zondag 25 oktober 2020

Ontbinden in factoren

\( \eqalign{ & 3x^2 - 2x - 1 = 0 \cr & 3x^2 + x - 3x - 1 = 0 \cr & x(3x + 1) - (3x + 1) = 0 \cr & (x - 1)(3x + 1) = 0 \cr & x = 1 \vee 3x = - 1 \cr & x = 1 \vee x = - \frac{1} {3} \cr} \)

Rekenen met grote getallen

\( \eqalign{ & x = \sqrt {\left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right)^3 } \cr & \log (x) = \log \left( {\sqrt {\left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right)^3 } } \right) \cr & \log (x) = \log \left( {\left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right)^{\frac{3} {2}} } \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \log \left( {\frac{{\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} }} {{0,035^{10} }}} \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \left( {\log \left( {\left( {30\pi } \right)^{90} \cdot 2000^{14} } \right) - \log \left( {0,035^{10} } \right)} \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \left( {\log \left( {\left( {30\pi } \right)^{90} } \right) + \log \left( {2000^{14} } \right) - \log \left( {0,035^{10} } \right)} \right) \cr & \log (x) = \frac{3} {2} \cdot \left( {90 \cdot \log \left( {\left( {30\pi } \right)} \right) + 14 \cdot \log \left( {2000} \right) - 10 \cdot \log \left( {0,035} \right)} \right) \cr & \log (x) = 135 \cdot \log \left( {\left( {30\pi } \right)} \right) + 21 \cdot \log \left( {2000} \right) - 15 \cdot \log \left( {0,035} \right) \cr & \log (x) \approx 357,6872114 \cr & x \approx 10^{0,6872114} \cdot 10^{357} \cr & x \approx 4,866440301 \cdot 10^{357} \cr} \)

zondag 18 oktober 2020

Opening of asymptoot?

\( \eqalign{f(x) = \frac{{x^3 - 2x^2 - x + 2}} {{x^2 - 4x + 4}}} \)

vrijdag 9 oktober 2020

Is dat wat?:-)

\( \eqalign{ & y = 2 - \frac{1} {{x + 1}} \cr & y(x + 1) = 2(x + 1) - 1 \cr & xy + y = 2x + 1 \cr & - 2x + xy = - y + 1 \cr & x(y - 2) = 1 - y \cr & x = \frac{{1 - y}} {{y - 2}} \cr} \)

Naschrift

Een halve cirkel

woensdag 22 juli 2020

22-7

\( \eqalign{\int\limits_0^1 {{{x^4 (x - 1)^4 } \over {x^2 + 1}}\,dx} = {{22} \over 7} - \pi } \)

zaterdag 20 juni 2020

Voetbalploegen

Vraag

Op hoeveel manieren kan men 22 jongens verdelen in 2 voetbalploegen?

Uitwerking

Kies 11 jongens uit 22 voor team A. Je hebt dan nog 11 jongens over voor team B. Daarna nog delen door 2 omdat team A en B onderling uitwisselbaar zijn.

\(\eqalign{\frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} {22} \\ {11} \\ \end{array}} \right)}}{2} = {\rm{352}}{\rm{.716}}}\)

woensdag 10 juni 2020

HAVO wiskunde B - 2011 (pilot) 2e tijdvak

\(
\eqalign{
  & 19.  \cr
  & (x - 7)^2  + (y - 9)^2  = 100  \cr
  &  \downarrow y =  - {3 \over 4}x + 17{3 \over 4}  \cr
  & (x - 7)^2  + \left( { - {3 \over 4}x + 17{3 \over 4} - 9} \right)^2  = 100  \cr
  & (x - 7)^2  + \left( { - {3 \over 4}x + 8{3 \over 4}} \right)^2  = 100  \cr
  & (x - 7)^2  + {{\left( { - 3x + 35} \right)^2 } \over {4^2 }} = 100  \cr
  & 16(x - 7)^2  + \left( { - 3x + 35} \right)^2  = 1600  \cr
  & 16x^2  - 224x + 784 + 9x^2  - 210x + 1225 = 1600  \cr
  & 25x^2  - 434x + 409 = 0  \cr
  &  \downarrow GR  \cr
  & x = 1 \vee x = 16{9 \over {25}}  \cr
  &  \downarrow GR  \cr
  & \left\{ \matrix{
  x = 16{9 \over {25}} \hfill \cr
  y =  - {3 \over 4} \cdot 16{9 \over {25}} + 17{3 \over 4} = 5{{12} \over {25}} \hfill \cr}  \right.  \cr
  & Q\left( {16{9 \over {25}},5{{12} \over {25}}} \right) \cr}
\)


dinsdag 9 juni 2020

Nagekomen bericht:-)

