zaterdag 29 februari 2020

Maak een duidelijke tekening

In een 4-zijdige piramide T OABC is de hoogte 4 en het grondvlak een vierkant met zijde 3.

De x-as langs OA, de y-as langs OC en de z-as langs OT.
Door de punten D(2,-3,2) en E (-1,3,0) trekt men een lijn die de piramide snijdt in de punten P en Q.
  • Maak een duidelijke tekening en bereken |PQ|.
UITWERKING



Dat is alvast een goed begin... het halve werk... later misschien meer...:-)

Maar als je twijfelt kan je altijd een bovenaanzicht tekenen en dan kijken of je een beetje in de goede richting zit.



\( \begin{array}{l} {\rm{Gegeven:}} \\ {\rm{D(2}}{\rm{, - 3}}{\rm{,2)\,\,en\,\,E ( - 1}}{\rm{,3}}{\rm{,0)}} \\ \overrightarrow {DE} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ { - 3} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ { - 6} \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ Vlak\,\,\,OAT:y = 0 \\ - 3 + - 6\lambda = 0 \\ 6\lambda = - 3 \\ \lambda = - \frac{1}{2} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3 \cdot - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ y = 0 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{1}{2} = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right) \\ Vlak\,\,\,OCT:x = 0 \\ 2 + 3\lambda = 0 \\ 3\lambda = - 2 \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 3 - 6 \cdot - \frac{2}{3} = 1 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right)\,\,\,en\,\,\,Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ d(P,Q) = \sqrt {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( { - 1} \right)^2 + \left( {1 - \frac{2}{3}} \right)^2 } \\ d(P,Q) = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{9}} = 1\frac{1}{6} \\ \end{array} \)

Op gelijk afstand

"Gegeven zijn de punten A(1,0,-1), B(2,3,1) en C(0,2,-3). Bepaal een punt P dat op gelijke afstand ligt van A, B en C en op afstand \(\sqrt{5}\) van het vlak ABC."
 

donderdag 27 februari 2020

Nog meer kubus...

In een rechthoekig coordinatenstelsel is gegeven kubus OABC DEFG met ribbe 4. Uit een punt P(8,2,0) trekt men een lijn door S, het snijpunt van de lichaamsdiagonalen van de kubus. Deze lijn snijdt het voorvlak van de kubus in punt K en het achtervlak van de kubus in punt L.
  • Bereken |KL| 
Uitwerking



\( \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 6 \\ 0 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right) \\ ABEF:x = 4 \\ 4 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \\ z = 1\frac{1}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow K\left( {4,2,1\frac{1}{3}} \right) \\ OCGH:x = 0 \\ 0 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - 1\frac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 \\ z = 2\frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow L\left( {0,2,2\frac{2}{3}} \right) \\ d(K,L) = \sqrt {4^2 + \left( {2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3}} \right)^2 } = 1\frac{1}{3}\sqrt {10} \\ \end{array} \)

maandag 24 februari 2020

Hoek van de richtingsvectoren in een kubus

Een vraag uit WisFaq:

Teken een kubus EFGH ABCO met ribbe 3 cm. De x-as is de drager van OA, de y-as van OC en de z-as de drager van OH. P is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen BG en FC. Q is het midden van ribbe AB.
  1. Bereken de hoeken die lichaamsdiagonaal OF maakt met OP, OQ en OB.
  2. Bepaal een vectorvoorstelling van AG en BE. Bereken de hoek van OF en AG.
  3. Toon aan dat OF en BE elkaar loodrecht kruisen.

bron

De hoek bereken van OF en OP ging daarna goed. Maar bij de berekening van de hoek van OQ en OB kwam niet het goed antwoord. Er zaten in de uitwerkingen wel wat rekenfoutjes maar ook daarna wilde het niet lukken.

Ik moest er wel een tijd je naar kijken maar de hoek van OQ en OB wordt niet gevraagd. Je moet dat anders lezen:

Het gaat bij vraag a. om:

1. OF en OP
2. OF en OQ
3. OF en OB

...en niet om OQ en OB... Je moet er maar op komen.

