Aangepaste ikoontjes

Ik heb mijn ikoontjes in wiskundeleraar.nl aangepast. 't Is gewoon mooier als de ikoontje allemaal evengroot zijn.

't Is een hele verzameling, inmiddels. Op die manier houd ik nog een zicht op alles wat ik zo gebruik. Ik geef toe, veel plannen, veel oude dingen, maar uiteindelijk erg handig voor mezelf. En daar gaat het om...:-)

Vakdidactiek

Over WisFaq:

"WisFaq is vooral bedoeld voor leerlingen uit het voortgezet onderwijs in Nederland en België. Anderen mogen wel vragen stellen, maar deze vragen worden soms wel maar soms ook niet beantwoord."

Maar er zijn grenzen. Soms krijg ik wel 's het idee dat er mensen zijn die een leuke discussie willen beginnen, bijvoorbeeld over vakdidactiek. Ik moet me dan altijd inhouden.

De verleiding om leerlingen 'handige truukjes' te leren is groot, maar dat gaat op termijn eerder tegen ze werken dan in hun voordeel. Op de korte termijn geeft dan misschien betere resultaten maar 't is bouwen op drijfzand en vragen om moeilijkheden.

Een voorbeeld van zo'n 'truuk' is bijvoorbeeld 'het omrekenen van meters per seconde naar kilometer per uur'. Je kunt leerlingen er op wijzen dat als je de snelheid in meter per seconde vermenigvuldigt met 3,6 dat je dan de snelheid in kilometer per uur krijgt. Op de korte termijn werkt dat prima, maar, je snapt wel, na een maand of wat is de truuk vergeten. Was het nu vermenigvuldigen of delen? Was het nu 3,2 of zoiets? Dat is niet handig. Dan maar liever op deze manier. Eigenlijk heb je daarna geen truuk meer nodig.

Zo vind ik bij het oplossen van vergelijkingen de methode 'overbrengen en dan verandert het teken' wel een heel mooi voorbeeld van een verkeerde truuk. Een vergelijking bestaat uit een linker- en een rechterlid met een =-teken ertussen. Dat betekent dat links en rechts hetzelfde 'getal' staat. Als je nu maar links en rechts dezelfde bewerking(en) er op uitvoert kan het bijna niet fout gaan. De vraag is dan niet 'mag dit?' maar 'klopt dit?'.

Maar sommige mensen willen gewoon graag 'dingen' van rechts naar links overbrengen en wel zo dat het teken verandert. Maar wat is dat voor iets?:-) Dat zal op de korte termijn misschien wel werken, maar 't is echt flauwekul. Wie verzint er zoiets?

Als je nu leerlingen (bij-)les geeft probeer dan een beetje verder te kijken dan de korte termijn. Die leerling wil graag een snelle en vooral makkelijke oplossing, maar een goede leraar kijkt verder dan de korte termijn. Betere resultaten wil dus niet per sé zeggen de cijfers op de eerstvolgende toets, maar zou wel 's het succes in een later stadium kunnen zijn.

Dat je dat maar weet...:-)

De kettingregel

Als je de kettingregel uit wilt leggen in klas 4 dan kan je beginnen met:

[f(g(x))]' = f'(g(x))

Vervolgens moet je natuurlijk even uitleggen wat een 'ketting van functies' is en hoe bijvoorbeeld h(x)=(2x-3)² bestaat uit f(x)=x² en g(x)=2x-3 zodat h(x)=f(g(x)) is. Dat kan, maar 't werkt niet, denk ik. Je kunt ook nog 's een verhaal houden over dy/du·du/dx maar of dat helpt?

Veel handiger is om praktisch aan de gang te gaan. Doe eerst een voorbeeld...

Ik wil h(x)=(2x-3)² differentiëren. Ik doe dan net of er h(x)=(...)² staat. De afgeleide daarvan zou dan h'(x)=2(...) worden. Maar dat gaat zo maar niet. Volgens de kettingregel moet je dan nog wel vermenigvuldigen met de afgeleide van 'wat er op de puntjes staat'. Zoiets...