\( \begin{array}{l} y'' - y' - 2y = 0 \\ y( - 1) = 1 \\ y(1) = 0 \\ k^2 - k - 2 = 0 \\ (k - 2)(k + 1) = 0 \\ k = 2 \vee k = - 1 \\ y = C_1 \cdot e^{2x} + C_2 \cdot e^{ - x} \\ \left\{ \begin{array}{l} C_1 \cdot e^{ - 2} + C_2 \cdot e = 1 \\ C_1 \cdot e^2 + C_2 \cdot e^{ - 1} = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} C_1 = \frac{{e^2 }}{{1 - e^6 }} \\ C_2 = \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \\ \end{array} \right. \\ y = \frac{{e^2 }}{{1 - e^6 }} \cdot e^{2x} + \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{ - x} \\ y = - \frac{{e^2 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{2x} + \frac{{e^5 }}{{e^6 - 1}} \cdot e^{ - x} \\ y = \frac{{e^{5 - x} - e^{2x + 2} }}{{e^6 - 1}} \\ \end{array} \)

maandag 8 juni 2020

Quotientregel

\( \eqalign{ & \left[ {\frac{t} {n}} \right]' = \cr & \left[ {t \cdot n^{ - 1} } \right]' = \cr & t' \cdot n^{ - 1} + t \cdot - 1 \cdot n^{ - 2} \cdot n' = \cr & \frac{{t'}} {n} - \frac{{t \cdot n'}} {{n^2 }} = \cr & \frac{{t' \cdot n}} {{n^2 }} - \frac{{t \cdot n'}} {{n^2 }} = \cr & \frac{{t' \cdot n - t \cdot n'}} {{n^2 }} \cr} \)

vrijdag 5 juni 2020

De som

8.1  Bereken de som van de volgende rijen getallen.
  1. Alle positieve gehele getallen van 1 tot en met 2003.
  2. Alle positieve gehele getallen van drie cijfers.
  3. Alle oneven getallen tussen 1000 en 2000.
  4. Alle positieve gehele getallen van hoogstens drie cijfers die op het cijfer 3 eindigen.
  5. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 2 of het cijfer 7.
  6. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 6 of het cijfer 7.
Uit: basiswiskunde - Jan van de Craats en Rob Bosch

a. 2007006
b. 494550
c. 750000
d. 49800
e. 9899100
f. 9902700

De som van een rekenkundige rij gaat prima met:

Opmerking
Bij f. kan je dan 's proberen zoiets te doen:

 \(
som = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot \left( {1006 + 9997} \right)
\)

...en dan maar hopen dat het klopt...šŸ˜

woensdag 3 juni 2020

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

\(
\eqalign{
  & \int {{{\tan (\ln (\sqrt x ))} \over x}} \,dx =   \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)}  \cdot {1 \over x}\,dx =   \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)} \,d\left( {\ln (x)} \right) =   \cr
  &  \downarrow u = \ln (x)  \cr
  & \int {\tan \left( {{1 \over 2}u} \right)} \,du =   \cr
  & \int {{{\sin \left( {{1 \over 2}u} \right)} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}} \,du =   \cr
  & \int {{{ - 2} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}}  \cdot  - {1 \over 2}\sin \left( {{1 \over 2}u} \right)\,du =   \cr
  & \int {{{ - 2} \over {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)}}}  \cdot \,d\left( {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)} \right) =   \cr
  &  \downarrow v = \cos \left( {{1 \over 2}u} \right)  \cr
  & \int {{{ - 2} \over v}}  \cdot \,dv =   \cr
  &  - 2\ln (v) + C =   \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {{1 \over 2}u} \right)} \right) + C =   \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {{1 \over 2}\ln (x)} \right)} \right) + C  \cr
  &  - 2\ln \left( {\cos \left( {\ln (\sqrt x )} \right)} \right) + C \cr}
\)

zondag 17 mei 2020

Hoe moeilijk kan dat zijn?:-)

Hoe bereken je de eerste term van een meetkundige rij als je weet dat t6+t7=240 en t9+t10=1300?

