ik had op elektriciteitsverbruik in eerste instantie gebruik gemaakt van integralen. Dat was vooral vanwege de oorspronkelijke titel 'integralen' en de gekozen categorie 'integreren'. Maar, zoals @GHvD opmerkte, zat er wel een addertje onder het gras. Met het verbruik per jaar zou je moeten rekenen met discrete waarden.

Daar zit wat in. Uiteindelijk ben ik er wel uitgekomen, geloof ik, maar wat nu precies de bedoeling was zullen we nooit weten...

Formule

\(
\eqalign{
  & V_{gemiddeld}  = \frac{{S_{20} }}
{{20}} = \frac{{3\root {10} \of 2  \cdot v_0 }}
{{20(\root {10} \of 2  - 1)}} \cr}
\)

Voorbeeld

Neem \(v_0=1000\). In Excel krijg je dan zoiets als:

jaar verbruik
1 1.072
2 1.149
3 1.231
4 1.320
5 1.414
6 1.516
7 1.625
8 1.741
9 1.866
10 2.000
11 2.144
12 2.297
13 2.462
14 2.639
15 2.828
16 3.031
17 3.249
18 3.482
19 3.732
20 4.000
gemiddeld 2.240

De formule hierboven geeft \(V_{gemiddeld}=2.239,9\) dus dat klopt...:-)


Hier kan je dan misschien toch nog wel iets doen met een integraal. Je moet wel even goed naar de grenzen kijken, maar dan heb je ook wat.

\(
\eqalign{V_{gemiddeld}  = \frac{{\int\limits_{t = \frac{1}
{2}}^{20\frac{1}
{2}} {1000 \cdot e^{\frac{{\ln (2)}}
{{10}}t} dt} }}
{{20}} \approx 2240,4}
\)

Of, maar dan meer in het algemeen, voor een willekeurige waarde van \(v_0\):

\(
\eqalign{V_{gemiddeld}  = v_0  \cdot \frac{{3 \cdot \root {20} \of 2 }}
{{2 \cdot \ln (2)}}}
\)

Ik bedoel maar. Ik vermaak me wel...:-)

zaterdag 15 juni 2019

donderdag 13 juni 2019

Precies:-)

One of the symptoms of an approaching nervous breakdown is the belief that one's work is terribly important.
Bertrand Russell

vrijdag 7 juni 2019

Wat moet je er mee?

De formule \(a(n)=(n-1)(4n-3)\) geeft \(a(23)=1958\).
  • Wat moet je er mee?:-)

donderdag 6 juni 2019

Ik ben er klaar mee...:-)

"After all is said and done, a lot more will be said than done."
Unknown
quotationspage.com/quotes/Unknown  
#mijnHML

donderdag 30 mei 2019

Dat moet kunnen...

\( \eqalign{ & f(x) = ax^2 + bx + c \cr & I. \cr & A:f(m) = am^2 + bm + c \cr & B:f(n) = an^2 + bn + c \cr & rico_{AB} = \frac{{am^2 + bm + c - \left( {an^2 + bn + c} \right)}} {{m - n}} \cr & rico_{AB} = \frac{{am^2 + bm + c - an^2 - bn - c}} {{m - n}} \cr & rico_{AB} = \frac{{a(m^2 - n^2 ) + b(m - n)}} {{m - n}} \cr & rico_{AB} = a\left( {m + n} \right) + b \cr & II. \cr & f'(x) = 2ax + b \cr & C:f'\left( {\frac{{m + n}} {2}} \right) = 2a \cdot \frac{{m + n}} {2} + b \cr & C:f'\left( {\frac{{m + n}} {2}} \right) = a\left( {m + n} \right) + b \cr} \)

dinsdag 21 mei 2019

De som van de delers


De som van de som van de delers

\(\eqalign{
a(n) = \sum\limits_{k = 1}^n {\sigma (k)} = \sum\limits_{k = 1}^n {k \cdot \left\lfloor {\frac{n}
{k}} \right\rfloor }
}\)
1, 4, 8, 15, 21, 33, 41, 56, 69, 87, 99, 127, 141, ...

De som van de delers

\(
\sigma (n) = a(n) - a(n - 1)
\)
1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, ...

