woensdag 14 maart 2018

Raaklijnen

Gegeven is de functie \(f(x) = (5-2x)e^x\). Er zijn twee lijnen door het punt \((3,0)\) die de grafiek van \(f\) raken.
  • Stel van elk van deze lijnen langs algebra├»sche weg de formule op.


De 'algemene formule' voor de lijnen door het punt \((3,0)\) is gelijk aan \(y=a·(x-3)\). Snijden met \(f\) zou 'mogelijke raakpunten' moeten geven. De punten waarbij \(a\) gelijk is aan de afgeleide in zo'n punt is dan een raaklijn.

Met de afgeleide kan je \(a\) uit drukken in \(x\). Substiueren geeft een vergelijking waarmee je raakpunten kunt bepalen. Hoe moeilijk kan dat zijn?

De afgeleide:

\(
\begin{array}{l}
 f(x) = (5 - 2x)e^x  \\
 f'(x) =  - 2e^x  + (5 - 2x)e^x  \\
 f'(x) = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \\
 \end{array}
\)

Dat geeft:

\(
a = \left( {3 - 2x} \right)e^x
\)

Invullen:

\(
\begin{array}{l}
 (5 - 2x)e^x  = a(x - 3) \\
 (5 - 2x)e^x  = \left( {3 - 2x} \right)e^x  \cdot (x - 3) \\
 5 - 2x = \left( {3 - 2x} \right)(x - 3) \\
 5 - 2x =  - 2x^2  + 9x - 9 \\
 2x^2  - 11x + 14 = 0 \\
 2x^2  - 4x - 7x + 14 = 0 \\
 2x(x - 2) - 7(x - 2) = 0 \\
 (2x - 7)(x - 2) = 0 \\
 x = 3\frac{1}{2} \vee x = 2 \\
 \end{array}
\)

Bereken de bijbehorende waarden voor \(a\):

\(
\begin{array}{l}
 a_1  = \left( {3 - 2 \cdot 3\frac{1}{2}} \right)e^{3\frac{1}{2}}  =  - 4\sqrt {e^7 }  \\
 y_1  =  - 4\sqrt {e^7 } \left( {x - 3} \right) \\
 a_2  = \left( {3 - 2 \cdot 2} \right)e^2  =  - e^2  \\
 y_2  =  - e^2 \left( {x - 3} \right) \\
 \end{array}
\)

Opgelost!