Uitwerking 

\( \eqalign{ & \left\{ \matrix{ ar^5 + ar^6 = 240 \hfill \cr ar^8 + ar^9 = 1300 \hfill \cr} \right. \cr & {{ar^8 + ar^9 } \over {ar^5 + ar^6 }} = {{1300} \over {240}} \cr & {{ar^8 \left( {1 + r} \right)} \over {ar^5 \left( {1 + r} \right)}} = {{65} \over {12}} \cr & r^3 = {{65} \over {12}} \cr & r = {1 \over 6}\root 3 \of {1170} \cr & a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + a \cdot \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 = 240 \cr & a\left( {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 } \right) = 240 \cr & a = {{240} \over {\left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^5 + \left( {{1 \over 6}\root 3 \of {1170} } \right)^6 }} \cr & a = {{240} \over {{{65\root 3 \of {50700} } \over {144}} + {{4225} \over {144}}}} \cr & a = {{34560} \over {65\root 3 \of {50700} + 4225}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cr & a = {{6912} \over {13\root 3 \of {50700} + 845}} \cdot {{\root 3 \of {65} } \over {\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\root 3 \of {12} + 845\root 3 \of {65} }} \cr & a = {{6912\root 3 \of {65} } \over {845\left( {\root 3 \of {65} + \root 3 \of {12} } \right)}} \cr} \)

donderdag 14 mei 2020

Een assenvergelijking van het vlak V


  • Wat is de vergelijking voor vlak V met de punten E, P en Q?


\( \eqalign{ & V:(8,0,0),(0,4,0)\,\,\,en\,\,\,(0,0, - 8) \cr & V:\frac{x} {8} + \frac{y} {4} + \frac{z} {{ - 8}} = 1 \cr & V:x + 2y - z = 8 \cr} \)



zaterdag 25 april 2020

Snijlijn van twee vlakken

In een rechthoekig assenstelsel OXYZ zijn gegeven de punten A(4,0,0), B(4,8,0), C (0,8,0) en T (0,0,8). Op AB ligt punt D(4,6,0).
  • Bepaal een vectorvoorstelling van de snijlijn van vlak TDO en vlak ACT.
Uitwerking 

\( \begin{array}{l} TDO:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ ACT:\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \rho \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \tau \left( {\begin{array}{*{20}c} { - 1} \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ \left\{ \begin{array}{l} 2\lambda = 4 - \rho - \tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 2\rho - 2\tau \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 4\lambda = 8 - 3\lambda - \mu \\ 3\lambda = 2\rho \\ \mu = 2\tau \\ \end{array} \right. \\ \mu = - 7\lambda + 8 \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \left( { - 7\lambda + 8} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + - 7\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + 8 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\ l:\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 0 \\ 8 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ { - 7} \\ \end{array}} \right) \\ \end{array} \)

Geneste wortel

\( \begin{array}{l} \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt a - \sqrt b \\ 2 - \sqrt 3 = a - 2\sqrt {ab} + b \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 2\sqrt {ab} = \sqrt 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2 \\ 4ab = 3 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1\frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt {1\frac{1}{2}} - \sqrt {\frac{1}{2}} \\ \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \frac{1}{2}\sqrt 6 - \frac{1}{2}\sqrt 2 \\ \end{array} \)

donderdag 23 april 2020

maandag 20 april 2020

Vraag 10

Een fabrikant van pralines verpakt reeds jaren zijn leveringen aan grootwarenhuizen in dozen met een vierkante grondoppervlakte (zijde is 8 cm) en een hoogte van 21 cm. Hij zou graag de inhoud van zijn dozen vergroten maar wil niet meer betalen aan karton voor zijn dozen.
  • Wat zijn de afmetingen van de zijden van het grondvlak en de hoogte waarbij de inhoud maximaal wordt?
Uitwerkingen