Excel

Function SomDelers(n)
    Dim k, som
    som = 0
    For k = 1 To n
        som = som + k * Fix(n \ k)
    Next k
    SomDelers = som
End Function

Function Sigma(n)
    If n > 1 Then
        Sigma = SomDelers(n) - SomDelers(n - 1)
    Else
        Sigma = 1
    End If
End Function
n a(n) s(n)
1 1 1
2 4 3
3 8 4
4 15 7
5 21 6
6 33 12
7 41 8
8 56 15
9 69 13
10 87 18
11 99 12
12 127 28
13 141 14
14 165 24
15 189 24
16 220 31
17 238 18
18 277 39
19 297 20
20 339 42

WisFaq


Excel

vrijdag 17 mei 2019

VWO 4 wiskunde B

Gegeven de functie \( f_p \left( x \right) = x^3 + \frac{3} {4}px^2 \).
  1. Voor welke \(q\) heeft \(f_{-4}(x)=q\) géén/precies één/precies twee/precies 3 oplossingen?
  2. Voor welke \(p\) heeft \(f_p(x)\) precies twee toppen?
  3. De lijn \(k:y=24x+b\) raakt de grafiek van \(f_p\) in het punt met \(x_A=2\). Bereken \(p\) en \(b\).
  4. Stel een formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafiek van \(f_p\) liggen.

Pi is toch een breuk...?

zaterdag 4 mei 2019

Opgave 2

\( \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + xy = 20 \\ y^2 + xy = 30 \to x = \frac{{30 - y^2 }}{y} \\ \end{array} \right. \\ \downarrow \\ \left( {\frac{{30 - y^2 }}{y}} \right)^2 + \frac{{30 - y^2 }}{y} \cdot y = 20 \\ \frac{{30(30 - y^2 )}}{{y^2 }} = 20 \\ 900 - 30y^2 = 20y^2 \\ 50y^2 = 900 \\ y^2 = 45 \\ y = - 3\sqrt 2 \vee y = 3\sqrt 2 \\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\sqrt 2 \\ y = - 3\sqrt 2 \\ \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt 2 \\ y = 3\sqrt 2 \\ \end{array} \right. \\ xy = 12 \\ \end{array} \)

maandag 29 april 2019

Lerarenportfolio

Re: Limiet bepalen

Naar aanleiding van Re: Limiet bepalen had ik nog een uitwerking bedacht:

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}} {{\root 3 \of {x + 27} - 3}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}} {{\root 3 \of {x + 27} - 3}} \cdot \frac{{\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9}} {{\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right)}} {{x + 27 - 27}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right)}} {x} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \cdot \left( {\root 3 \of {\left( {x + 27} \right)^2 } + 3\root 3 \of {x + 27} + 9} \right) = 2 \cdot \left( {9 + 9 + 9} \right) = 54 \cr} \)

Maar er zijn meer wegen die naar Rome leiden....:-)

Opgave 1

\( \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2ab \\ b + c = 3bc \\ a + c = 7ac \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 3 \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} = 7 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} = 1 \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} = 7 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} = 1 \\ \frac{2}{c} = 8 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\ \frac{1}{c} - \frac{1}{a} = 1 \\ c = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\ 4 - \frac{1}{a} = 1 \\ c = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 2 \\ a = \frac{1}{3} \\ c = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b} + 3 = 2 \\ a = \frac{1}{3} \\ c = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b = - 1 \\ a = \frac{1}{3} \\ c = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \)

zaterdag 27 april 2019

zondag 14 april 2019

wizPROF 2018 - Vraag 7

Els en Fiona knippen beiden een rechthoekig velletje papier in tweeën. Els krijgt twee rechthoeken, elk met een omtrek van 40 cm. Fiona krijgt ook twee rechthoeken, maar dan elk met een omtrek van 50 cm. Toch hebben beiden eenzelfde velletje doorgeknipt.
  • Wat is de omtrek van het velletje papier waarmee ze begonnen?
    A
    . 40 cm B. 50 cm C. 60 cm D. 80 cm E. 90 cm



    \( \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 40 \\ a + 2b = 50 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 40 \\ 2a + 4b = 100 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 3b = 60 \\ 2a + b = 40 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b = 20 \\ a = 10 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \)

    woensdag 3 april 2019

    Een kwadratische vergelijking met breuken oplossen

    \(
    \eqalign{
      & \frac{1}
    {4}\left( {x + 1} \right)(x + 5) =  - \frac{3}
    {4}  \cr
      & \left( {x + 1} \right)(x + 5) =  - 3  \cr
      & x^2  + 6x + 5 =  - 3  \cr
      & x^2  + 6x + 8 = 0  \cr
      & (x + 2)(x + 4) = 0  \cr
      & x =  - 2 \vee x =  - 4 \cr}
    \)

    Het oplossen van een vergelijking

    Op WisFaq staat een oplossing van een vergelijking met machten. In het antwoordmodel wordt er gekozen om te delen door 4x. Dat kan natuurlijk prima, maar eigenlijk vind ik dat niet handig en 't is een gemiste kans om nog 's wat kennis rondom machten te herhalen. Ik zou het liever zo doen:

    \(
    \eqalign{
      & 2 \cdot 4^x  - 4 \cdot 8^x  = 0  \cr
      & 2 \cdot 4^x  = 4 \cdot 8^x   \cr
      & 4^x  = 2 \cdot 8^x   \cr
      & \left( {2^2 } \right)^x  = 2^1  \cdot \left( {2^3 } \right)^x   \cr
      & 2^{2x}  = 2^1  \cdot 2^{3x}   \cr
      & 2^{2x}  = 2^{3x + 1}   \cr
      & 2x = 3x + 1  \cr
      & x =  - 1 \cr}
    \)

    Maar waarom?
    • Het gaat hier om machten van 2. Als het lukt om beide leden te schrijven als 2A=2B en dus A=B ben je er. Dat is het doel en bij vergelijkingen met machten is dat een goede aanpak. Die paragraaf in het boek over het schrijven als één macht was dan niet voor niets geweest.
    Dus ik bedoel maar. Wiskundig correct is niet (altijd) hetzelfde als handig...:-)

    dinsdag 19 maart 2019

    Los op

    Los exact op:
    • \(
      \left( {x^2  - x - 2} \right)^2  - x^3  = 10
      \)
    Uitgewerkt

    \(
    \eqalign{
      & \left( {x^2  - x - 2} \right)^2  - x^3  = 10  \cr
      & \left( {x^2  - x - 2} \right)\left( {x^2  - x - 2} \right) - x^3  = 10  \cr
      & x^4  - x^3  - 2x^2  - x^3  + x^2  + 2x - 2x^2  + 2x + 4 - x^3  = 10  \cr
      & x^4  - 3x^3  - 3x^2  + 4x - 6 = 0  \cr
      & \left( {x^2  - x + 1} \right)\left( {x^2  - 2x - 6} \right) = 0  \cr
      & x^2  - x + 1 = 0 \vee x^2  - 2x - 6 = 0  \cr
      & x = 1 - \sqrt 7  \vee x = 1 + \sqrt 7  \cr}
    \)

    zondag 17 maart 2019

    Benadering voor de sinus

    x sinus benadering verschil
    0.000000 0.000000 0.000000 0.000
    0.130900 0.130526 0.131994 0.001
    0.261799 0.258819 0.260355 0.002
    0.392699 0.382683 0.383562 0.001
    0.523599 0.500000 0.500000 0.000
    0.654498 0.608761 0.608000 0.001
    0.785398 0.707107 0.705882 0.001
    0.916298 0.793353 0.792013 0.001
    1.047198 0.866025 0.864865 0.001
    1.178097 0.923880 0.923077 0.001
    1.308997 0.965926 0.965517 0.000
    1.439897 0.991445 0.991334 0.000
    1.570796 1.000000 1.000000 0.000
    1.701696 0.991445 0.991334 0.000
    1.832596 0.965926 0.965517 0.000
    1.963495 0.923880 0.923077 0.001
    2.094395 0.866025 0.864865 0.001
    2.225295 0.793353 0.792013 0.001
    2.356194 0.707107 0.705882 0.001
    2.487094 0.608761 0.608000 0.001
    2.617994 0.500000 0.500000 0.000
    2.748894 0.382683 0.383562 0.001
    2.879793 0.258819 0.260355 0.002
    3.010693 0.130526 0.131994 0.001
    3.141593 0.000000 0.000000 0.000


    gemiddeld= 0.001

    woensdag 13 maart 2019

    Omtrek en oppervlakte van een rechthoekige driehoek

    Bereken exact de oppervlakte van de rechthoekige driehoek waarvan de omtrek 12 is en de ene rechthoekszijde 1 groter is dan de andere rechthoekszijde?

    Uitwerking

    \( \eqalign{ & x + x + 1 + \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = 12 \cr & \sqrt {x^2 + (x + 1)^2 } = - 2x + 11 \cr & x^2 + x^2 + 2x + 1 = \left( { - 2x + 11} \right)^2 \cr & 2x^2 + 2x + 1 = 4x^2 - 44x + 121 \cr & 2x^2 - 46x + 120 = 0 \cr & x^2 - 23x + 60 = 0 \cr & (x - 3)(x - 20) = 0 \cr & x = 3 \vee x = 20\,\,\,(v.n.) \cr & x = 3 \cr} \)

    De oppervlakte is 6.

    Maar als de omtrek nu 's 10 is? 