Als je daar een aantal voorbeelden van geeft dan kan iedereen dat wel zo'n beetje volgen. Als je dat 'truukje' eenmaal kan, dan kan je 's gaan nadenken over 'waarom dat zo werkt'. Dat gaat dan een stuk makkelijk omdat je een (concreet) idee waar het precies over gaat.

Is dat nieuw? Nou niet echt, geloof ik. Wij noemen dat 'van concreet naar abstract' en dat is zeker op het HAVO geen slechte strategie, denk ik. Weer iets geleerd dat ik eigenlijk al wist:-)

Leren, verwerken en een proef doen

Het schoot me ineens weer te binnen waarom ik me altijd zo verwonderd heb over de toetsen van 'Getal en Ruimte'. In de proef van hoofdstuk 7 staan (bijvoorbeeld) opgaven als:

Opgave 1.
Los op:
a. x²-5x-24=0
b. a²+8a-48=0
c. 6x-16x²=0

Opgave 2.
Los op:
a. (x-4)(x-6)=48
b. (x-2)(x+9)=12
c. (x-5)(2x+3)=0

Bij opgave 1. weet je dat c. problemen gaat geven. O ja, je moet iets met 'x' buiten haakjes halen. Dat is al even een stap. Daarna zijn er nog een paar problemen:

6x-16x²=0
2x(3-8x)=0
2x=0 of 3-8x=0

Zowel '2x=0' als '3-8x=0' is een probleem. Een aantal leerlingen weet niet hoe 't verder moet. Dat is bijzonder want dit zijn 'gewoon' twee lineaire vergelijkingen. Zie hoofdstuk 2 en klas 1.:-)

Kennelijk is er het ontwikkelen van het idee over 'doe links en rechts hezelfde' niet veel terecht gekomen. Op die manier wordt er niet veel opgebouwd aan de begripsvorming en blijven de vaardigheden voor het oplossen van vergelijkingen achter.

Bij Opgave 2. ligt bij c. het voor de hand dat leerlingen gaan proberen de haakjes weg te werken en dan proberen te ontbinden in factoren. Dat is nu jammer, want dat stond er al. Ook in dat geval moet ik vaststellen dat het idee van 'ontbinden in factoren' en 'iets keer iets is nul' ook al niet veel terecht gekomen is.

Ik kan niet anders concluderen dat leerlingen vooral 'truukjes' leren. Er is weinig samenhang. Dat is geen wiskunde. Dat moet anders. Anders komen we nooit ergens. Je kunt het de leerlingen niet echt kwalijk nemen, denk ik. Kennelijk slaagt het boek (en de docent) er (nog) niet in om nu precies duidelijk te krijgen hoe het nu allemaal precies in elkaar steekt.

Wiskunde leer je door te doen, inderdaad. Dus het boek/docent moet eerder beginnen met gemengde opgaven en meer focussen op 'begrijpen wat je aan het doen bent'. Dat betekent meer tijd inruimen voor de verwerking. Het liefst voor de proef en niet er na...:-)

De vraag is dan even hoe dat dan moet?

Leren structureren

Je hoort soms nog wel 's iemand roepen: 'Waarom moeten leerlingen kwadratische vergelijkingen leren oplossen? Dat heb je toch nooit nodig?'. Er zijn dan altijd mensen die dat graag beamen of zelfs gaan applaudisseren.

Alsof normale mensen in hun later leven wel regelmatig 'een sonnet schrijven' of 'een bodemonderzoek doen'. Het gaat bij de leerlijn 'het oplossen van vergelijkingen' kennelijk om iets anders. Maar wat zou dat zijn?



Ik heb er wel ideeën over, maar daarover misschien een andere keer. Maar probeer voorlopig het 'oplossen van vergelijkingen' eens te zien als een puzzel. Je hebt te maken met een of andere bewering over getallen en je moet van alles doen om er achter te komen of er getallen zijn die voldoen aan die vergelijking, je moet er achter zien te komen welke getallen dat dan precies zijn en dan wel graag allemaal.

