zondag 1 april 2018

Voorbeeld partieel integreren


Vraag

Hoe primitiveer je \(f(x)=(1+ax)e^{ax}\)?


Uitwerking

De functie \(f\) bestaat uit twee functies. We gaan partieel integreren.

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

\(
\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}
\)

De vraag is dan welke functie ik als \(g'\) ga gebruiken. Het ligt dan voor de hand om \(
\eqalign{g(x)={\frac{1}
{a}e^{ax} }}
\) te nemen.

Neem:

\( \eqalign{ & f(x) = 1 + ax \cr & f'(x) = a \cr & g(x) = \frac{1} {a}e^{ax} \cr} \)

Dat geeft:

\(
\eqalign{
& \int {\left( {1 + ax} \right) \cdot e^{ax} } dx = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \int {\frac{1}
{a}e^{ax} \cdot a\,\,dx} = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \int {e^{ax} dx} = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \frac{1}
{a}e^{ax} = xe^{ax} \cr}
\)