Zo zie je maar weer dat ook bij wiskunde de taalvaardigheden erg belangrijk zijn. Wiskundig kan je dan nog zo slim zijn... als je slecht leest kom je nergens... ja in Rome misschien....:-)

....en vooruit: ik doe de uitwerking van a. er nog wel even bij...:-)

\( \begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OP}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OP} \right|}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {18} }} \approx {\rm{0}}{\rm{,943}} \\ \varphi \approx 0,108\pi \\ \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OQ}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OQ} \right|}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt {15} }} \approx {\rm{0}}{\rm{,775}} \\ \varphi \approx 0,218\pi \\ \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OB}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OB} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} \approx {\rm{0}}{\rm{,816}} \\ \varphi \approx 0,196\pi \\ \end{array} \)

Zo heb ik zelf moeite met het verschil tussen 'groter' en 'kleiner'. Dat is niet handig voor een wiskundeleraar. Idem voor 'links' en 'rechts'. Dat is dan weer lastig bij rijles en navigatie... Over Rome gesproken...:-)

zaterdag 22 februari 2020

Lineaire algebra

Het leek zo'n aardig vraagstuk:
  • Bereken de plaatsvector van het snijpunt van vlak V, dat door de eindpunten van 2a, 2c en a+b+c gaat, met de lijn x=c+\(\lambda\)(b-c), uitgedrukt in a, b en c. 
Voor de oplossing  kan je een vectorvoorstelling van V opstellen en dan snijden met de lijn \(l\).

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

Dat moet het zijn...:-)
Maar zo kan het ook:

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

...en daar komt dan hetzelfde uit. Na een tijdje...:-)

Conclusie
Voor een vectorvoorstelling van een vlak V met drie gegeven plaatsvectoren kies je een steunvector en twee verschilvectoren als richtingsvectoren. De keuze van de verschillende vectoren maakt uiteindelijk niet uit. Dat is toch mooi...:-)

zaterdag 15 februari 2020

Uit de oude doos

"Omtrent de cursus 'differentiatie in de klas' moet ik me helaas afmelden. Ik was lekker op weg, ik heb leuke dingen bedacht, een boekje aangeschaft (ga ik nog zeker lezen in de vakantie), nagedacht, geëxperimenteerd, gepraat met collega's, met leerlingen, van alles opgenomen in mijn documentatie voor mijn ontwikkelgesprek, maar in het kader van mijn werkomstandigheden, toenemende werkdruk, verschuivende prioriteiten, afgewezen collega's, meervoudige nee's op mijn wensen, zinloosheid, heb ik besloten niet verder te gaan met de cursus.
  • Ik heb er wel iets van geleerd, dat wel:-)"
...nooit meer iets van vernomen...:-)

donderdag 13 februari 2020

Uit de archieven gevist

Het doel van wiskundeonderwijs is wiskunde leren. Dat moet ook zo zijn en dat moet zeker zo blijven. Al die vakoverstijgende vaardigheden zijn belangrijk maar ons vak maar het is een voertuig en een middel, maar het draait om de content. Ik hou vast aan de vaardigheden voor mijn vak:
  1. Getallen en rekenen
  2. Functies, grafieken en verbanden
  3. Formules en vergelijkingen
  4. Meetkunde
  5. Statistiek en kans
  6. Taal van de wiskunde
  7. Redeneren en bewijzen
  8. Probleemaanpak
Dat is gebaseerd op de kerndoelen basisvorming en eindexameneisen en op een aantal jaren ervaring…:-). Dat is wat wij doen.:-)

zaterdag 8 februari 2020

Op de lange baan

Ideetje
  • leerlingen doen een leerroute
  • een docent kijkt na en geeft feedback
  • docenten maken zelf  een leerroute
  • docenten krijgen eigen deel van de website met een speler om een leerroute te doen en na te kunnen kijken
Je kunt niet ontkennen dat ik geen ideeën heb. Ik heb ook een hoop fantasie en (hopelijk) een uitkering,:-)

Off spin
Het zou nog interessant kunnen zijn om de algemene principes te formuleren. Wat heb je precies nodig en hoe ga je dat regelen? Wat is nu precies de truuk? Als je dat weer ben je al ver heen...:-)

Ideetje
Een idee kan geen kwaad, maar er is nog een lange weg tussen idee en uitvoering. Ik ben meer dan de ideeën. De uitvoering laat ik graag over aan anderen...:-)

Realistischer uitgangspunt
Meestal worden boekjes serieuzer genomen dan websites of weblogs. Het is waarschijnlijk realistischer om van het lesmateriaal van wiskundeleraar.nl een paar boekjes te maken en te verkopen. Met ondersteuning, aanvullingen en zo via Ineternet. 't Is een ideetje...:-)

Rijk en gezond
Maar misschien moet ik gewoon proberen mijn eisen wat te beperken. Voorlopig ga ik voor 'slapend rijk worden' en 'gezond'...:-)
  • Mocht dat lukken dan hoor je mij niet meer klagen...:-)

De kunst van het loslaten
Ik heb soms moeite met dingen los te laten. Of het nu wiskundeleraar.nl is of iets anders. Naar af en toe moet je wel. Dus weg er mee... Laat gaan...