Je moet daarbij alle kennis over getallen en rekenvaardigheden uit de kast halen en als je maar steeds 'logisch' blijft dan krijg je dat (soms) nog voor elkaar ook. Tada! Weer een vergelijking opgelost.

Maar ja, getallen zijn mijn vrienden, dus ik vind dat leuk:-)

Zie ook Math doesn't suck you do of leesmapartikel voor een meer 'no-nonsens-benadering'...:-)

Gecijferdheid

Ik was het niet van plan maar ik geloof dat ik per ongeluk een project gemaakt heb voor de kunstklas in de projectweek. Op mijn rooster zag ik dat ik maandag twee uur les heb en woensdag nog een uur. Nu kunnen we natuurlijk weer fijn sommen maken, maar misschien is het aardig om een keer iets anders te doen. Het is tenslotte projectweek.


Op zoek naar getallen, patronen en andere wiskunde in en rond de school. Foto's maken, in teams van 3 of 4 leerlingen, uploaden en een digitale expositie...

Ik ben benieuwd.

Foto's staan in de werkruimte op wiskundeleraar.nl. Een aantal staan ook op de projectpagina/weblog.

Andersoortige opdrachten

Naast het normale programma waarin de leerlingen kennis en vaardigheden opdoen is het niet zo'n gek idee om ook andersoortige opdrachten aan te bieden. Het doel van wiskundeonderwijs is niet het halen van proeven en examens. Uiteraard is een diploma wel een bewijs dat er sprake is geweest van het volgen van onderwijs maar de doelen gaan hopelijk wel iets verder.

In het kader van het ervaren van de nut en noodzaak van de wiskunde kan je opdrachten aanbieden die proberen de kennis van de wiskunde te verbreden of te verdiepen. Hieronder kan je daar een aantal voorbeelden van vinden:

• Alles op een rijtje?
  
• Nul is niet niks
  
• Probleemaanpak
  
• De som en het product van twee getallen
  
• Ons zonnestelsel
  
• Effectiviteit van een verpakking

Ik stel me zo voor dat bij de evaluatie van de opdrachten verschillende werkvormen kunnen worden ingezet. Je kunt het naar behoren uitvoeren van de opdrachten waarderen met tijd waarbij leerlingen een bepaalde tijd moeten besteden aan extra opdrachten of gewoon cijfers geven die meetellen. Montessorigewijs kan je bij deze opdrachten de nodige keuzevrijheid geven.

• Zie WisKast voor meer informatie. Voorlopig heb ik de plannen op lange baan geschoven. Maar je weet maar nooit.

bron

Grotere gehelen

Wiskundemethodes claimen meestal 'concentrisch' te zijn. Daarmee wordt bedoeld dat de leerstof steeds in grotere cirkels terugkomt. Eigenlijk doen we steeds hetzelfde, alleen in steeds bredere/diepere lagen. Zoiets...

Het probleem is echter dat dit niet helemaal werkt. De leerlingen van de tweede klas bijvoorbeeld lijken toch weer veel te zijn vergeten van de dingen die ze in klas 1 of eerder dit jaar gedaan hebben. De kennis en vaardigheden zijn niet erg blijven 'hangen'. Als docent heb je soms 't gevoel dat je steeds weer opnieuw moet beginnen.

Het is dus van belang om de belangrijke onderdelen uit het programma regelmatig terug te laten komen. Het is niet handig om proeven te doen over een hoofdstuk en daarna de leerstof dan meteen maar weer te vergeten. De vraag is hoe je er voor zou kunnen zorgen dat leerlingen regelmatig 'dingen herhalen' en op die manier de leerstof langer 'vasthouden'.

Dat laatste is wel belangrijk omdat bij wiskunde alles altijd wel ergens terug komt. In een hoofdstuk over de stelling van Pythagoras moet je ook de oppervlakte berekenen, weten wat een hoogtelijn is, e.d.