Eerst maar 's een tekening:

q89637img1.gif
  1. De totale oppervlakte bestaat uit 4 zijvlakken van 8x21, een grondvlak van 82 en een bovenvlak van 82. Meer in 't algemeen: je hebt 4 zijvlakken van hx, een grondvlak van x2 en een bovenvlak van x2. Optellen en je hebt je formule voor de oppervlakte O. Invullen van x=8 en h=21 zal dan wel lukken.
  2. Als je een formuie hebt met O=...·xh+...·x2 en je weet dat O de oppervlakte van het pak is als x=8 en h=21 dan kan je de formule herschrijven waarbij je h uitdrukt in x.
  3. De inhoud van de balk is gelijk aan I=x2·h. Vul voor h de formule in die je bij b. gevonden hebt. Je krijgt dan een formule voor de inhoud I uitgedrukt in x.
  4. Bepaal de afgeleide van de functie die je bij c. gevonden hebt.
  5. Stel de afgeleide nul, los op en je hebt mogelijke kandidaten voor x waarbij je grootste inhoud hebt.
  6. Als je de waarde van x gevonden hebt dan kan je de bijbehorende waarde van h uitrekenen. Wat valt je op?

donderdag 16 april 2020

Twee voorbeelden van eenvoudige vlakvullingen

EĆ©n eenvoudige manier om een vlakvulling te maken is uitgaan van (bijvoorbeeld) een gelijkzijdige driehoek en te zorgen dat je tekening aansluit... dus A en A', B en B' en C aan C'.

q8627img1.gif

Dat geeft dan als vlakvulling:

q8627img2.gif

Vierkant
Dat kan uit als je uitgaat van een vierkant:

q8627img3.gif

Dat geeft dan:

q8627img4.gif

Dat is dan toch wel aardig toch?

woensdag 15 april 2020

Veelhoeken en middens van zijden - deel 2

Je kunt bij een gegeven aantal oneven middens een n-hoek tekenen. Dat lukt altijd. Bij een willekeurig startpunt kan je het 'beoogde startpunt' vinden op het midden van start- en eindpunt.

q14638img1.gif

Eigenlijk had D''' op D uit moeten komen. Om het te laten kloppen moet je D kiezen op het midden van DD''':

q14638img2.gif

Dus kies D op E.

q14638img3.gif

Mission accomplised.

Je kunt overigens bij gegeven middens het startpunt ook berekenen: Dit doe je door het om en om optellen en aftrekken van de coƶrdinaten van de middens te nemen.

x:=2-5+3=0
y:=1-3+4=2

Neem D(0,2).

Dat werkt bij oneven aantallen. Voor even aantallen gelden weer andere dingen.

Veelhoeken en middens van zijden

Neem 's aan dat je bij een gegeven n punten een n-hoek moet tekenen waarvan die punten de middens zijn van de zijden. Dus (bijvoorbeeld) zoiets als:

q14637img1.gif

Je kunt er dan achter komen dat dit met 4 willekeurige punten (of elk even aantal) niet altijd gaat lukken. Na 3 punten ligt het 4e punt in feite al vast.

q14637img2.gif

Het 4e midden moet op de zijde in het midden van DD''' liggen. Daarmee krijg je een vierhoek die klopt.

q14637img3.gif

Nu kun je punt D verplaatsen en kan je voor D elke willekeurig lokatie kiezen.

q14637img4.gif

Voor oneven n geldt dat niet. Daar is ook van alles te beleven...

Verschillende soorten symmetrie

Draaisymmetrie
Puntsymmetrie
Schuifsymmetrie
q1901img4.gif
q1901img5.gif
q8625img1.gif
Draaisymmetrie, maar dan moet je niet op kleur letten.
Puntsymmetrie als je niet op de kleur let.
 Je kunt de figuren naar rechts (of naar links) verschuiven.
Lijnsymmetrie
Puntsymmetrie
Draaisymmetrie
q1901img1.gif
q1901img2.gif
q1901img3.gif
De rode lijn geeft aan dat de figuren lijnsymmetrisch zijn.
De katten zijn puntsymmetrisch t.o.v. de groene punt.
De groen punt is het centrum van draaiing over 120°. Er zijn natuurlijk nog veel meer punten te vinden.

dinsdag 14 april 2020

De snijlijn van twee vlakken

Gegeven:

\(
\begin{array}{l}
 V:x - y + z = 4 \\
 W:3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array}
\)

Gevraagd:
  • Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van V en W.
Uitwerking:

Maak een stelsel van twee vergelijkingen:

\(
\left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right.
\)

Als je zorgt dat er een variabel weg valt kan je vervolgens met dit stelsel de vergelijking vinden van een derde vlak waarin de snijlijn ligt:

\(
\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 x - y + z = 4 \\
 3x - 2y - z = 5 \\
 \end{array} \right. \\
 (1) + (2) \\
 x - y + 3x - 2y = 9 \\
 4x - 3y = 9 \\
 \end{array}
\)

Ik kan nu x, y en z uitdrukken in \( \lambda \) en mijn vectorvoorstelling opstellen:

\(
\begin{array}{l}
 Kies\,\,y = \lambda  \\
 4x - 3\lambda  = 9 \\
 4x = 3\lambda  + 9 \\
 x = \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} \\
 \frac{3}{4}\lambda  + 2\frac{1}{4} - \lambda  + z = 4 \\
 z = \frac{1}{4}\lambda  + 1\frac{3}{4} \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{3}{4}}  \\
   1  \\
   {\frac{1}{4}}  \\
\end{array}} \right) \\
 \left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {2\frac{1}{4}}  \\
   0  \\
   {1\frac{3}{4}}  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   3  \\
   4  \\
   1  \\
\end{array}} \right) \\
 \end{array}
\)

Zie zo...:-)

zondag 5 april 2020

Hoeken berekenen in een regelmatige vierzijdige piramide

Teken een regelmatige vierzijdige piramide T ABCD met hoogte 4 en ribbe grondvlak 4, xas//AD en y as//AB. Neem als oorsprong het snijpunt AC en BD. P is het midden van AT.


  1. Bereken de hoek van DP en de vlakken ACT en BDT.
  2. Bereken de hoek van de vlakken ABT en ADT.

donderdag 2 april 2020

Afstand van punt en lijn

Teken een kubus ABCO·DEFG met de x as langs OA, de y as langs OC en de z as langs OG. De ribbe van de kubus is 2. Als P het midden is van ribbe FG en Q het midden van ribbe BC.
  • Bereken dan de afstand van het punt P tot de lijn AQ.
Uitwerking



Eerst maar 's een vectorvoorstelling van de lijn AQ:

\(
AQ:\left( {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   z  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   2  \\
   0  \\
   0  \\
\end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}
   { - 1}  \\
   2  \\
   0  \\
\end{array}} \right)
\)

Neem dan het vlak V loodrecht op AQ en waar P in ligt:

\(
\begin{array}{l}
 V: - x + 2y = d \\
 P(0,1,2)\,\,\,in\,\,\,V \\
 d = 2 \\
 \end{array}
\)

Je kunt V snijden met AQ om P' te vinden:

\(
\begin{array}{l}
 V: - x + 2y = 2 \\
  - \left( {2 - \lambda } \right) + 2\left( {2\lambda } \right) = 2 \\
  - 2 + \lambda  + 4\lambda  = 2 \\
 5\lambda  = 4 \\
 \lambda  = \frac{4}{5} \\
 P'\left( {1\frac{1}{5},1\frac{3}{5},0} \right) \\
 \end{array}
\)

En dan zijn we er wel zo'n beetje:

\(
d(PP') = \sqrt {\left( {1\frac{1}{5} - 0} \right)^2  + \left( {1\frac{3}{5} - 1} \right)^2  + \left( {0 - 2} \right)^2 }  = \frac{1}{5}\sqrt {145}
\)

Dat kan ook...:-)


maandag 30 maart 2020

Transformaties

Gegeven:

\( \eqalign{ & f(x) = x^2 \cr & g(x) = x^2 - 4x + 3 \cr} \)

De gemeenschappelijke raaklijn raakt \(f\) in \(x=p\) en \(g\) in \(x=q\).
  • Bereken de waarde van \(p\) en \(q\).
Alternatieve uitwerking

Je kunt \(g\) opvatten als een translatie van \(f\). Je krijgt dan:

\(
\eqalign{
  & P(p,p^2 )  \cr
  & Q(p + 2,p^2  - 1)  \cr
  & a = \frac{{p^2  - 1 - p^2 }}
{{p + 2 - p}} = \frac{{ - 1}}
{2} =  - \frac{1}
{2}  \cr
  & f'(p) = 2p =  - \frac{1}
{2} \Rightarrow p =  - \frac{1}
{4}  \cr
  & q = p + 2 =  - \frac{1}
{4} + 2 = 1\frac{3}
{4} \cr}
\)