    Je krijgt dan zoiets:

    \(
    \eqalign{
      & x + x + 1 + \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  = 10  \cr
      & \sqrt {x^2  + (x + 1)^2 }  =  - 2x + 9  \cr
      & x^2  + (x + 1)^2  = ( - 2x + 9)^2   \cr
      & x^2  + x^2  + 2x + 1 = 4x^2  - 36x + 81  \cr
      & 2x^2  - 38x + 80 = 0  \cr
      & x^2  - 19x + 40 = 0  \cr
      & x = 9\frac{1}
    {2} - \frac{1}
    {2}\sqrt {201}  \vee x = 9\frac{1}
    {2} + \frac{1}
    {2}\sqrt {201} \,\,\,(v.n.)  \cr
      & x = 9\frac{1}
    {2} - \frac{1}
    {2}\sqrt {201}  \cr}
    \)

    De oppervlakte is 75-5√210

    zondag 10 maart 2019

    Dat kan ook...:-)

    Op Differentiëren van goniometrische functies met de kettingregel krijg je er wel een antwoord uit.

    Mijn Derive geeft:

     \( f'(x) = 25\sin^3 (2x)\sin (4x) \)

    Dat kan ook, maar hoe kom je er aan?

    \(
    \eqalign{
      & f(x) = 5 \cdot \sin ^5 (2x)  \cr
      & f'(x) = 5 \cdot 5 \cdot \sin ^4 (2x) \cdot \cos (2x) \cdot 2  \cr
      & f'(x) = 50\sin ^4 (2x)\cos (2x) \cr}
    \)

    Met \(
    \sin (2A) = 2\sin (A)\cos (A)
    \) krijg je:

    \(
    \eqalign{
      & f'(x) = 50\sin ^4 (2x)\cos (2x)  \cr
      & f'(x) = 50\sin ^3 (2x)\sin (2x)\cos (2x)  \cr
      & f'(x) = 50\sin ^3 (2x)\frac{1}
    {2}\sin (4x)  \cr
      & f'(x) = 25\sin^3 (2x)\sin (4x) \cr}
    \)

    De vraag is alleen nog waarom je dat zou willen, maar kennelijk zit in het programma ingebakken om de exponenten zo klein mogelijk te houden. Dat is een mooi streven...:-)

    zaterdag 9 maart 2019

    vrijdag 8 maart 2019

    zaterdag 2 maart 2019

    Begeleidingsuren

    Het 'systeem' van begeleidingsuren werkt niet. Het is kennelijk niet echt mogelijk de juiste leerlingen in de juiste setting met de juiste houding te kunnen bedienen. In dat geval kan je er maar beter mee stoppen... #mijnHML dus bij deze...

    vrijdag 22 februari 2019

    dinsdag 19 februari 2019

    Rijtjes...

    Geef de volgende term:
    1. 1, 2, 4, 8, 16, ...
    2. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
    3. 1, 9, 2, 8, 3, 7, 4, 6, 5, ...
    4. 1, 11, 121, 1331, 14641, ...
    5. 1, 121, 12321, 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321, 123456787654321, 12345678987654321, ...
    6. 1, 10, 11, 100, 101, 110, ...
    7. o, t, t, f, f, s, s, e, n, t, e, t, t, f, f, s, s, e, n, t, t, t, t, t, ...
    8. 0, 5, 8, 12, 20, 50, ...
    9. 30, 105, 385, 1001, 2431, ...
    10. 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, ...
    Uit de archieven van @wiskundeleraar gevist. Over vissen gesproken...:-)

    dinsdag 12 februari 2019

    Marathon

    Bij de marathon van Rotterdam finishten de twee snelste lopers in:
    Naam      Eindtijd
    Kipsang   2:03:20
    Megan     2:03:30
    Een marathon is 42,195 km.
    • Hoeveel meter achterstand had Megan op het moment dat Kipsang finishte? Rond af op een heel getal.
    Antwoord: 57 m.

    Treinticket

    Je woont in Den Helder en gaat in Heerhugowaard naar school. Je koopt iedere maand een maandtrajectabonnement. Dit kost € 198,70. Met de OV-chipkaart kost een enkele reis € 6,40. Het komende kwartaal hoef je maar drie dagen in de week naar school.
    • Hoeveel goedkoper ben je uit door met de OV-chipkaart naar school te reizen in deze periode?
    Antwoord: €96,90

    zaterdag 9 februari 2019

    woensdag 6 februari 2019

    Rekentoets

    "Middelbare scholieren krijgen vanaf komend schooljaar geen aparte rekentoets meer. De huidige landelijke toets verdwijnt definitief en rekenen wordt weer een onderdeel van wiskunde en andere vakken."
    bron