Eén van de instrumenten om te blijven 'herhalen' is de combinatieproef. Op dit moment zou dat een proef moeten zijn over 3 hoofdstukken. Na hoofdstuk 1, 2 en 3 doe je een combinatieproef over hoofdstuk 1, 2 en 3. Dat kan. Je zou ook kunnen denken aan een halfjaarsproef over het eerste boek en/of een eindevanhetjaarproef over alle stof van het jaar.

Zo'n grotere proef kan gaan over vaardigheden maar zou misschien ook vooral moeten gaan over begrip, inzicht, probleemoplossend vermogen, flexibiliteit, notaties, netjes werken, tekenen, enz. Voor wat betreft de determinatie geeft dit veel informatie.

Je zou ook aan begin van het jaar een instaptoets kunnen doen. Zo maar, zonder te leren je af gaan vragen 'wat kunnen we al?'. Als een soort nulmeting en om zeg maar 'een moeilijke start' te voorkomen.

bron

Problemen in 4 HAVO wiskunde B

De wiskunde van HAVO 4 wiskunde B is moeilijker dan de wiskunde in de 3e klas. Het is veel en er wordt een groot beroep gedaan op voorkennis en de wiskundige vaardigheden uit de onderbouw.

Voor wat betreft de voorkennis is dat juist voor leerlingen die in de onderbouw aardig goed in wiskunde waren een probleem. Het lijkt er op dat de 'didactiek' van 'Getal en Ruimte' niet goed voorbereidt op de bovenbouw. Er worden allerlei zaken als voorkennis aangenomen waarvan je moet constateren dat dit bij veel leerlingen niet voldoende aanwezig is. Als het gaat over 'begrijpen' wat je aan het doen bent is dat een probleem.

De 'doe-dit-dan-dat'-aanpak uit de onderbouw is voor goede leerlingen meestal iets wat ze snel oppikken, ze maken de proeven goed, maar ze zijn vrij snel 't kunstje ook weer vergeten. Wel vage herinneringen aan zandlopers en snavelfiguren maar weinig begrip van gelijkvormigheid. Het toepassen van wiskunde in nieuwe situaties is er dan natuurlijk ook niet bij. Als docent is dat lastig want je kunt natuurlijk niet verder zonder een voldoende beheersing van de voorkennis.

Een ander probleem in deze 4e klas is dat leerlingen meestal bij de proef nog niet klaar zijn. In de jaarplanner staat precies wanneer ze waar moeten zijn dus het moet niet zo moeilijk zijn om de zaak zo te plannen dat als de proef daar is je klaar bent met de voorbereiding. Zes uur leren voor een proef zou niet moeten mogen. Als je het werk goed gedaan hebt dan begrijp je de stof, heb je mogelijk een samenvatting gemaakt die je misschien nog even door moet kijken maar verder zou je gewoon de proef moeten kunnen doen.

In de praktijk blijkt dan dat de proef niet altijd goed gaat. De opgaven over paragraaf 1 en 2 gaan goed, maar aan 3 en 4 zijn ze dan niet toegekomen. Dat wordt dan herkansen. Het volgende hoofdstuk moet dan nog maar even wachten. Bij de volgende proef krijg je dan weer hetzelfde probleem. Op die manier blijf je achter de feiten aanlopen en dat is niet handig.

De grafische rekenmachine speelt een aparte rol in het wiskundeprogramma. Er zijn opgaven bij die alleen met de GR kunnen worden opgelost, maar er zijn ook opgaven waarbij de inzet van de GR beperkt kan worden ingezet. Dit kunnen leerlingen gemakkelijk zien aan de vraagstelling. Formuleringen zoals 'los exact op' of 'los algebraïsch op' betekent meestal geen GR. Bij 'bereken' mogen leerlingen ook de GR inzetten, soms kan dat zelfs niet anders. Maar dan moeten ze wel leren 'wanneer wel' en 'wanneer niet'. De methode is daar niet duidelijk genoeg over. Daar is nog wel iets te halen.