Maar ja... ga dat maar 's uitleggen dan...:-)

zaterdag 28 maart 2020

Oplossen derdegraads vergelijking (TI82)

De oplossingen van -x3 + ax2 + bx + c = 0. De waarden van a, b en c staan in A, B en C. (Zie ook karakteristieke vergelijking!) Het programma:
In het geval de oplossingen complex zijn moeten we iets anders verzinnen.

zondag 15 maart 2020

Limieten van vierkantswortels

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x - 3} }} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x - 3} }} \cdot \frac{{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} {{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 6 - 3x}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2x + 6}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\left( {x - 3} \right)}} {{\sqrt {x - 3} \cdot \left( {\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} } \right)}} = \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 2\sqrt {x - 3} }} {{\sqrt {x + 6} + \sqrt {3x} }} = \frac{{ - 2\sqrt {3 - 3} }} {{\sqrt {3 + 6} + \sqrt {3 \cdot 3} }} = 0 \cr} \)


zaterdag 29 februari 2020

Maak een duidelijke tekening

In een 4-zijdige piramide T OABC is de hoogte 4 en het grondvlak een vierkant met zijde 3.

De x-as langs OA, de y-as langs OC en de z-as langs OT.
Door de punten D(2,-3,2) en E (-1,3,0) trekt men een lijn die de piramide snijdt in de punten P en Q.
  • Maak een duidelijke tekening en bereken |PQ|.
UITWERKING



Dat is alvast een goed begin... het halve werk... later misschien meer...:-)

Maar als je twijfelt kan je altijd een bovenaanzicht tekenen en dan kijken of je een beetje in de goede richting zit.



\( \begin{array}{l} {\rm{Gegeven:}} \\ {\rm{D(2}}{\rm{, - 3}}{\rm{,2)\,\,en\,\,E ( - 1}}{\rm{,3}}{\rm{,0)}} \\ \overrightarrow {DE} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ { - 3} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ { - 6} \\ 2 \\ \end{array}} \right) \\ Vlak\,\,\,OAT:y = 0 \\ - 3 + - 6\lambda = 0 \\ 6\lambda = - 3 \\ \lambda = - \frac{1}{2} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3 \cdot - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ y = 0 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{1}{2} = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right) \\ Vlak\,\,\,OCT:x = 0 \\ 2 + 3\lambda = 0 \\ 3\lambda = - 2 \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = - 3 - 6 \cdot - \frac{2}{3} = 1 \\ z = 2 + 2 \cdot - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ P\left( {\frac{1}{2},0,1} \right)\,\,\,en\,\,\,Q\left( {0,1,\frac{2}{3}} \right) \\ d(P,Q) = \sqrt {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( { - 1} \right)^2 + \left( {1 - \frac{2}{3}} \right)^2 } \\ d(P,Q) = \sqrt {\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{9}} = 1\frac{1}{6} \\ \end{array} \)

Op gelijk afstand

"Gegeven zijn de punten A(1,0,-1), B(2,3,1) en C(0,2,-3). Bepaal een punt P dat op gelijke afstand ligt van A, B en C en op afstand \(\sqrt{5}\) van het vlak ABC."
 

donderdag 27 februari 2020

Nog meer kubus...

In een rechthoekig coordinatenstelsel is gegeven kubus OABC DEFG met ribbe 4. Uit een punt P(8,2,0) trekt men een lijn door S, het snijpunt van de lichaamsdiagonalen van de kubus. Deze lijn snijdt het voorvlak van de kubus in punt K en het achtervlak van de kubus in punt L.
  • Bereken |KL| 
Uitwerking



\( \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 8 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} 6 \\ 0 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right) \\ ABEF:x = 4 \\ 4 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - \frac{2}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \\ z = 1\frac{1}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow K\left( {4,2,1\frac{1}{3}} \right) \\ OCGH:x = 0 \\ 0 = 8 + 6\lambda \\ \lambda = - 1\frac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 \\ z = 2\frac{2}{3} \\ \end{array} \right. \Rightarrow L\left( {0,2,2\frac{2}{3}} \right) \\ d(K,L) = \sqrt {4^2 + \left( {2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3}} \right)^2 } = 1\frac{1}{3}\sqrt {10} \\ \end{array} \)

maandag 24 februari 2020

Hoek van de richtingsvectoren in een kubus

Een vraag uit WisFaq:

Teken een kubus EFGH ABCO met ribbe 3 cm. De x-as is de drager van OA, de y-as van OC en de z-as de drager van OH. P is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen BG en FC. Q is het midden van ribbe AB.
  1. Bereken de hoeken die lichaamsdiagonaal OF maakt met OP, OQ en OB.
  2. Bepaal een vectorvoorstelling van AG en BE. Bereken de hoek van OF en AG.
  3. Toon aan dat OF en BE elkaar loodrecht kruisen.

bron

De hoek bereken van OF en OP ging daarna goed. Maar bij de berekening van de hoek van OQ en OB kwam niet het goed antwoord. Er zaten in de uitwerkingen wel wat rekenfoutjes maar ook daarna wilde het niet lukken.

Ik moest er wel een tijd je naar kijken maar de hoek van OQ en OB wordt niet gevraagd. Je moet dat anders lezen:

Het gaat bij vraag a. om:

1. OF en OP
2. OF en OQ
3. OF en OB

...en niet om OQ en OB... Je moet er maar op komen.

Zo zie je maar weer dat ook bij wiskunde de taalvaardigheden erg belangrijk zijn. Wiskundig kan je dan nog zo slim zijn... als je slecht leest kom je nergens... ja in Rome misschien....:-)

....en vooruit: ik doe de uitwerking van a. er nog wel even bij...:-)

\( \begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OP}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OP} \right|}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {18} }} \approx {\rm{0}}{\rm{,943}} \\ \varphi \approx 0,108\pi \\ \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OQ}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OQ} \right|}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt {15} }} \approx {\rm{0}}{\rm{,775}} \\ \varphi \approx 0,218\pi \\ \cos \varphi = \frac{{OF \cdot OB}}{{\left| {OF} \right| \cdot \left| {OB} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} \approx {\rm{0}}{\rm{,816}} \\ \varphi \approx 0,196\pi \\ \end{array} \)

Zo heb ik zelf moeite met het verschil tussen 'groter' en 'kleiner'. Dat is niet handig voor een wiskundeleraar. Idem voor 'links' en 'rechts'. Dat is dan weer lastig bij rijles en navigatie... Over Rome gesproken...:-)

zaterdag 22 februari 2020

Lineaire algebra

Het leek zo'n aardig vraagstuk:
  • Bereken de plaatsvector van het snijpunt van vlak V, dat door de eindpunten van 2a, 2c en a+b+c gaat, met de lijn x=c+\(\lambda\)(b-c), uitgedrukt in a, b en c. 
Voor de oplossing  kan je een vectorvoorstelling van V opstellen en dan snijden met de lijn \(l\).

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

Dat moet het zijn...:-)
Maar zo kan het ook:

\( \begin{array}{l} V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b + c - 2c} \right) \\ V = 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) \\ en \\ l = c + \lambda (b - c) \\ geeft: \\ 2a + \mu (2a - 2c) + \rho \left( {a + b - c} \right) = c + \lambda (b - c) \\ 2a + 2\mu a - 2\mu c + \rho a + \rho b - \rho c = c + \lambda b - \lambda c \\ a\left( {2 + 2\mu + \rho } \right) + b\left( {\rho - \lambda } \right) + c\left( { - 2\mu - \rho - 1 + \lambda } \right) = 0 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2 + 2\mu + \rho = 0 \\ \rho - \lambda = 0 \\ - 2\mu - \rho - 1 + \lambda = 0 \\ \end{array} \right. \\ ... \\ \left\{ \begin{array}{l} \lambda = - 1 \\ \mu = - \frac{1}{2} \\ \rho = - 1 \\ \end{array} \right. \\ S = c + - 1 \cdot (b - c) = - b + 2c \\ of\,\,\,ook: \\ S = 2a + - \frac{1}{2}(2a - 2c) + - 1\left( {a + b - c} \right) \\ S = 2a - a + c - a - b + c \\ S = - b + 2c \\ \end{array} \)

...en daar komt dan hetzelfde uit. Na een tijdje...:-)

Conclusie
Voor een vectorvoorstelling van een vlak V met drie gegeven plaatsvectoren kies je een steunvector en twee verschilvectoren als richtingsvectoren. De keuze van de verschillende vectoren maakt uiteindelijk niet uit. Dat is toch mooi...:-)

zaterdag 15 februari 2020

Uit de oude doos

"Omtrent de cursus 'differentiatie in de klas' moet ik me helaas afmelden. Ik was lekker op weg, ik heb leuke dingen bedacht, een boekje aangeschaft (ga ik nog zeker lezen in de vakantie), nagedacht, geƫxperimenteerd, gepraat met collega's, met leerlingen, van alles opgenomen in mijn documentatie voor mijn ontwikkelgesprek, maar in het kader van mijn werkomstandigheden, toenemende werkdruk, verschuivende prioriteiten, afgewezen collega's, meervoudige nee's op mijn wensen, zinloosheid, heb ik besloten niet verder te gaan met de cursus.
  • Ik heb er wel iets van geleerd, dat wel:-)"
...nooit meer iets van vernomen...:-)

donderdag 13 februari 2020

Uit de archieven gevist

Het doel van wiskundeonderwijs is wiskunde leren. Dat moet ook zo zijn en dat moet zeker zo blijven. Al die vakoverstijgende vaardigheden zijn belangrijk maar ons vak maar het is een voertuig en een middel, maar het draait om de content. Ik hou vast aan de vaardigheden voor mijn vak:
  1. Getallen en rekenen
  2. Functies, grafieken en verbanden
  3. Formules en vergelijkingen
  4. Meetkunde
  5. Statistiek en kans
  6. Taal van de wiskunde
  7. Redeneren en bewijzen
  8. Probleemaanpak
Dat is gebaseerd op de kerndoelen basisvorming en eindexameneisen en op een aantal jaren ervaring…:-). Dat is wat wij doen.:-)

zaterdag 8 februari 2020

Op de lange baan

Ideetje
  • leerlingen doen een leerroute
  • een docent kijkt na en geeft feedback
  • docenten maken zelf  een leerroute
  • docenten krijgen eigen deel van de website met een speler om een leerroute te doen en na te kunnen kijken
Je kunt niet ontkennen dat ik geen ideeƫn heb. Ik heb ook een hoop fantasie en (hopelijk) een uitkering,:-)

Off spin
Het zou nog interessant kunnen zijn om de algemene principes te formuleren. Wat heb je precies nodig en hoe ga je dat regelen? Wat is nu precies de truuk? Als je dat weer ben je al ver heen...:-)

Ideetje
Een idee kan geen kwaad, maar er is nog een lange weg tussen idee en uitvoering. Ik ben meer dan de ideeƫn. De uitvoering laat ik graag over aan anderen...:-)

Realistischer uitgangspunt
Meestal worden boekjes serieuzer genomen dan websites of weblogs. Het is waarschijnlijk realistischer om van het lesmateriaal van wiskundeleraar.nl een paar boekjes te maken en te verkopen. Met ondersteuning, aanvullingen en zo via Ineternet. 't Is een ideetje...:-)

Rijk en gezond
Maar misschien moet ik gewoon proberen mijn eisen wat te beperken. Voorlopig ga ik voor 'slapend rijk worden' en 'gezond'...:-)
  • Mocht dat lukken dan hoor je mij niet meer klagen...:-)

De kunst van het loslaten
Ik heb soms moeite met dingen los te laten. Of het nu wiskundeleraar.nl is of iets anders. Naar af en toe moet je wel. Dus weg er mee... Laat gaan...

woensdag 22 januari 2020

The milkmaid problem

"It's milking time at the farm, and the milkmaid has been sent to the field to get the day's milk. She's in a hurry to get back for a date with a handsome young goatherd, so she wants to finish her job as quickly as possible. However, before she can gather the milk, she has to rinse out her bucket in the nearby river.

Just when she reaches point M, our heroine spots the cow, way down at point C. Because she is in a hurry, she wants to take the shortest possible path from where she is to the river and then to the cow. So what is the best point P on the riverbank for her to rinse the bucket?"

An Introduction to Lagrange Multipliers

zaterdag 18 januari 2020

Word en MathType

Als je in WORD klikt op een formulevalk van MathType dan krijg je dit:


Maar dat wil je natuurlijk helemaal niet... maar als je MathType opent... en dan in WORD klikt op het formulevlak dan krijg je dit:


...en dat wil je wel... automatisch gekoppeld, bijwerken en zo... gelukkig maar...:-)