Opmerkelijk is dat leerlingen meestal wel begrijpen 'wat' ze moeten doen, maar dan bij de concrete uitvoering allerlei slordigheden begaan en in wiskundige zin 'rare dingen' doen. Nieuwe 'dingen' als differentiëren gaan prima maar 'breuken vereenvoudigen' of 'formules herleiden' gaat maar moeizaam. Ook een symptoom van het 'niet blijven hangen' van kennis en vaardigheden. Ik roep dan meestal zoiets als 'klas 2' of 'klas 3', maar erg aardig is dat natuurlijk niet van mij. In klas 3 waren deze leerlingen juist heel goed in wiskunde en nu is het in een keer heel moeilijk. Was het nog maar vroeger...:-)

Nog meer bezemklassen

Op wiskundeleraar.nl ga ik (heel voorzichtig) experimenteren met bezemklassen. Dat zijn werkruimten voor leerlingen die dreigen achterop te raken. Inmiddels heb ik bezemklassen voor klas 2 en klas 3. Ik heb nog steeds het idee dat je dat met 'handige inzet' van ICT zou moeten kunnen regelen.

Wat is het idee?

Het idee is om via zo'n werkruimte opdrachten te maken om die achterstanden te beslechten. Dat kan natuurlijk van alles zijn maar in principe probeer ik vooral DWO in te zetten. In DWO kan je opdrachten en zelftoetsen klaar zetten. Als docent kan je dan zien 'of' leerlingen de opdrachten gedaan hebben en je kunt zelf zien 'wat' ze gedaan hebben. Dat past helemaal in het idee dat 'wat je ook doet' je in ieder geval moet 'registreren' wat leerlingen 'wel' of 'niet' doen.

Wat zou leuk zijn?

Je hebt docenten die als ze iets uitleggen en de boodschap komt niet helemaal over dat ze dan hetzelfde verhaal nog een keer doen maar dan 'harder'. Dat werkt niet. Soms gaan docenten 'nog moeilijker' doen, in plaats van gemakkelijker. Dat moet je ook niet doen. Nee, je moet iets anders doen omdat kennelijk de 'normale manier' niet werkt. Nog meer van 't zelfde gaat niet werken. Maar wat dan?

Waarom ICT?

Je kunt van alles doen. Ik zou natuurlijk bijspijkerlessen kunnen gaan geven, maar waar haal je tijd vandaan? Ik zou leerlingen opdrachten kunnen laten inleveren, de opdrachten na gaan kijken en van passende 'feedback' voorzien, maar wie gaat dat betalen?

Maar ICT zou toch 'individuele leerroutes' moeten ondersteunen? Dingen 'efficienter' kunnen regelen? Andere manieren van leren mogelijk maken? Wel aan! Dat wil ik dan wel 's zien!

Dat zou toch geweldig zijn? Allemaal in het belang van de leerlingen en 't onderwijs in 't algemeen. Daarnaast heb ik er ook een soort van 'eigen belang' bij. Ik heb ideeën over de inzet van ICT in het onderwijs, ik wil experimenteren met het zoeken naar andere wegen, ik kan zelfs dingen maken en ik heb verder gewoon geen zin om te wachten op de rest. Als er iets moet gebeuren dan moet iemand wel iets gaan doen. Laat ik dat dan maar weer zijn...:-)

Zoiets!

Ik denk dat zoiets moet kunnen. Je moet dat wel een beetje handig regelen, maar stel je nu 's voor dat het werkt. Dan heb je toch iets in handen!

Ok, ik begrijp dat ik daarmee weer dezelfde fouten ga maken als voorheen. Maar van fouten kan je leren, dus hoe meer fouten hoe beter. Bovendien, waarom zou iedereen altijd hetzelfde moeten doen? Laat iedereen nu 's doen waarvan hij/zij denkt dat het nuttig, leerzaam en goed zou kunnen zijn?

Ik hou u op de hoogte...:-)